Problèmes de proportionnalité CM1-CM2 : 20 exercices corrigés
Adapter une recette, calculer un prix, comparer des quantités : apprends à reconnaître la proportionnalité et à choisir une méthode, avec 20 problèmes corrigés du CM1 au CM2.
Pour résoudre un problème de proportionnalité en CM1-CM2, commence par comprendre ce qui relie les deux quantités. Si tu achètes trois fois plus d’objets au même prix unitaire, sans réduction ni frais supplémentaires, tu paies trois fois plus. Tu peux alors utiliser un double, une moitié, une addition de quantités ou un passage à l’unité.
Cette fiche présente les méthodes sans tableau de proportionnalité, puis propose 20 problèmes avec leurs corrections détaillées. Certains demandent de calculer ; d’autres de repérer une situation non proportionnelle ou une information manquante. Les exercices sont progressifs : choisis une petite série adaptée à ce que tu as déjà travaillé en classe.
Reconnaître la proportionnalité
Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque multiplier une quantité par un nombre multiplie la quantité correspondante par le même nombre. Cela doit rester vrai dans toute la situation étudiée, et pas seulement pour un exemple choisi. Au cours moyen, tu rencontres surtout des prix, des masses, des longueurs, des contenances et des durées.
Imagine des pommes vendues à 3 € le kilogramme, sans autre tarif : 1 kg coûte 3 €, 2 kg coûtent 6 € et 4 kg coûtent 12 €. Le double de la masse coûte le double du prix. La moitié de la masse coûte la moitié. Le lien est expliqué par le prix au kilogramme, qui ne change pas.
| Situation | Verdict | Explication |
|---|---|---|
| Pommes au même prix au kilo, sans frais | Proportionnelle | Le prix est multiplié comme la masse achetée. |
| Nombre de tours complets sur une même piste | Proportionnelle à la distance | Chaque tour ajoute exactement la même longueur. |
| Recette avec les mêmes portions | Proportionnelle pour les ingrédients | Deux fois plus de portions demandent deux fois chaque ingrédient. |
| Âge et pointure d’une personne | Non proportionnelle | La pointure ne double pas quand l’âge double. |
| Durée d’une visite avec entrée au forfait | Non proportionnelle au prix | Le billet reste au même prix pour des durées différentes. |
| Achat au kilo avec livraison fixe | Total non proportionnel | La livraison ne double pas quand la commande double. |
Repère les conditions utiles : objets identiques, même prix, portions identiques, débit constant, même longueur à chaque tour. Elles permettent de justifier le raisonnement. Sans ces précisions, deux nombres ne suffisent pas toujours : connaître le prix de trois cahiers ne garantit pas qu’un lot de dix bénéficie du même tarif.
Le test du double : utile, mais pas suffisant
Dans une situation proportionnelle, une quantité qui double entraîne le double de l’autre. Si tu observes un cas contraire, tu peux rejeter la proportionnalité. En revanche, un seul double réussi ne prouve pas que toute la situation est proportionnelle.
Exemple : un tarif annonce 2 entrées à 8 €, 4 entrées à 16 € et un lot de 6 entrées à 21 €. Le double fonctionne entre 2 et 4 entrées. Mais 6 entrées représentent trois fois 2 entrées, alors que 21 € ne représentent pas trois fois 8 €. Ces trois offres ne suivent donc pas une règle de proportionnalité commune.
Doubles, moitiés et additions
Multiplier ou diviser les deux quantités ensemble
Quand la proportionnalité est établie, cherche d’abord une relation simple entre la quantité connue et celle demandée. Si 3 croissants identiques coûtent 3,60 €, alors 6 croissants représentent le double : leur prix vaut 2 × 3,60 € = 7,20 €. Pour 12 croissants, tu peux quadrupler le prix de trois : 4 × 3,60 € = 14,40 €.
La même idée fonctionne pour une quantité plus petite. Si 8 mètres de ruban coûtent 20 €, sans frais de découpe, 4 mètres coûtent la moitié : 20 € ÷ 2 = 10 €. On divise ici le prix par 2 parce qu’on a divisé la longueur par 2. On ne divise pas par le nombre de mètres demandé.
Ces raisonnements utilisent la linéarité pour la multiplication. Ce nom n’est pas nécessaire pour démarrer : l’essentiel est d’expliquer « trois fois plus », « deux fois moins » ou « le quart ». Les tables de multiplication aident à repérer rapidement que 18 est trois fois 6 ou que 28 est quatre fois 7.
Additionner des quantités et leurs valeurs
Tu peux aussi assembler deux quantités connues. Si 3 croissants coûtent 3,60 € et 2 croissants coûtent 2,40 €, au même tarif, alors 5 croissants coûtent 3,60 € + 2,40 € = 6 €. Tu réunis les trois croissants et les deux croissants ; tu réunis donc leurs prix.
C’est la linéarité pour l’addition. Elle ne signifie pas qu’il faut ajouter le même nombre aux deux grandeurs. Ajouter 2 croissants ne revient pas à ajouter 2 € : il faut ajouter le prix correspondant aux 2 croissants. Vérifie toujours ce que représente chaque nombre.
Choisir une quantité intermédiaire
Passer à l’unité
Passer à l’unité consiste à chercher la valeur correspondant à un seul objet, un kilogramme, un mètre ou une minute. Cette étape devient intéressante lorsqu’aucun double ou triple ne permet de répondre directement. Exemple : 4 cahiers identiques coûtent 10 €, sans réduction par lot. Combien coûtent 7 cahiers ?
- Pour 1 cahier, je partage le prix de 4 cahiers en 4 parts égales : 10 € ÷ 4 = 2,50 €.
- Pour 7 cahiers, je prends 7 fois ce prix : 7 × 2,50 € = 17,50 €.
- Je conclus : les 7 cahiers coûtent 17,50 €.
Tu peux retrouver 2,50 € en passant par les centimes : 10 € valent 1 000 centimes ; 1 000 ÷ 4 = 250 centimes. Cette démarche évite de confondre 2,50 € avec 2,05 €. La fiche sur les nombres décimaux permet de revoir ces écritures.
Pour des divisions entières qui demandent plusieurs calculs, revois la méthode de la division posée. Elle aide à effectuer une opération déjà choisie ; elle ne décide pas à ta place si la situation est proportionnelle.
Passer par un groupe plutôt que par un seul objet
Le passage à l’unité n’est pas obligatoire. Pour 6 biscuits vendus 4 €, chercher le prix d’un biscuit donne un nombre qui ne s’écrit pas exactement avec seulement deux chiffres après la virgule. Pour connaître le prix de 18 biscuits au même tarif, il est bien plus simple de tripler : 3 × 4 € = 12 €.
Tu peux également choisir un groupe intermédiaire commode. Si 8 plaques de carton identiques ont une épaisseur totale de 20 mm, alors 2 plaques en ont une de 5 mm. Pour 14 plaques, prends 7 groupes de 2 : 7 × 5 mm = 35 mm. Le passage par 2 évite de calculer l’épaisseur d’une seule plaque.
Ne cherche donc pas une méthode unique à appliquer partout. Regarde les nombres : un groupe de 2, de 5, de 10 ou de 50 peut rendre le raisonnement plus court. Pour travailler les moitiés et les quarts, tu peux aussi utiliser les problèmes de fractions en CM1-CM2.
Résoudre un problème par étapes
Voici l’exemple des bouteilles : 6 bouteilles identiques permettent de remplir 9 verres identiques. On remplit toujours les verres au même niveau, sans perte. Combien de verres peut-on remplir avec 10 bouteilles ? La contenance ne change pas, donc on peut raisonner par groupes.
- Je cherche une quantité pratique : 2 bouteilles, c’est le tiers de 6 bouteilles. Elles remplissent 9 ÷ 3 = 3 verres.
- Je reconstruis 10 bouteilles : 10, c’est 5 groupes de 2 bouteilles.
- Je calcule : 5 groupes permettent de remplir 5 × 3 = 15 verres.
- Je vérifie autrement : 10 bouteilles, c’est 6 + 2 + 2. Elles remplissent donc 9 + 3 + 3 = 15 verres.
Le deuxième chemin n’est pas une nouvelle règle : il organise les mêmes quantités autrement. Tu peux choisir l’un ou l’autre, à condition de faire apparaître le lien entre les bouteilles et les verres. Évite d’écrire « 2 bouteilles = 3 verres » comme si les objets étaient identiques ; écris plutôt « avec 2 bouteilles, on remplit 3 verres ».
Une méthode en cinq questions
Avant de te lancer, demande-toi : que cherche-t-on ? Quelles sont les deux grandeurs ? Pourquoi sont-elles proportionnelles ? Quelle quantité intermédiaire est utile ? Comment vérifier la réponse ? Ces questions suffisent à organiser une grande partie des exercices de cette fiche.
Un problème peut ensuite demander une dépense totale, une monnaie rendue ou une quantité restante. Dans ce cas, sépare les étapes. Si tu calcules d’abord le prix de huit livrets, puis la monnaie rendue sur 30 €, seule la première étape utilise le prix proportionnel au nombre de livrets. La seconde est une soustraction.
Quand tu hésites sur l’ordre, pars de la question finale : pour connaître ce qu’il reste, il faut d’abord savoir ce qui a été utilisé. La fiche sur les problèmes à étapes en CM2 propose d’autres situations pour travailler cette organisation.
Les erreurs à éviter
| Erreur | Ce qu’il faut vérifier |
|---|---|
| Ajouter le même nombre aux deux quantités | Une quantité supplémentaire a une valeur correspondante ; ce n’est pas forcément le même nombre. |
| Multiplier le prix sans multiplier la quantité | Le même facteur doit relier les deux situations. |
| Passer à l’unité dans tous les exercices | Un double, une moitié ou un groupe peut éviter une division difficile. |
| Conclure après un seul double réussi | Vérifie le tarif ou les autres données : une offre peut changer la règle. |
| Oublier des frais fixes | Ils s’ajoutent une seule fois, pas à chaque objet. |
| Mélanger kilogrammes et grammes | Compare d’abord des mesures exprimées dans la même unité. |
| Arrondir trop tôt | Garde les valeurs exactes ou change de quantité intermédiaire. |
« Non proportionnel » ne veut pas dire « impossible à calculer ». Pour une livraison à 5 € plus des pommes à 3 € le kilo, une commande de 4 kg coûte 4 × 3 € + 5 € = 17 €. Une commande de 8 kg coûte 8 × 3 € + 5 € = 29 €, pas 34 €. On peut trouver le total, mais pas en doublant la première facture.
À l’inverse, certaines questions manquent réellement de données. Savoir que Nina a 8 ans et chausse du 33 ne permet pas de connaître sa pointure à 16 ans. Ce n’est pas un calcul oublié : aucune règle de croissance utilisable n’est fournie. Ta réponse doit expliquer cette limite, sans inventer une pointure.
Pour les unités, compare 300 g à 750 g, plutôt que 300 g à « 0,75 » sans unité. Les nombres 300 et 0,75 ne décrivent pas le rapport entre les masses tant qu’on n’a pas précisé les grammes et les kilogrammes. Écris l’unité à côté de chaque résultat intermédiaire.
CM1 et CM2 : les repères
Le programme de mathématiques du cycle 3 s’applique au CM1 depuis la rentrée 2025 et au CM2 depuis la rentrée 2026, selon son calendrier d’entrée en vigueur.
Les exemples de réussite du CM1 privilégient la reconnaissance de situations et une relation multiplicative simple. Ceux du CM2 ajoutent des enchaînements, des additions de quantités et le passage à l’unité quand il est utile.
Le programme de cycle 3 demande de raisonner sans tableau de proportionnalité au cours moyen. Le coefficient de proportionnalité et le produit en croix n’y sont pas enseignés. Les tableaux présents dans cette fiche classent des situations ou des erreurs : ce ne sont pas des grilles de calcul à compléter.
Les niveaux indiqués pour les exercices ci-dessous sont des repères de difficulté, pas une évaluation officielle. Les quatre derniers problèmes peuvent servir de défis accompagnés. Tu peux revenir aux premières questions pour vérifier une méthode avant de combiner plusieurs raisonnements.
Comment s’entraîner ?
Choisis deux ou trois problèmes qui travaillent le même geste : doubler, prendre une moitié ou passer à l’unité. Essaie d’abord sans consulter la correction. Explique ton raisonnement à voix haute, puis compare non seulement le résultat, mais aussi le chemin utilisé.
Pour une séance courte, tu peux consacrer quelques minutes à un exemple, résoudre deux exercices et terminer par la correction d’une erreur. Cette organisation est une proposition à adapter à la fatigue et aux consignes de la classe, pas une quantité obligatoire de devoirs.
Note les difficultés séparément : reconnaître la proportionnalité, choisir les étapes, effectuer les opérations ou gérer les unités. Si le raisonnement est juste mais que les produits te ralentissent, travaille les stratégies de calcul mental. Si les calculs sont exacts mais sans rapport avec la question, reprends la lecture de l’énoncé.
Pour les parents : demandez « qu’est-ce qui reste identique ? » ou « combien de groupes peux-tu former ? » plutôt que de donner immédiatement l’opération. Un dessin de lots ou une manipulation avec des objets identiques peut aider. Une fois l’exemple compris, changez les nombres pour vérifier que votre enfant n’a pas seulement mémorisé la réponse.
20 problèmes corrigés
Les problèmes 1 à 6 travaillent surtout les relations simples et la reconnaissance. Les problèmes 7 à 16 développent les méthodes du CM2. Les problèmes 17 à 20 combinent budget, frais fixes, offres particulières ou plusieurs étapes. Pour chaque exercice, écris une phrase de raisonnement avant ton calcul et termine par une réponse avec l’unité demandée.
Problème 1 — Les cahiers de la classe
Relation simple — CM1
Quatre cahiers identiques coûtent 12 €. Chaque cahier est vendu au même prix, sans réduction par lot. Combien coûtent 12 cahiers ?
Corrigé expliqué
Douze cahiers représentent trois groupes de quatre : 12 = 3 × 4. Le prix est donc multiplié par trois : 3 × 12 € = 36 €.
Les 12 cahiers coûtent 36 €. Il n’était pas nécessaire de calculer le prix d’un seul cahier. Pour vérifier, partage 36 € en trois parts : tu retrouves 12 € pour chaque groupe de quatre cahiers.
Problème 2 — Le ruban coupé en deux
Moitié — CM1
Huit mètres de ruban coûtent 20 €. Le prix au mètre est constant et la découpe est gratuite. Quel est le prix de 4 mètres ?
Corrigé expliqué
Quatre mètres représentent la moitié de huit mètres. Il faut donc prendre la moitié du prix : 20 € ÷ 2 = 10 €.
Les 4 mètres coûtent 10 €. La division par 2 correspond à la réduction de longueur, pas au nombre de mètres demandé. Deux morceaux de 4 mètres coûtent ensemble 20 €, ce qui redonne la situation de départ.
Problème 3 — Les manuels identiques
Triple — CM1
Trois manuels identiques ont une masse totale de 900 g, sans sac ni emballage. Quelle est la masse de 9 de ces manuels ?
Corrigé expliqué
Neuf manuels représentent trois fois trois manuels. Puisqu’ils sont identiques, la masse totale est triplée : 3 × 900 g = 2 700 g.
Les neuf manuels pèsent 2 700 g, soit 2 kg 700 g. La précision « sans sac » compte : la masse d’un sac unique ne serait pas multipliée par trois avec le nombre de livres.
Problème 4 — Les tours de piste
Quadruple — CM1
Deux tours complets d’une piste représentent 600 m. Amira fait 8 tours de cette même piste. Quelle distance parcourt-elle ?
Corrigé expliqué
Huit tours représentent quatre groupes de deux tours : 8 = 4 × 2. La distance est donc quatre fois plus grande : 4 × 600 m = 2 400 m.
Amira parcourt 2 400 m. Sa vitesse n’intervient pas dans cette question : même si elle ralentit, chaque tour complet garde la même longueur. Il ne faut pas confondre distance parcourue et temps de course.
Problème 5 — Un kilogramme de pommes
Partage — CM1 ou consolidation
Quatre kilogrammes de pommes coûtent 10 €, au même prix au kilogramme. Combien coûte 1 kg ?
Corrigé expliqué
Un kilogramme représente le quart de 4 kg. Le prix est donc le quart de 10 €. En centimes, 10 € valent 1 000 centimes ; 1 000 ÷ 4 = 250 centimes.
Un kilogramme coûte 2,50 €. Tu peux vérifier par additions : 2,50 € + 2,50 € + 2,50 € + 2,50 € = 10 €. Le résultat n’a pas besoin d’être un nombre entier d’euros.
Problème 6 — La pointure de Nina
Reconnaître une limite — CM1-CM2
Nina a 8 ans et chausse du 33. Peut-on calculer sa pointure à 16 ans avec ces seules informations ? Explique ta réponse.
Corrigé expliqué
Non, ces informations ne permettent pas de déterminer sa future pointure. L’âge et la pointure ne sont pas proportionnels : avoir le double de l’âge ne signifie pas chausser deux fois plus grand.
Calculer 2 × 33 = 66 applique donc une règle qui ne décrit pas la situation. On ne connaît pas non plus la pointure réelle de Nina à 16 ans : il ne faut ni l’inventer ni prétendre avoir effectué un test sur une mesure qui n’est pas donnée.
Problème 7 — Les melons au marché
Repérer une erreur — CM1-CM2
Deux melons identiques coûtent 5 €, sans promotion. Jules affirme : « Pour 6 melons, j’ajoute 4 au prix, donc je paie 9 €. » A-t-il raison ? Donne le bon prix.
Corrigé expliqué
Jules a ajouté quatre melons à cinq euros, ce qui ne décrit pas le prix des melons supplémentaires. Six melons représentent trois fois deux melons. Le bon calcul est 3 × 5 € = 15 €.
Autre vérification : les quatre melons supplémentaires coûtent 10 €, puisqu’ils représentent deux groupes de deux. Les six melons coûtent alors 5 € + 10 € = 15 €. L’addition fonctionne lorsqu’on additionne les prix correspondants.
Problème 8 — Assembler deux achats
Addition de quantités — CM2
Au même tarif, 4 petits pains coûtent 6 € et 2 petits pains coûtent 3 €. Quel est le prix de 6 petits pains ? Utilise les deux informations.
Corrigé expliqué
Six petits pains se composent d’un groupe de quatre et d’un groupe de deux. On additionne donc leurs prix : 6 € + 3 € = 9 €.
Les six petits pains coûtent 9 €. On pouvait également observer que six représente trois fois deux, puis calculer 3 × 3 €. Les deux méthodes respectent le tarif identique ; aucune ne mélange le nombre de pains avec le prix.
Problème 9 — La pâte à crêpes de Sacha
Moitié puis addition — CM2
Pour 4 crêpes de même taille, Sacha utilise 120 g de farine. Il garde la même recette.
- Quelle masse de farine faut-il pour 6 crêpes ?
- Quelle masse faut-il pour 20 crêpes ?
Corrigé expliqué
a) 180 g. Deux crêpes représentent la moitié de quatre : elles demandent 120 g ÷ 2 = 60 g. Pour six crêpes, on réunit les quantités pour quatre et pour deux : 120 g + 60 g = 180 g.
b) 600 g. Vingt crêpes représentent cinq groupes de quatre : 5 × 120 g = 600 g. Ces résultats supposent des crêpes de même taille ; une grande crêpe et une petite n’utiliseraient pas forcément la même quantité de pâte.
Problème 10 — Conserver une couleur de peinture
Groupe intermédiaire — CM2
Pour obtenir une couleur, on mélange 6 mesures de peinture jaune et 4 mesures de peinture bleue. Toutes les mesures ont la même contenance. Combien faut-il de mesures bleues avec 9 mesures jaunes pour garder exactement le même mélange ?
Corrigé expliqué
La moitié du mélange utilise 3 mesures jaunes et 2 mesures bleues. Neuf mesures jaunes représentent trois groupes de trois ; il faut donc trois groupes de deux mesures bleues : 3 × 2 = 6 mesures bleues.
On peut aussi ajouter le mélange initial et sa moitié : 6 + 3 = 9 mesures jaunes, avec 4 + 2 = 6 mesures bleues. Ajouter trois mesures à chaque couleur ne conserverait pas les proportions.
Problème 11 — Les biscuits : éviter une division inutile
Triple direct — CM2
Six biscuits coûtent 4 €. Le prix reste proportionnel au nombre de biscuits. Combien coûtent 18 biscuits ? Choisis un chemin qui ne demande pas le prix d’un seul biscuit.
Corrigé expliqué
Dix-huit biscuits représentent trois fois six biscuits. Le prix est donc 3 × 4 € = 12 €.
Le passage à l’unité ferait apparaître 4 ÷ 6, qu’on ne peut pas écrire exactement en centimes. Arrondir ce prix à 0,67 € puis multiplier par 18 donnerait 12,06 €, ce qui est incorrect ici. Tripler le groupe connu permet de conserver le résultat exact, sans arrondi.
Problème 12 — Les livrets et la monnaie rendue
Passage à l’unité puis soustraction — CM2
Cinq livrets identiques coûtent 15 €, au même prix unitaire. Salomé en achète 8 et paie avec 30 €. Combien lui rend-on ?
Corrigé expliqué
Un livret coûte 15 € ÷ 5 = 3 €. Les huit livrets coûtent donc 8 × 3 € = 24 €. La monnaie rendue vaut 30 € − 24 € = 6 €.
La réponse à la question est 6 €, et non 24 € : 24 € n’est qu’un résultat intermédiaire. Pour vérifier l’ensemble, additionne la dépense et la monnaie : 24 € + 6 € = 30 €.
Problème 13 — La photocopieuse de l’école
Rythme constant — CM2
Une photocopieuse imprime 40 pages en 2 minutes. Elle continue au même rythme, sans pause ni temps de démarrage supplémentaire. Combien de pages imprime-t-elle en 5 minutes ?
Corrigé expliqué
En une minute, elle imprime la moitié des pages : 40 ÷ 2 = 20 pages. En cinq minutes, elle imprime cinq fois cette quantité : 5 × 20 = 100 pages.
On peut vérifier en décomposant la durée : 5 minutes, c’est 2 + 2 + 1 minute, soit 40 + 40 + 20 = 100 pages. Le rythme constant est indispensable ; avec une panne ou une pause, la même règle ne s’appliquerait pas à toute la durée.
Problème 14 — Les plaques de carton
Passer par deux — CM2
Huit plaques de carton identiques ont une épaisseur totale de 20 mm. On les empile de la même façon, sans les comprimer. Quelle épaisseur obtient-on avec 14 plaques ?
Corrigé expliqué
Deux plaques représentent le quart de huit : leur épaisseur totale est 20 mm ÷ 4 = 5 mm. Quatorze plaques représentent sept groupes de deux. L’épaisseur recherchée est donc 7 × 5 mm = 35 mm.
Un autre chemin consiste à chercher une plaque : 20 mm ÷ 8 = 2,5 mm, puis 14 × 2,5 mm = 35 mm. Le passage par deux évite ici les décimaux et donne le même résultat exact.
Problème 15 — Une pile de feuilles
Passer par quarante — CM2
Cent vingt feuilles identiques forment une pile de 15 mm d’épaisseur. Quelle est l’épaisseur d’une pile de 200 feuilles du même papier, empilées dans les mêmes conditions ?
Corrigé expliqué
Quarante feuilles représentent le tiers de 120 feuilles. Leur épaisseur est 15 mm ÷ 3 = 5 mm. Deux cents feuilles représentent cinq groupes de quarante : 5 × 5 mm = 25 mm.
La pile mesure donc 25 mm d’épaisseur. Chercher une seule feuille n’était pas nécessaire. Le groupe de quarante est pratique parce qu’il permet de passer des 120 feuilles connues aux 200 feuilles demandées avec deux calculs simples.
Problème 16 — Le fromage vendu au poids
Demi-quantité puis multiplication — CM2
Un morceau de fromage de 300 g coûte 6 €. Le prix au kilogramme ne change pas. Quel serait le prix de 750 g du même fromage ?
Corrigé expliqué
Cent cinquante grammes représentent la moitié de 300 g et coûtent 6 € ÷ 2 = 3 €. Sept cent cinquante grammes représentent cinq fois 150 g. Le prix est donc 5 × 3 € = 15 €.
Tu peux aussi réunir 300 g, 300 g et 150 g : les prix correspondants sont 6 €, 6 € et 3 €. Le total est bien 15 €. Toutes les masses sont exprimées en grammes avant la comparaison.
Problème 17 — Combien de stylos avec un budget ?
Défi accompagné — CM2
Six stylos identiques coûtent 9 €. Ils sont aussi vendus à l’unité au même tarif. Yanis dispose de 20 €. Quel est le plus grand nombre de stylos qu’il peut acheter ? Combien d’argent lui restera-t-il ?
Corrigé expliqué
Un stylo coûte 9 € ÷ 6 = 1,50 €. Dix stylos coûtent 15 €. Trois stylos supplémentaires coûtent 4,50 €, donc treize stylos coûtent 19,50 €. Quatorze coûteraient 21 €, ce qui dépasse le budget.
Yanis peut acheter 13 stylos et il lui reste 0,50 €. Vérifier le prix du stylo suivant est important : cela montre que treize est bien le maximum. On ne peut pas acheter une fraction de stylo.
Problème 18 — Les pommes et les frais de livraison
Défi : prix total non proportionnel — CM2
Des pommes coûtent 3 € le kilogramme. Une livraison coûte 5 € par commande, quelle que soit la masse achetée.
- Combien coûte une commande de 4 kg, livraison comprise ?
- Combien coûte une commande de 8 kg ?
- Le prix total est-il proportionnel à la masse ?
Corrigé expliqué
a) 17 €. Les pommes coûtent 4 × 3 € = 12 €, puis on ajoute 5 € de livraison.
b) 29 €. Les pommes coûtent 8 × 3 € = 24 €, puis on ajoute les mêmes 5 €.
c) Non. La masse a doublé, mais 29 € n’est pas le double de 17 €. Seul le prix des pommes est proportionnel à la masse ; le total avec une livraison fixe ne l’est pas. On peut néanmoins calculer les deux factures.
Problème 19 — Le tarif qui réussit un seul test
Défi de reconnaissance — CM1-CM2 accompagné
Pour une activité, on propose 2 entrées à 8 €, 4 entrées à 16 € et un lot de 6 entrées à 21 €. Zoé affirme que tous ces prix sont proportionnels, car quatre entrées coûtent le double de deux. Son raisonnement suffit-il ?
Corrigé expliqué
Non. Zoé a vérifié seulement une partie du tarif. Six entrées représentent trois fois deux entrées. Avec une règle proportionnelle commune aux trois offres, leur prix devrait être 3 × 8 € = 24 €.
Or le lot coûte 21 €, pas 24 €. Les trois offres ne sont donc pas proportionnelles entre elles. Le premier test réussi n’annule pas ce contre-exemple ; il faut tenir compte de toutes les informations disponibles.
Problème 20 — Préparer une fête pour dix-huit personnes
Défi de synthèse — CM2
Une recette pour 6 personnes utilise 450 g de farine et 3 œufs. On prépare les mêmes portions pour 18 personnes. Il reste 1 kg de farine dans le placard et aucun œuf. Les œufs se vendent en boîtes de 6.
- Quelle masse de farine et combien d’œufs faut-il ?
- Quelle masse de farine manque-t-il ?
- Combien de boîtes d’œufs faut-il acheter, et combien d’œufs restera-t-il ?
Corrigé expliqué
a) 1 350 g de farine et 9 œufs. Dix-huit personnes représentent trois fois six personnes. On multiplie donc chaque ingrédient par trois : 3 × 450 g = 1 350 g et 3 × 3 = 9 œufs.
b) 350 g de farine. Le kilogramme disponible vaut 1 000 g. Il manque 1 350 g − 1 000 g = 350 g.
c) Deux boîtes et 3 œufs restants. Une boîte de six ne suffit pas. Deux boîtes contiennent douze œufs ; après la recette, il en reste 12 − 9 = 3. L’adaptation de la recette est proportionnelle ; l’achat de boîtes entières demande ensuite un raisonnement distinct.
QCM, phrases à trous et cartes
Utilise ces modules après les exercices pour vérifier un réflexe précis. Dans les phrases à trous, saisis uniquement le nombre demandé, sans l’unité déjà affichée. Pour les grands nombres, écris les chiffres sans espace. Les explications permettent de reprendre une erreur avant d’essayer une nouvelle question.
Chez la fleuriste, 3 tulipes coûtent 6 €, au même prix unitaire. Combien coûtent 9 tulipes ?
- 12 €
- 18 €
- 9 €
Neuf tulipes représentent trois fois trois tulipes : le prix triple aussi, donc 3 × 6 € = 18 €.
Quelle situation est proportionnelle ?
- L’âge d’un enfant et sa pointure
- Le temps de révision et la note obtenue
- Le nombre de baguettes et le prix, avec un tarif unitaire constant sans frais
Le tarif constant permet de multiplier la quantité et le prix par le même nombre. Les deux autres situations ne suivent pas cette règle.
Cinq stylos identiques coûtent 4 €, au même tarif unitaire. Pour passer à l’unité, on calcule d’abord…
- le prix d’un stylo : 4 € ÷ 5 = 0,80 €
- le prix de dix stylos : 4 € × 2 = 8 €
- le produit 4 × 5 = 20
Passer à l’unité, c’est chercher la valeur correspondant à un seul objet. Doubler calcule une autre quantité, mais pas l’unité.
Une recette utilise 200 g de riz pour 4 personnes. Pour 6 personnes avec les mêmes portions, il faut…
- 250 g
- 400 g
- 300 g
Deux personnes demandent la moitié de 200 g, soit 100 g. Pour six, on additionne les quantités pour quatre et pour deux : 200 g + 100 g = 300 g.
Huit mètres de tissu coûtent 24 €, sans frais de coupe. Au même tarif, quatre mètres coûtent…
- 12 €
- 20 €
- 48 €
La longueur est divisée par deux. Le prix est donc lui aussi divisé par deux : 24 € ÷ 2 = 12 €.
Une entrée coûte 7 € pour toute la journée, quelle que soit la durée de la visite. Le prix est-il proportionnel au temps passé ?
- Oui, car il existe un prix
- Non, le prix reste identique quand la durée double
- Oui, il faut seulement multiplier par sept
Le forfait reste à 7 € pour deux durées différentes. Si la durée double, le prix ne double pas : il n’est pas proportionnel au temps passé.
Six biscuits coûtent 4 €. Au même tarif proportionnel, quel calcul exact est le plus direct pour dix-huit biscuits ?
- 4 + 12
- 3 × 4
- 18 × 0,67
Dix-huit représente trois fois six. Le prix est donc 3 × 4 € = 12 €. Le prix unitaire arrondi à 0,67 € introduirait une erreur.
Une commande coûte 2 € par objet plus 5 € de livraison fixe. Quel est le total pour quatre objets ?
- 8 €
- 13 €
- 28 €
Les objets coûtent 4 × 2 € = 8 €. La livraison s’ajoute une fois : 8 € + 5 € = 13 €.
Un seul test du double réussit. Que peut-on conclure ?
- Toute la situation est forcément proportionnelle
- Il faut encore vérifier le contexte et les autres données
- La situation est forcément non proportionnelle
Ce test confirme seulement la relation vérifiée. Un autre tarif ou une autre quantité peut fournir un contre-exemple.
Quatre cahiers coûtent 10 € à prix unitaire constant. Combien coûtent sept cahiers ?
- 13 €
- 17,50 €
- 70 €
Un cahier coûte 10 € ÷ 4 = 2,50 €. Sept cahiers coûtent 7 × 2,50 € = 17,50 €.
Deux kilogrammes de poires coûtent 5 €, à tarif constant. Quatre kilogrammes coûtent 10 €.
Trois rubans identiques mesurent ensemble 12 m. Un ruban mesure 4 m.
Cinq cahiers coûtent 15 €, au même prix unitaire. Huit cahiers coûtent 24 €.
Huit gommes coûtent 12 €, à prix unitaire constant. Une gomme coûte 1,50 €.
Deux tours d’une piste mesurent 600 m. Six tours mesurent 1800 m.
Pour quatre crêpes identiques, il faut 120 g de farine. Pour deux, il faut 60 g.
Un achat comprend 18 € de marchandises et 5 € de livraison fixe. Le total est de 23 €.
Pour six personnes, une recette demande 450 g de farine. Pour dix-huit portions identiques, il faut 1350 g.
Proportionnalité
Multiplier les deux quantités correspondantes par le même nombre
À prix constant : trois fois plus de pommes coûtent trois fois plus.
Linéarité multiplicative
Utiliser un double, une moitié ou un autre multiple
Quatre cahiers coûtent 12 € : douze cahiers coûtent 36 €, au même tarif.
Linéarité additive
Réunir des quantités et leurs valeurs correspondantes
Le prix de cinq croissants est celui de trois plus celui de deux, au même tarif.
Passage à l’unité
Trouver la valeur d’un seul élément
Quatre cahiers coûtent 10 € : un cahier coûte 2,50 €.
Groupe intermédiaire
Choisir une quantité plus pratique que l’unité
Huit plaques font 20 mm : deux font 5 mm, donc quatorze font 35 mm.
Test du double
Un échec exclut la proportionnalité ; un seul succès ne la prouve pas
Vérifie aussi les autres tarifs et les conditions de la situation.
Frais fixes
Ils ne sont pas multipliés avec la quantité
Une livraison de 5 € reste à 5 € quand la masse de pommes double.
Vérifier la réponse
Contrôler les unités et retrouver une donnée de départ
Sept cahiers coûtent 17,50 € : quatre au même prix coûtent bien 10 €.
Questions fréquentes
Comment reconnaître un problème de proportionnalité en CM1-CM2 ?
Identifie les deux grandeurs, puis cherche ce qui garde la même valeur : prix par objet, longueur d’un tour, contenance d’une bouteille ou quantité par portion. Tu dois pouvoir multiplier les deux quantités correspondantes par le même nombre. Des frais fixes, une promotion ou un changement de rythme peuvent modifier la situation.
Le test du double suffit-il à prouver la proportionnalité ?
Non, pas lorsqu’on ne vérifie qu’un seul exemple. Un double qui échoue permet de rejeter la proportionnalité, mais un double réussi peut coexister avec une offre non proportionnelle pour une autre quantité. Appuie-toi sur les conditions de l’énoncé et sur l’ensemble des données disponibles.
Faut-il utiliser un tableau de proportionnalité au CM1-CM2 ?
Le programme actuel ne l’utilise pas au cours moyen : on explique les relations entre quantités avec des mots et des calculs. Le tableau de proportionnalité est introduit en sixième.
Faut-il toujours passer par l’unité ?
Non. Pour passer de six biscuits à dix-huit, il suffit de tripler le prix connu. Une quantité intermédiaire comme deux plaques ou cinquante feuilles peut également simplifier le travail. Le passage à l’unité est utile quand il donne facilement une valeur exacte, mais il ne doit pas devenir un détour obligatoire.
Peut-on avoir une réponse décimale dans ces problèmes ?
Oui, notamment pour les prix et les mesures. Si quatre cahiers coûtent 10 €, un cahier coûte 2,50 €. Tu peux raisonner en centimes ou utiliser un partage connu. Ne supprime pas la partie décimale et n’arrondis pas une valeur intermédiaire simplement parce qu’elle est moins facile à écrire.
Qu’est-ce qui change entre le CM1 et le CM2 ?
Les repères officiels passent de relations multiplicatives simples à des raisonnements qui peuvent enchaîner plusieurs étapes. Au CM2, on combine davantage les groupes, les additions de quantités et le passage à l’unité. Dans cette fiche, les derniers exercices sont des défis accompagnés, pas un barème officiel de fin d’année.
La règle de trois et le produit en croix sont-ils la même chose ?
Ces appellations peuvent recouvrir des présentations différentes. Calculer la valeur d’un objet puis celle de plusieurs décrit un passage à l’unité. Ce raisonnement ne doit pas être confondu avec l’application mécanique du produit en croix, qui n’est pas enseigné au cycle 3. Explique toujours ce que signifie chaque étape.
Les pourcentages font-ils partie de cette progression ?
Dans le programme actuel, leur étude explicite est prévue en sixième. Cette fiche de cours moyen utilise donc les doubles, les moitiés, les groupes et les prix, sans demander de calculs de pourcentages. Les fractions comme la moitié ou le quart peuvent néanmoins aider à raisonner.
Un problème non proportionnel est-il impossible à résoudre ?
Pas forcément. Avec un prix par objet et des frais de livraison fixes, tu peux calculer le total en ajoutant les frais après le prix des objets. En revanche, prévoir la future pointure d’un enfant à partir de son âge et de sa pointure actuelle n’est pas possible avec ces seules informations.
Comment aider un enfant qui additionne tous les nombres ?
Faites-lui nommer les grandeurs et reformuler la question. Demandez ensuite combien de groupes connus composent la quantité demandée. Vous pouvez représenter les groupes avec des objets, puis écrire le prix ou la mesure associés. Commencez par une relation simple avant de mélanger prix, monnaie rendue et quantités restantes.
Pour poursuivre en maths
Pour travailler d’autres situations au même niveau, passe aux problèmes de maths de CM1 ou de CM2. Pour une difficulté précise, reprends les fractions, le calcul ou l’organisation des étapes. Le dernier lien est un prolongement de cinquième : ses techniques ne sont pas demandées pour résoudre les exercices de cette fiche.