Programme de maths 5ème 2026-2027 : chapitres et nouveautés
Relatifs, fractions, premières équations, géométrie, données et programmation : découvre les chapitres du nouveau programme de 5e, les méthodes à travailler et 20 exercices corrigés pour faire le point.
Le programme de maths de 5ème 2026-2027 correspond à la première année d’application du nouveau texte de cycle 4. Cette fiche permet de voir ce que tu vas apprendre, de distinguer les objectifs de cinquième des approfondissements et de choisir tes révisions. Tu n’as pas à maîtriser tous les exemples dès septembre : ils illustrent des apprentissages qui se construisent pendant l’année.
Commence par le tableau des chapitres, puis ouvre la partie qui correspond à ton cours. Les 20 exercices corrigés servent ensuite à vérifier des compétences précises. Pour retrouver les autres leçons du site, utilise la rubrique mathématiques au collège.
Le nouveau programme de 2026
Le Bulletin officiel du 5 mars 2026 publie les nouveaux programmes de français et de mathématiques du cycle 4. En mathématiques, le texte s’applique à la cinquième à la rentrée 2026, puis à la quatrième en 2027 et à la troisième en 2028. Pour un élève de 5e en 2026-2027, c’est donc bien la partie « Cinquième » du nouveau programme qu’il faut consulter.
| Classe | Première année d’application |
|---|---|
| 5e | 2026-2027 |
| 4e | 2027-2028 |
| 3e | 2028-2029 |
Les objectifs sont détaillés par classe, tout en conservant une progression sur le cycle. Cela ne signifie pas qu’il n’existait aucun repère annuel auparavant : les anciennes ressources proposaient déjà des attendus de fin d’année. La présentation actuelle réunit plus directement les objectifs de chaque niveau, les automatismes à entretenir et certains prolongements possibles.
Parmi les points à repérer : les additions et soustractions de fractions de dénominateurs quelconques, les premières équations traitées par opérations inverses, le travail sur les médianes et les hauteurs des triangles, ainsi que les liens entre formules, tableaux de valeurs et graphiques. Le calcul littéral ne consiste donc pas seulement à remplacer une lettre : il sert aussi à transformer une expression et à justifier un résultat.
Les chapitres de maths en 5e
Le programme officiel de mathématiques du cycle 4 est organisé en cinq grands ensembles. Le calcul littéral appartient à « Nombres et calculs » : il est développé séparément plus bas pour faciliter la lecture. Les grandeurs et mesures se retrouvent notamment dans les problèmes numériques, la géométrie et la proportionnalité.
| Ensemble | Chapitres et savoir-faire |
|---|---|
| Nombres et calculs | Opérations, division par un décimal, priorités, divisibilité, nombres relatifs, fractions, carrés et cubes, expressions littérales et équations simples. |
| Espace et géométrie | Repérage, solides et patrons, symétrie centrale, angles, triangles, parallélogrammes, aires, volumes et conversions. |
| Organisation et gestion de données et probabilités | Effectifs, fréquences, moyenne simple, tableaux, diagrammes, expériences aléatoires et probabilités dans des cas simples. |
| Proportionnalité, fonctions | Proportions, pourcentages, coefficient, échelles, tableaux et graphiques ; dépendance d’une grandeur en fonction d’une autre. |
| La pensée informatique | Instructions, entrées et sorties, formules en programmation par blocs, analyse de programmes et boucles simples à nombre de répétitions fixé. |
Dans chaque ensemble, distingue trois choses : comprendre les notions, savoir appliquer les méthodes et les mobiliser dans un problème. Reconnaître une formule d’aire ne suffit pas, par exemple, si tu ne sais pas identifier la hauteur correspondante ou convertir les longueurs dans la même unité.
Nombres, fractions et puissances
Opérations et priorités
Les quatre opérations restent présentes dans les problèmes de prix, de quantités et de mesures. Une attention particulière porte sur le sens du calcul et sur la division par un nombre décimal. Par exemple, 7,2 ÷ 0,6 = 72 ÷ 6 = 12 : multiplier le dividende et le diviseur par 10 conserve le quotient. Le résultat peut dépasser le nombre de départ quand on divise un nombre positif par un nombre compris entre 0 et 1.
Les priorités permettent de lire correctement une expression. Dans 8 + 3 × 5, tu effectues d’abord 3 × 5 : tu trouves 23. Dans (8 + 3) × 5, les parenthèses imposent de commencer par 8 + 3 : tu trouves 55. La dernière opération permet aussi de nommer le calcul : la première expression est une somme, la seconde un produit.
La distributivité peut simplifier un calcul mental. Pour 7 × 19, écris 7 × (20 − 1), puis 140 − 7 = 133. Cette transformation explique une propriété avant son utilisation avec des lettres : multiplier une différence revient ici à multiplier chaque terme puis à soustraire.
Multiples, diviseurs et critères de divisibilité
Dire que 6 divise 42 signifie que 42 = 6 × 7, sans reste. Pour tester la divisibilité par 3 ou par 9, on examine la somme des chiffres : celle de 738 vaut 18, donc 738 est divisible par 3 et par 9. Ces outils servent notamment à chercher des écritures équivalentes de fractions et à résoudre des problèmes de regroupement.
La fiche multiples, diviseurs et critères de divisibilité permet de reprendre ces premières notions. Elle contient aussi des parties plus avancées sur le PGCD et le PPCM : leur présence dans cette ressource ne signifie pas que toutes ces méthodes sont exigées dans ce programme de 5e.
Nombres relatifs : comparer, additionner, soustraire
Les nombres relatifs permettent notamment de décrire des températures ou des positions de part et d’autre d’une origine. Sur une droite graduée, −2 est plus grand que −7 parce qu’il se trouve à sa droite. L’opposé de −7 est 7 ; sa valeur absolue est sa distance à zéro, donc 7. Zéro est son propre opposé.
Dans le vocabulaire mathématique, « positif » peut inclure zéro ; « strictement positif » signifie supérieur à zéro. De même, un nombre strictement négatif est inférieur à zéro. Cette précision évite d’oublier le rôle particulier de 0 lorsqu’une consigne distingue ces catégories.
Pour additionner −8 et 5, les deux contributions se compensent en partie : −8 + 5 = −3. Pour soustraire −4, on ajoute son opposé : 3 − (−4) = 3 + 4 = 7. En cinquième, le travail porte sur ces additions et soustractions, avec leurs enchaînements ; la multiplication et la division de relatifs sont développées en quatrième.
Pour t’entraîner sans mélanger ces opérations, consulte la fiche ciblée sur l’addition et la soustraction des nombres relatifs.
Fractions de dénominateurs différents
Le dénominateur indique la taille des parts de l’unité et le numérateur leur nombre. Pour additionner des fractions, il faut des parts de même taille. Ainsi, 3/4 + 2/5 = 15/20 + 8/20 = 23/20. On ne calcule pas (3 + 2)/(4 + 5) : cette opération changerait le sens des parts.
Le dénominateur commun n’a pas besoin d’être le plus petit pour que le calcul soit correct. Un dénominateur pratique réduit toutefois les nombres à manipuler. Pour comparer 5/6 et 7/9, utilise 18 : 15/18 est supérieur à 14/18, donc 5/6 est supérieur à 7/9.
Avant un problème, vérifie aussi l’unité de référence. Les 2/5 d’un livre et le quart du même livre peuvent s’additionner directement après mise au même dénominateur ; les 2/5 d’un premier livre et le quart d’un autre ne représentent pas forcément des nombres de pages comparables. Reprends au besoin les bases sur les fractions vues en sixième, puis les additions et soustractions de fractions.
Carrés et cubes
Le carré d’un nombre est son produit par lui-même : 9² = 9 × 9 = 81. Son cube utilise trois facteurs identiques : 4³ = 4 × 4 × 4 = 64. Un exposant n’est donc pas un nombre par lequel on multiplie : 4³ n’est pas 4 × 3.
Les objectifs de cinquième comprennent les carrés des entiers de 0 à 12 et le cube de 10. Les écritures au carré et au cube interviennent aussi dans les formules d’aire et de volume. Les puissances générales et la notation scientifique sont des développements ultérieurs : un cours qui les présente ne décrit pas uniquement les attentes de cinquième.
Calcul littéral et premières équations
Écrire une formule et remplacer une lettre
Une lettre représente un nombre que l’on peut faire varier ou que l’on cherche. Le prix de x cahiers à 3 € pièce s’écrit 3x euros. Avec un compas à 4 €, la dépense devient 3x + 4. Pour x = 5, on obtient 3 × 5 + 4 = 19 €.
Le signe égal ne veut pas toujours dire « voici la réponse du calcul ». Dans 3x + 4 = 19, il indique une égalité à satisfaire. Dans 4(x + 3) = 4x + 12, il exprime une propriété valable pour toutes les valeurs pour lesquelles on effectue ce calcul. Comprendre la différence aide à distinguer une équation d’une identité.
Développer, factoriser et réduire
Développer 4(x + 3), c’est distribuer le facteur 4 : 4x + 12. Factoriser fait le chemin inverse : 6x + 18 = 6(x + 3). Réduire rassemble des termes de même nature : 3x + 2x + 4 = 5x + 4. En revanche, x + x vaut 2x, et non x² ; x² représente x × x.
Ces transformations ont un intérêt au-delà de la technique. Elles permettent de comparer deux programmes de calcul ou de donner une formule plus commode. La fiche de calcul littéral : substitution et distributivité reprend les méthodes ; ses exemples les plus avancés doivent être choisis selon ce qui a été travaillé en classe.
Résoudre avec les opérations inverses
Les premières équations explicitement attendues sont du type x + b = c et ax = c. Pour la seconde forme, lorsqu’on divise par a, ce nombre doit être non nul. L’objectif est de relier l’inconnue à une opération à trou, pas de commencer par une procédure de déplacement mécanique des termes.
Si x + 7 = 12, alors x = 12 − 7 = 5. La vérification donne 5 + 7 = 12. Si 4x = 30, alors x = 30 ÷ 4 = 7,5. Une solution n’est pas forcément entière : on vérifie que 4 × 7,5 = 30. Dans un problème, ajoute ce que représente la solution, par exemple le prix d’un objet.
Une équation comportant plusieurs transformations successives relève d’un travail ultérieur plus développé. Le cours sur les équations du premier degré en 4e-3e constitue un prolongement, et non la liste de toutes les équations à maîtriser immédiatement en cinquième.
Tester ne suffit pas toujours à démontrer
Pour réfuter une affirmation annoncée comme vraie pour tous les nombres, un contre-exemple suffit. La phrase « le carré d’un nombre est toujours égal à son double » fonctionne pour 2, puisque 2² = 4 et 2 × 2 = 4. Elle est pourtant fausse : pour 3, on obtient 9 d’un côté et 6 de l’autre. Un exemple réussi ne prouve donc pas une propriété générale.
Géométrie : figures, aires et solides
Repérage et symétrie centrale
Dans un repère du plan, les coordonnées se lisent dans l’ordre (abscisse ; ordonnée). Pour A(−2 ; 3), repère d’abord −2 sur l’axe horizontal puis 3 sur l’axe vertical. Les graduations doivent être lues : un carreau ne vaut pas nécessairement une unité, et les deux axes ne sont pas forcément gradués de la même manière.
La symétrie centrale correspond à un demi-tour autour d’un point O. Pour construire l’image M′ de M, on place M′ sur la droite (OM), de l’autre côté de O, avec OM′ = OM. Ainsi, O est le milieu de [MM′]. Le centre O reste fixe. Les longueurs et les angles sont conservés, ce qui permet de justifier certaines propriétés sans mesurer toute la figure.
Angles, triangles et droites remarquables
Les angles alternes-internes et correspondants servent à relier les mesures d’angles au parallélisme. Dans la configuration de deux droites coupées par une sécante, on identifie d’abord la paire d’angles étudiée. On utilise ensuite la propriété adaptée : voir deux angles qui semblent égaux sur un dessin ne constitue pas une preuve.
La somme des angles d’un triangle vaut 180°. Si deux angles mesurent 48° et 67°, le troisième mesure 180 − 48 − 67 = 65°. Construire un triangle suppose aussi de respecter les données : une figure obtenue à main levée aide à chercher, mais ne remplace pas une construction demandée à la règle et au compas.
| Droite remarquable | Comment la reconnaître ? |
|---|---|
| Médiatrice d’un côté | Elle est perpendiculaire à ce côté et passe par son milieu. Elle ne passe pas forcément par le sommet opposé. |
| Médiane d’un triangle | Elle passe par un sommet et par le milieu du côté opposé. |
| Hauteur d’un triangle | Elle passe par un sommet et est perpendiculaire à la droite portant le côté opposé. |
Les médiatrices permettent de retrouver le centre du cercle circonscrit. Les hauteurs sont concourantes : elles passent par un même point, parfois à l’extérieur du triangle. Une médiane partage le triangle en deux triangles d’aires égales. Il faut distinguer ces propriétés : une médiane n’est pas forcément une hauteur.
Parallélogrammes et calculs d’aires
Un parallélogramme possède deux paires de côtés opposés parallèles. Ses diagonales se coupent en leur milieu. Cette dernière propriété fonctionne aussi comme critère de reconnaissance : dans un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu, on peut conclure qu’il s’agit d’un parallélogramme. Le rectangle, le losange et le carré sont des cas particuliers.
Pour les aires, associe toujours une base à sa hauteur perpendiculaire. L’aire d’un triangle vaut base × hauteur ÷ 2 ; celle d’un parallélogramme vaut base × hauteur. Une base de 8 cm avec une hauteur de 5 cm donne donc 20 cm² pour le triangle et 40 cm² pour le parallélogramme. Le côté incliné ne remplace pas la hauteur.
Patrons, volumes et conversions
Le travail dans l’espace porte sur le cube, le pavé droit, le prisme droit et le cylindre de révolution, avec des représentations en perspective et des patrons. Un patron doit permettre de reconstituer le solide : juxtaposer le bon nombre de faces ne suffit pas si elles se chevauchent une fois pliées.
Le volume d’un prisme droit s’obtient en multipliant l’aire d’une base par la hauteur du solide. Pour un cylindre de rayon r et de hauteur h, la base est un disque d’aire πr², donc le volume vaut πr²h. La lettre h désigne ici la distance entre les deux bases, pas une longueur prise au hasard sur la représentation.
Les unités doivent rester cohérentes : une longueur s’exprime par exemple en cm, une aire en cm² et un volume en cm³. On a 1 dm³ = 1 L et 1 cm³ = 1 mL. La fiche sur les conversions de longueurs, d’aires et de volumes permet de reprendre ces relations avant un problème.
Statistiques et probabilités
En statistiques, tu apprends à recueillir des données, à organiser les effectifs, à calculer des fréquences et une moyenne simple. Les représentations comprennent les tableaux, les diagrammes en barres, les diagrammes circulaires et les graphiques. Un tableur peut aider à calculer ou à représenter, mais tu dois interpréter ce qu’il affiche.
L’effectif est un nombre d’observations. La fréquence compare cet effectif au total : 6 élèves sur 24 représentent 6/24 = 0,25, soit 25 %. Pour une moyenne simple, additionne toutes les valeurs puis divise par leur nombre. La moyenne de 8, 11 et 14 vaut 33 ÷ 3 = 11. Elle n’est pas nécessairement égale à l’une des valeurs observées.
Dans un diagramme circulaire, un quart de l’effectif correspond à un quart du tour, soit 90°. Dans un graphique, lis le titre, les unités, les graduations et l’origine de l’axe avant de comparer les hauteurs. Un axe tronqué peut accentuer visuellement des écarts sans changer les valeurs.
La fiche de statistiques : effectifs, fréquences et moyenne complète ce travail. Elle couvre aussi les classes suivantes : la médiane statistique, les quartiles et la moyenne pondérée ne doivent pas être confondus avec le seul périmètre présenté ici.
Les probabilités ne partent pas de zéro en cinquième : elles prolongent des situations abordées au cycle 3. Une issue est un résultat possible ; un événement rassemble des issues. Avec un dé équilibré, l’événement « obtenir un nombre pair » correspond aux issues 2, 4 et 6, donc sa probabilité vaut 3/6 = 1/2.
Le rapport « cas favorables ÷ cas possibles » suppose que les issues comptées soient équiprobables. Il faut distinguer cette probabilité théorique d’une fréquence observée : obtenir 7 fois pile en 10 lancers ne prouve pas que la probabilité de pile vaut 0,7. Les petites séries peuvent donner des résultats éloignés du modèle.
Proportionnalité et premières fonctions
Deux grandeurs sont proportionnelles lorsqu’un même coefficient permet de passer de l’une à l’autre. Si chaque kilogramme de pommes coûte 3 €, le prix en euros s’obtient en multipliant la masse en kilogrammes par 3 : 2 kg coûtent 6 € et 3,5 kg coûtent 10,50 €. La relation repose sur un prix au kilogramme constant, sans frais fixes ni remise modifiant le tarif.
Le retour à l’unité et les relations entre quantités restent utiles. En cinquième, les tableaux et les graphiques permettent aussi de représenter cette relation. Chaque ligne ou colonne doit désigner clairement une grandeur et son unité : un tableau de nombres sans contexte ne dit pas ce que l’on mesure.
| Masse de pommes (kg) | Prix à 3 € le kilogramme (€) |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 3 |
| 2 | 6 |
| 3,5 | 10,50 |
Dans un repère, les points correspondants sont alignés avec l’origine. Pour des données discrètes, on représente des points : il n’est pas toujours pertinent de tracer une droite continue entre eux. Une droite qui ne passe pas par l’origine ne traduit pas une proportionnalité entre les grandeurs représentées.
Les proportions et les pourcentages servent à décrire une partie d’un ensemble. Pour trouver 20 % de 60, calcule 60 × 20 ÷ 100 = 12. Pour connaître le pourcentage représenté par 9 élèves sur 30, calcule 9 ÷ 30 = 0,3, soit 30 %. Vérifie si l’énoncé demande la part, le pourcentage ou le total : ce sont des questions différentes.
L’expression « en fonction de » indique une dépendance. Le périmètre d’un carré dépend de son côté ; une dépense dépend de la quantité achetée. Cette relation n’est pas forcément proportionnelle. Avec des frais fixes de 2 € puis 3 € par objet, la dépense s’écrit 3x + 2. Pour 0, 1 et 2 objets, la formule donne 2, 5 et 8 : les points ne sont pas alignés avec l’origine.
À ce stade, l’objectif est de produire et de lire des formules simples, des tableaux de valeurs et des graphiques. Il ne s’agit pas de traiter tout le cours de troisième sur les fonctions linéaires et affines. Les méthodes utilisant systématiquement des rapports ou une quatrième proportionnelle se développent également dans la suite du collège.
Pensée informatique et programmation
Un programme exécute des instructions dans un ordre précis. Si tu ajoutes 2 puis multiplies par 3, tu n’obtiens pas le même résultat qu’en multipliant d’abord par 3 puis en ajoutant 2. Avec une entrée égale à 4, les sorties sont respectivement 18 et 14.
Le programme de cinquième fait travailler les entrées et sorties, la traduction de formules en blocs, la prévision d’un résultat et la modification de paramètres. La variable est abordée à ce stade à partir de la lecture d’une donnée saisie. Les conditions et la manipulation plus générale des variables seront approfondies ensuite.
Une boucle simple permet de répéter une même suite d’instructions un nombre fixé de fois. Par exemple, répéter quatre fois « avancer de 20 pas, puis tourner de 90° dans le même sens » trace un carré si le déplacement est effectué stylo baissé. La distance parcourue est de 80 pas ; la longueur d’un côté est de 20 pas.
Dans le cours d’algorithmique et Scratch, concentre-toi d’abord sur les instructions, les calculs et ces boucles simples. Les parties consacrées aux conditions, aux variables modifiées et aux programmes plus complexes sont des prolongements.
Comment travailler ce programme ?
Consolider les bases sans refaire toute la sixième
Avant un nouveau chapitre, repère le prérequis qui sert réellement : tables et division pour les fractions, lecture d’une graduation pour les relatifs, perpendicularité pour les hauteurs. Refaire une difficulté ciblée est plus concret que relire un cahier entier sans savoir ce que l’on cherche.
Une séance personnelle de dix minutes peut être un format pratique, mais ce n’est ni une durée réglementaire ni une garantie de progrès. Par exemple, consacre un premier moment à restituer une définition, un deuxième à résoudre deux questions, puis un dernier à expliquer une erreur. Adapte cette organisation aux devoirs et au chapitre travaillé.
Passer de l’automatisme au problème
Un automatisme ne se limite pas au calcul mental : reconnaître une figure, lire une information ou mobiliser une propriété en fait aussi partie. Ensuite, un problème demande de choisir parmi ces outils. Pour chercher le volume d’une boîte, tu dois identifier le solide, organiser les mesures et vérifier l’unité, pas seulement effectuer une multiplication.
- Reformule la question. Indique ce que tu cherches et l’unité attendue.
- Organise les données. Utilise une expression, un schéma ou un tableau selon la situation.
- Explique ton choix. Nomme l’opération ou la propriété qui permet d’avancer.
- Contrôle le résultat. Vérifie les calculs, les unités et la réponse à la question posée.
La fiche de méthodologie pour résoudre un exercice de maths aide à structurer cette démarche. Avant une évaluation, complète-la avec les conseils pour réviser un contrôle de mathématiques, en privilégiant les exercices correspondant à ton cours.
Construire un suivi utile avec les corrections
Dans un carnet d’erreurs, écris la question, l’origine du blocage et la méthode correcte. « Je suis nul en fractions » n’aide pas à agir ; « j’ai additionné les dénominateurs » désigne une règle à retravailler. Reprends ensuite une question comparable avec d’autres nombres, sans regarder la réponse.
Pour les parents, demander « qu’as-tu déjà essayé ? » ou « quelle propriété pourrais-tu utiliser ? » laisse l’enfant expliquer sa recherche. Si une difficulté persiste, échangez avec le professeur pour cibler les notions prioritaires et adapter le travail. Il n’est pas nécessaire d’anticiper tous les chapitres de quatrième.
20 exercices corrigés pour faire le point
Ces exercices sont créés pour cette fiche : ce ne sont ni des sujets officiels ni une évaluation nationale. Ils illustrent différentes parties de l’année, parfois avec plusieurs questions. Fais ceux dont les notions ont déjà été étudiées, puis consulte la correction. Aucun score global ne permet à lui seul de conclure que tout le programme est maîtrisé.
Exercice 1 — Priorités et parenthèses
Calcule A = 8 + 3 × 5 et B = (8 + 3) × 5. Pourquoi les résultats diffèrent-ils ?
A = 23 et B = 55. Dans A, la multiplication est prioritaire : 8 + 15 = 23. Dans B, les parenthèses imposent l’addition : 11 × 5 = 55. Les mêmes nombres peuvent donc donner deux résultats différents lorsque l’organisation du calcul change.
Exercice 2 — Diviser par un décimal
Une ficelle de 7,2 m est découpée en morceaux de 0,6 m. Combien de morceaux complets obtient-on, sans perte ?
12 morceaux. Il faut calculer 7,2 ÷ 0,6. En exprimant les deux longueurs en décimètres, on obtient 72 ÷ 6 = 12. La vérification donne 12 × 0,6 = 7,2 m. On n’arrondit pas la longueur des morceaux avant de diviser.
Exercice 3 — Ranger des relatifs
Range −4 ; 2 ; −1,5 ; 0 dans l’ordre croissant. Donne ensuite l’opposé et la valeur absolue de −4.
−4 < −1,5 < 0 < 2. Sur une droite graduée, l’ordre croissant va de gauche à droite. L’opposé de −4 est 4 et sa valeur absolue vaut également 4. Ces deux réponses coïncident ici, mais elles ne désignent pas la même notion.
Exercice 4 — Calculer une variation
Le matin, la température est de −3 °C. Elle monte de 8 °C puis baisse de 6 °C. Quelle est la température finale ? Calcule aussi 4 − (−7).
La température finale est de −1 °C. On obtient d’abord −3 + 8 = 5, puis 5 − 6 = −1. Pour le second calcul, soustraire −7 revient à ajouter 7 : 4 − (−7) = 11. Le signe d’une opération ne se confond pas avec celui du nombre qui suit.
Exercice 5 — Additionner deux fractions
Calcule 3/4 + 2/5. Donne le résultat sous la forme d’une fraction.
23/20. Les quarts et les cinquièmes ne sont pas des parts de même taille. Avec 20 comme dénominateur commun : 3/4 = 15/20 et 2/5 = 8/20. On additionne les numérateurs : 15/20 + 8/20 = 23/20. Le résultat dépasse 1, ce qui est possible.
Exercice 6 — La lecture d’un livre
Lina lit 2/5 d’un livre lundi, puis 1/4 du même livre mardi, sans relire les pages précédentes. Quelle fraction a-t-elle lue ? Quelle fraction reste-t-il ?
Elle a lu 13/20 du livre ; il reste 7/20. On écrit 2/5 = 8/20 et 1/4 = 5/20, puis on additionne. Le livre entier représente 20/20 : 20/20 − 13/20 = 7/20. Les fractions se rapportent ici au même livre, et les deux parties ne se recouvrent pas.
Exercice 7 — Distinguer carré et cube
Calcule 9² et 4³. Le carré d’un nombre est-il toujours égal à son double ?
9² = 81 et 4³ = 64. Le carré utilise deux facteurs identiques ; le cube en utilise trois. L’affirmation est fausse : pour 3, le carré vaut 9 tandis que le double vaut 6. Ce seul contre-exemple suffit, même si la propriété fonctionne pour certains nombres comme 2.
Exercice 8 — Utiliser une expression littérale
Un cahier coûte 3 € et un compas 4 €. Écris le prix de x cahiers et d’un compas, puis calcule cette dépense pour 5 cahiers.
La dépense s’écrit 3x + 4 euros. Le facteur 3 multiplie le nombre de cahiers ; le prix du compas est ajouté une seule fois. Pour x = 5 : 3 × 5 + 4 = 19 €. Écrire 3(x + 4) compterait à tort trois fois les 4 € du compas.
Exercice 9 — Développer et factoriser
Développe 4(x + 3), puis factorise 6x + 18 en mettant 6 en facteur.
4(x + 3) = 4x + 12, car le facteur 4 multiplie chaque terme de la parenthèse. À l’inverse, 6x + 18 = 6(x + 3) puisque 18 = 6 × 3. Pour vérifier la factorisation, développe de nouveau l’expression obtenue.
Exercice 10 — Résoudre deux équations
Résous x + 7 = 12, puis 4x = 30. Vérifie chaque solution.
x = 5 pour la première ; x = 7,5 pour la seconde. On utilise respectivement la soustraction 12 − 7 et la division 30 ÷ 4. Les vérifications sont 5 + 7 = 12 et 4 × 7,5 = 30. Une réponse décimale peut parfaitement être une solution.
Exercice 11 — Un demi-tour dans le repère
Dans un repère orthogonal, M a pour coordonnées (2 ; −3). Quelles sont les coordonnées de son image M′ par la symétrie de centre O, origine du repère ?
M′(−2 ; 3). Le point image est placé de l’autre côté de l’origine, à la même distance. Les deux coordonnées deviennent leurs opposés. O est ainsi le milieu de [MM′]. Changer seulement le signe de l’ordonnée ne réaliserait pas le demi-tour demandé.
Exercice 12 — Angles et médiane d’un triangle
Deux angles d’un triangle mesurent 48° et 67°. Calcule le troisième angle. Dans ce triangle ABC, M est le milieu de [BC] : comment s’appelle la droite (AM) ?
Le troisième angle mesure 65°, car 180 − 48 − 67 = 65. La droite (AM) est une médiane, puisqu’elle passe par A et par le milieu du côté opposé. Rien ne permet d’affirmer qu’elle est perpendiculaire à (BC) : ce n’est pas automatiquement une hauteur.
Exercice 13 — L’aire et la médiane
Un triangle ABC a une base BC de 8 cm et une hauteur issue de A de 5 cm. M est le milieu de [BC]. Calcule l’aire de ABC puis celle de ABM.
ABC a une aire de 20 cm² et ABM de 10 cm². Le premier calcul est 8 × 5 ÷ 2 = 20. Comme BM = 4 cm et que la hauteur relative à (BC) est la même, l’aire de ABM vaut 4 × 5 ÷ 2 = 10. La médiane partage bien le triangle en deux parties de même aire.
Exercice 14 — Reconnaître un parallélogramme
Les diagonales [AC] et [BD] d’un quadrilatère ABCD se coupent en O. On sait que AO = OC = 3 cm et BO = OD = 2 cm. Quelle est sa nature ? Peut-on conclure que c’est un rectangle ?
ABCD est un parallélogramme. O est le milieu des deux diagonales. Elles mesurent 6 cm et 4 cm : elles ne sont pas de même longueur, donc ce parallélogramme n’est pas un rectangle. Un dessin qui semble rectangulaire ne peut pas contredire les longueurs données.
Exercice 15 — Le volume d’un cylindre
Un cylindre a un rayon de 3 cm et une hauteur de 5 cm. Calcule son volume exact, puis une valeur approchée en prenant π ≈ 3,14.
V = 45π cm³, soit environ 141,3 cm³. L’aire de la base est π × 3² = 9π cm², puis on multiplie par 5. Le rayon est utilisé dans la formule, pas le diamètre de 6 cm. Le symbole ≈ distingue le résultat approché de l’expression exacte avec π.
Exercice 16 — Un coefficient de proportionnalité
Des pommes coûtent 3 € le kilogramme, sans remise ni frais supplémentaires. Quel est le prix de 3,5 kg ? Le prix de 2 kg permet-il de vérifier le coefficient ?
3,5 kg coûtent 10,50 €. Le calcul est 3 × 3,5 = 10,5. Pour 2 kg, le prix vaut 6 € ; le quotient 6 ÷ 2 = 3 redonne le prix au kilogramme. C’est la règle de tarification énoncée, et non une coïncidence sur deux valeurs, qui justifie le modèle proportionnel.
Exercice 17 — Calculer une part et un pourcentage
Calcule 20 % de 60 €. Dans une classe de 30 élèves, 9 viennent à vélo : quel pourcentage cela représente-t-il ?
20 % de 60 € représentent 12 €. On peut calculer 60 × 20 ÷ 100 ou prendre deux fois 10 %. Pour les élèves à vélo, 9/30 = 0,3 = 30 %. Dans un cas, on connaît le pourcentage et on cherche la part ; dans l’autre, on connaît la part et on cherche le pourcentage.
Exercice 18 — Fréquence et moyenne
Cinq élèves déclarent avoir lu respectivement 0, 1, 1, 2 et 6 livres pendant une période donnée. Ces données sont fictives. Quelle est la fréquence des élèves ayant lu exactement un livre ? Quelle est la moyenne ?
La fréquence vaut 2/5 = 40 %. Deux élèves sur cinq ont lu un livre. La somme des valeurs est 0 + 1 + 1 + 2 + 6 = 10 ; la moyenne vaut donc 2 livres par élève. L’élève ayant lu zéro livre fait partie de l’effectif et doit être compté dans le diviseur.
Exercice 19 — Probabilité et résultats observés
Un sac contient 3 boules rouges et 2 boules bleues, toutes de même taille et indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité d’obtenir du bleu ? Faut-il obligatoirement obtenir 4 bleues sur 10 tirages avec remise ?
La probabilité vaut 2/5, soit 40 %. Deux boules favorables sont comptées parmi cinq issues équiprobables. Non, quatre bleues ne sont pas garanties sur dix tirages. Le modèle indique une probabilité, pas un nombre imposé de résultats dans chaque petite série.
Exercice 20 — Lire un programme
Un programme demande un nombre puis affiche 3 × ce nombre + 2. Quelle sortie produit l’entrée 4 ? Un second programme répète quatre fois « avancer de 20 pas, tourner de 90° dans le même sens ». Quelle distance parcourt-il ?
Le premier programme affiche 14 : 3 × 4 + 2 = 14. Son entrée est le nombre saisi et sa sortie le résultat affiché. Dans le second programme, l’instruction « avancer » est exécutée quatre fois, donc la distance totale vaut 80 pas. Les rotations changent la direction, pas cette distance parcourue.
QCM et cartes de révision
Ces modules reprennent des repères de la fiche. Ils complètent les problèmes précédents, sans constituer une liste exhaustive du programme. Cherche une réponse avant de lire l’explication.
Parmi 15, 18 et 21, quel nombre est divisible par 9 ?
- 15
- 18
- 21
La somme des chiffres de 18 vaut 9. Pour 15 et 21, elle vaut respectivement 6 et 3 : ces nombres sont divisibles par 3, mais pas par 9.
Quel est le carré de 9 ?
- 18
- 3
- 81
Le carré est 9 × 9 = 81. Le double, 18, correspond à une autre opération.
Des points représentent les valeurs d’une situation de proportionnalité. Quelle propriété vérifient-ils ?
- Ils sont alignés avec l’origine du repère.
- Ils sont alignés sans condition sur l’origine.
- Ils forment toujours une courbe non droite.
Le coefficient constant conduit à un alignement avec l’origine. Pour des données discrètes, les points ne doivent pas nécessairement être reliés par une droite continue.
Quelle est la solution de x + 7 = 12 ?
- x = 19
- x = 5
- x = −5
5 + 7 = 12. Soustraire 7 à 12 retrouve le terme manquant.
Combien vaut 3 − (−4) ?
- −1
- −7
- 7
Soustraire −4 revient à ajouter son opposé : 3 + 4 = 7.
Combien vaut 1/2 + 1/3 ?
- 2/5
- 5/6
- 1/6
Avec le dénominateur 6, on obtient 3/6 + 2/6 = 5/6. Les dénominateurs ne s’additionnent pas.
Quel développement est correct ?
- 4(x + 3) = 4x + 3
- 4(x + 3) = 4x + 12
- 4(x + 3) = 7x
Le facteur 4 multiplie x et 3 : 4x + 4 × 3 = 4x + 12.
Que vaut l’aire d’un triangle de base 6 cm et de hauteur correspondante 4 cm ?
- 24 cm²
- 10 cm²
- 12 cm²
L’aire vaut 6 × 4 ÷ 2 = 12 cm². Le produit 24 cm² serait l’aire du parallélogramme ayant cette base et cette hauteur.
Quelle est la moyenne de 6, 10 et 14 ?
- 10
- 30
- 14
La somme vaut 30, puis on divise par les trois valeurs : 30 ÷ 3 = 10.
Une instruction « avancer de 15 pas » est répétée 4 fois. Quelle distance totale est parcourue ?
- 19 pas
- 60 pas
- 45 pas
Chaque exécution ajoute 15 pas : 4 × 15 = 60. On compte les quatre répétitions, sans ajouter une exécution supplémentaire.
L’opposé de −8 est 8.
La valeur absolue de −5 est 5.
Pour deux droites coupées par une sécante, une paire d’angles alternes-internes égaux permet de conclure que les droites sont parallèles.
Dans l’équation 5x = 35, la solution est x = 7.
Un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme.
La droite qui passe par un sommet et le milieu du côté opposé est une médiane.
Une fréquence de 0,25 correspond à 25 %.
Dans 4³, on multiplie 3 facteurs tous égaux à 4.
Automatisme
Une connaissance ou une procédure suffisamment maîtrisée pour être mobilisée rapidement.
Cela peut être un calcul, la lecture d’une graduation ou la reconnaissance d’une propriété.
Opposé et valeur absolue
L’opposé change le sens par rapport à zéro ; la valeur absolue mesure la distance à zéro.
Pour 4, l’opposé est −4 et la valeur absolue vaut 4.
Distributivité simple
k(a + b) = ka + kb.
7(x + 2) = 7x + 14. Dans l’autre sens, on factorise.
Symétrie centrale
Un demi-tour autour d’un point qui reste fixe.
O est le milieu de [MM′] lorsque M′ est l’image de M par cette symétrie.
Médiatrice
Droite perpendiculaire à un segment en son milieu.
À ne pas confondre avec la médiane, qui part d’un sommet d’un triangle.
Expérience aléatoire
Une expérience dont on ne peut prévoir avec certitude le résultat.
Pour un dé équilibré, les six faces sont des issues de même probabilité.
Moyenne simple
Somme des valeurs divisée par leur nombre.
Pour 8, 11 et 14 : (8 + 11 + 14) ÷ 3 = 11.
Équation simple
Une égalité à satisfaire en cherchant une valeur de l’inconnue.
Dans 4x = 30, x = 7,5 ; on vérifie par 4 × 7,5 = 30.
Questions fréquentes sur la 5e
Le programme de maths de 5ème change-t-il en 2026-2027 ?
Oui. Le texte publié au Bulletin officiel du 5 mars 2026 s’applique en cinquième à partir de la rentrée 2026. Il est ensuite déployé en quatrième en 2027 et en troisième en 2028. Les élèves de ces deux dernières classes ne changent donc pas tous de programme dès septembre 2026.
Quels sont les grands chapitres de maths en cinquième ?
Ils relèvent de cinq ensembles : nombres et calculs ; espace et géométrie ; organisation et gestion de données et probabilités ; proportionnalité et fonctions ; pensée informatique. Le calcul littéral et les équations simples font partie du premier ensemble. Les méthodes de résolution de problèmes traversent tous ces domaines.
Les équations sont-elles au programme de 5e ?
Oui : les formes x + b = c et ax = c sont explicitement prévues, avec une résolution fondée sur les opérations inverses. Pour ax = c avec a non nul, on retrouve le facteur manquant par la division. Il ne faut pas confondre cette première approche avec tout le cours d’équations des classes suivantes.
Quels calculs sur les fractions faut-il savoir faire ?
Il faut notamment comparer des fractions et effectuer des additions ou soustractions avec des dénominateurs quelconques. Les nombres restent choisis pour travailler le sens et les méthodes. La multiplication et la division générales de fractions se développent en quatrième ; prendre une fraction d’une quantité constitue déjà un appui travaillé auparavant.
La notation scientifique est-elle obligatoire en cinquième ?
Le travail spécifique de cinquième sur les puissances concerne le carré et le cube, leurs notations et leur utilisation dans des calculs. Les objectifs comprennent les carrés des entiers de 0 à 12 et le cube de 10. Un cours consacré aux puissances de dix et à la notation scientifique dépasse donc ce seul périmètre.
Faut-il étudier les nombres premiers en 5e ?
Dans la rubrique « Opérations » de cinquième du programme de 2026, la notion de nombre premier figure parmi les prolongements possibles. Elle peut donc être abordée, mais son statut n’est pas celui des objectifs listés sur les multiples, les diviseurs et les critères de divisibilité. Suis les indications du professeur pour les évaluations de ta classe.
Les fonctions et les probabilités commencent-elles entièrement en 5e ?
Les probabilités prolongent des notions déjà abordées au cycle 3. Pour les fonctions, la cinquième travaille la dépendance entre grandeurs avec l’expression « en fonction de », des formules simples, des tableaux et des graphiques. Cela ne correspond pas encore à l’ensemble du vocabulaire et des méthodes sur les fonctions étudiés en troisième.
Y a-t-il un ordre officiel des chapitres par trimestre ?
Non, le programme ne fixe pas un chapitre identique pour chaque mois dans toutes les classes. Les équipes construisent leur progression et font revenir certaines notions. Pour préparer un contrôle, utilise les objectifs indiqués par le professeur plutôt qu’une progression trimestrielle trouvée sur une autre ressource.
Peut-on utiliser une calculatrice et un ancien manuel ?
La calculatrice est utilisée selon les consignes du professeur et l’objectif de l’activité ; elle ne remplace pas l’apprentissage des techniques de calcul. Un ancien manuel peut fournir des exercices utiles, mais vérifie le niveau des notions et les méthodes demandées. Une ressource antérieure à 2026 n’est ni automatiquement inutilisable ni automatiquement alignée sur les nouveaux objectifs.
Comment aider un élève qui rencontre des difficultés ?
Choisis une compétence précise, reprends un exemple résolu puis propose une question proche sans le corrigé. Demande à l’élève d’expliquer son choix d’opération ou de propriété. La correction doit identifier l’erreur, pas seulement afficher une note. En cas de difficulté persistante, le professeur peut aider à choisir les prérequis à retravailler et les adaptations utiles.
Les cours pour poursuivre
Choisis une fiche en fonction de la difficulté rencontrée. Certaines ressources couvrent plusieurs niveaux : les chapitres et les limites présentés ici permettent de sélectionner les passages utiles, sans considérer chaque page liée comme un programme officiel de cinquième.