Statistiques et échantillonnage en seconde

Lire les données

Des temps de trajet, les réponses à un sondage ou les résultats de 200 lancers de pièce forment des séries de données. Les statistiques servent à les organiser et à en dégager des informations. Avant tout calcul, demande-toi qui est étudié, ce qui est mesuré et dans quelle unité. Une moyenne de 12 ne signifie rien tant que tu ignores s’il s’agit de minutes, de centimètres ou d’euros.

La population est l’ensemble auquel on s’intéresse. Un individu est une unité de cette population : une personne, mais aussi une plante ou un objet. Un échantillon est un ensemble d’individus sélectionnés dans cette population. Si tous les élèves d’une classe répondent à une enquête portant uniquement sur cette classe, il s’agit d’un recensement de cette population, pas nécessairement d’un échantillon incomplet.

Le caractère, aussi appelé variable statistique, est ce qu’on observe. Le moyen de transport est qualitatif ; le nombre de livres lus ou la durée d’un trajet sont quantitatifs. Un code postal reste une catégorie : faire la moyenne de ses chiffres n’a pas de sens pour décrire un lieu.

Effectif et fréquence

L’effectif d’une valeur ou d’une catégorie est le nombre d’observations correspondantes. Pour un effectif total N non nul :

Fréquence = effectif de la catégorie ÷ effectif total.

Avec 88 résultats « pile » sur 200 lancers, on obtient 88/200 = 0,44, soit 44 %. La fréquence est comprise entre 0 et 1 ; le pourcentage correspondant est compris entre 0 % et 100 %. Lorsque les catégories couvrent tous les cas sans se chevaucher, leurs effectifs totalisent N et leurs fréquences totalisent 1, à d’éventuels arrondis près.

Moyenne et médiane

Calculer une moyenne simple ou pondérée

Pour N valeurs x₁, …, x_N, la moyenne, notée x̄, est la somme des valeurs divisée par N. Si les valeurs distinctes x_i sont regroupées avec leurs effectifs n_i, chaque valeur doit être comptée autant de fois qu’elle apparaît :

x̄ = (n₁x₁ + … + n_kx_k)/(n₁ + … + n_k).

Une série contient deux trajets de 5 minutes, trois de 10 minutes et un de 20 minutes. Sa moyenne vaut (2 × 5 + 3 × 10 + 1 × 20)/6 = 10 minutes. Diviser 5 + 10 + 20 par 3 traiterait les trois durées comme si elles avaient le même effectif.

Pour réunir deux groupes, on pondère également leurs moyennes par leurs effectifs. Un groupe de 10 personnes ayant une moyenne de 12 et un groupe de 30 personnes ayant une moyenne de 16 donnent une moyenne globale de (10 × 12 + 30 × 16)/40 = 15. La moyenne simple de 12 et 16, égale à 14, serait ici incorrecte.

Trouver la médiane

1. Range toutes les valeurs dans l’ordre croissant, en conservant les répétitions.
2. Si N est impair, prends la valeur de rang (N + 1)/2.
3. Si N est pair, utilise la convention usuelle : la moyenne des deux valeurs centrales, de rangs N/2 et N/2 + 1.

Pour 4 ; 7 ; 9 ; 12 ; 18, la médiane est 9. Pour 4 ; 7 ; 9 ; 12, elle vaut (7 + 9)/2 = 8 : elle n’est donc pas forcément une valeur observée. Une médiane m vérifie qu’au moins la moitié des observations sont inférieures ou égales à m et qu’au moins la moitié sont supérieures ou égales à m. Avec des valeurs répétées, les deux groupes peuvent se chevaucher.

Les rappels détaillés de calcul se trouvent dans la fiche moyenne et médiane au collège.

Comprendre l’effet d’une valeur extrême

Considère sept temps d’attente, en minutes : 6 ; 8 ; 10 ; 12 ; 13 ; 14 ; 21. La somme vaut 84, donc la moyenne est 12 minutes ; la quatrième valeur donne également une médiane de 12 minutes. Si l’on remplace 21 par 84, la somme devient 147 et la moyenne 21 minutes. La médiane reste 12 minutes.

La moyenne tient compte de toutes les valeurs ; la médiane dépend de leur ordre. Elles répondent à des questions différentes. Une attente de 84 minutes peut être réelle : il faut vérifier le contexte avant de parler d’erreur ou de supprimer la donnée. Ajouter ou retirer une observation peut aussi déplacer les rangs centraux et modifier la médiane.

Linéarité : si chaque valeur x devient ax + b, la moyenne devient ax̄ + b. Ajouter 3 minutes à chaque trajet augmente ainsi la moyenne de 3 minutes. Convertir toutes les durées de minutes en secondes multiplie leur moyenne par 60.

Mesurer la dispersion

Une moyenne seule ne décrit pas la régularité d’une série. Les séries 9 ; 10 ; 10 ; 11 et 0 ; 10 ; 10 ; 20 ont toutes deux une moyenne et une médiane de 10. Pourtant, leurs valeurs sont beaucoup plus dispersées dans le second cas.

Étendue et quartiles

L’étendue vaut maximum − minimum. Elle est facile à calculer, mais ne renseigne que sur les deux extrêmes. Pour les deux séries précédentes, les étendues sont respectivement 2 et 20.

Dans cette fiche, on utilise la convention scolaire française des quartiles : dans la série ordonnée, Q₁ est la valeur de rang N/4 arrondi à l’entier supérieur ; Q₃ est celle de rang 3N/4 arrondi à l’entier supérieur. Si le rang calculé est déjà entier, on le conserve. On arrondit le rang, pas la valeur observée.

Pour 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12, N = 11. Les rangs sont 3 et 9 : Q₁ = 4 et Q₃ = 10. L’écart interquartile vaut Q₃ − Q₁ = 6. L’intervalle fermé [Q₁ ; Q₃] contient au moins la moitié des observations ; les effectifs discrets et les répétitions peuvent conduire à davantage.

Une boîte à moustaches permet de comparer les médianes et les quartiles sur une même échelle. La longueur de la boîte correspond à l’écart interquartile. Vérifie la légende des moustaches : selon le graphique ou le logiciel, elles représentent les extrêmes ou suivent une autre convention. Les quartiles calculés par certains logiciels peuvent aussi utiliser une interpolation différente.

Écart type : le sens du calcul

L’écart type, noté σ, mesure la dispersion autour de la moyenne. Il est la racine carrée de la moyenne des carrés des écarts à cette moyenne :

σ = √[((x₁ − x̄)² + … + (x_N − x̄)²)/N].

Pour 8 ; 10 ; 10 ; 12, la moyenne vaut 10. Les écarts sont −2 ; 0 ; 0 ; 2, leurs carrés 4 ; 0 ; 0 ; 4. La moyenne de ces carrés vaut 8/4 = 2 ; l’écart type vaut donc √2 ≈ 1,41. Il ne s’agit pas de la moyenne des distances à 10, qui vaudrait ici 1.

Avec un tableau d’effectifs, chaque carré d’écart est multiplié par l’effectif correspondant avant de diviser par N. La calculatrice ou Python facilite le calcul, mais il faut savoir ce que le résultat mesure. Pour décrire la série observée, on utilise ici le diviseur N ; la valeur calculée avec N − 1 correspond à une autre convention, utilisée pour l’estimation.

Les indicateurs de dispersion ont la même unité que les données. Si tous les temps sont identiques, leur écart type est nul. Pour comparer deux séries, vérifie l’unité, la population et les conditions de mesure : un écart type plus faible indique davantage de régularité, pas nécessairement une meilleure performance.

Données regroupées en classes

Des mesures nombreuses peuvent être regroupées dans des intervalles, appelés classes. L’écriture [10 ; 20[ désigne les valeurs supérieures ou égales à 10 et strictement inférieures à 20. Des classes consécutives ainsi définies évitent de compter deux fois une valeur située à une frontière.

Moyenne exacte ou estimée ?

Si l’on connaît la moyenne réelle de chaque classe, on peut calculer exactement la moyenne globale en la pondérant par les effectifs. Si l’on connaît seulement les bornes, remplacer toutes les valeurs par le centre de leur classe fournit une estimation : ici (4 × 5 + 10 × 15 + 6 × 25)/20 = 16 minutes.

Ce calcul correspond à un modèle où les données sont réparties uniformément dans chaque intervalle. Il ne reconstitue pas les trajets individuels. Par exemple, connaître six trajets entre 20 et 30 minutes ne suffit pas à affirmer que leur moyenne réelle est exactement 25 minutes.

Classe médiane et interpolation

Les 10^e et 11^e observations appartiennent à [10 ; 20[ : c’est la classe médiane de cet exemple. Sa seule connaissance ne donne pas la médiane exacte. Avec une répartition supposée uniforme dans cette classe, on estime la médiane en cherchant où l’effectif cumulé atteint N/2 = 10.

Il y a 4 observations avant la classe, puis 10 observations réparties sur une largeur de 10 minutes. L’estimation est donc 10 + ((10 − 4)/10) × 10 = 16 minutes. C’est une interpolation dans un modèle continu, distincte du calcul exact sur la liste des 20 valeurs.

Représentations graphiques

Dans un histogramme, les aires des rectangles représentent les effectifs ou les fréquences. Pour des classes de même amplitude, comme ici, leurs hauteurs peuvent être directement proportionnelles aux effectifs : 4, 10 et 6. La classe la plus représentée est [10 ; 20[ ; elle ne contient pas nécessairement la moyenne ou tous les trajets « typiques ».

Pour le polygone des fréquences cumulées, place les points (0 ; 0), (10 ; 0,20), (20 ; 0,70) et (30 ; 1), puis relie-les. Ces cumuls comptent les durées strictement inférieures à chaque borne supérieure. L’abscisse correspondant à la fréquence cumulée 0,50 donne l’estimation de la médiane : 16 minutes. Les segments traduisent l’hypothèse d’une répartition uniforme à l’intérieur des classes.

Croiser deux variables

Un tableau croisé décrit simultanément deux caractères. Voici les réponses fictives de 100 élèves sur leur inscription à un club et leur moyen de transport :

La fréquence marginale des cyclistes est 42/100 = 42 % : on utilise un total situé dans la marge du tableau. La fréquence des élèves à la fois inscrits au club et cyclistes est 24/100 = 24 %.

La fréquence conditionnelle des cyclistes parmi les inscrits au club est 24/40 = 60 %. Le mot « parmi » précise le groupe de référence, donc le dénominateur. À l’inverse, la fréquence des inscrits au club parmi les cyclistes vaut 24/42 ≈ 57,1 %. Inverser les deux caractères change généralement le résultat.

Si l’on tire au sort un élève avec la même probabilité pour chacun des 100 élèves, ces proportions deviennent les probabilités correspondantes. Sachant que l’élève est inscrit au club, sa probabilité d’utiliser le vélo vaut 24/40. Ce rapprochement suppose de préciser l’expérience aléatoire et le groupe dans lequel on choisit.

Comprendre l’échantillonnage

Fréquence observée et probabilité

La probabilité p appartient au modèle choisi ; la fréquence f se calcule après les observations. Dans le modèle d’une pièce équilibrée, p = 0,5 pour pile. Sur 50 lancers, 23 piles donnent f = 0,46 et 27 piles donnent f = 0,54. Ces résultats sont possibles sans contradiction avec le modèle.

On parle de fluctuation d’échantillonnage parce que des échantillons obtenus dans les mêmes conditions peuvent donner des fréquences différentes. Ils peuvent aussi donner exactement la même fréquence : deux séries de 50 lancers contenant chacune 25 piles ont toutes deux f = 0,5.

Dans les simulations de cette fiche, un échantillon de taille n correspond à n répétitions indépendantes d’une expérience, avec une même probabilité de succès. Pour une enquête, il désigne les n individus retenus. Interroger n personnes ne garantit pas à lui seul l’indépendance ni la représentativité ; les résultats d’un tirage sans remise dans une population finie ne sont pas automatiquement indépendants.

La fiche probabilités au collège permet de reprendre le vocabulaire d’expérience aléatoire, d’événement et d’équiprobabilité.

Le hasard n’explique pas tous les écarts

Deux enquêtes peuvent différer par fluctuation, mais aussi parce qu’elles ne portent pas sur la même population, n’utilisent pas la même question ou ont été réalisées à des dates différentes. Une enquête publiée uniquement dans un groupe de cyclistes risque, par exemple, de surreprésenter les utilisateurs du vélo.

Un biais est une déformation systématique liée notamment à la sélection, à la formulation de la question ou aux non-réponses. Augmenter l’effectif ne le fait pas disparaître automatiquement. Avant de réunir deux sondages, il faut vérifier qu’ils portent sur une même question, une même population et une période comparable, avec des répondants distincts et une méthode de sélection compatible.

Loi des grands nombres

Pour des répétitions indépendantes ayant une même probabilité de succès p, la fréquence observée a tendance à se stabiliser autour de p lorsque le nombre de répétitions devient grand. À précision fixée, le risque d’un écart important devient faible pour n suffisamment grand. C’est l’idée de la loi des grands nombres utilisée ici.

Ce rapprochement n’est pas régulier à chaque lancer. Après 10 lancers, 6 piles donnent 0,6. Si le lancer suivant donne pile, la fréquence devient 7/11 ≈ 0,636 : elle s’éloigne provisoirement de 0,5. Cela ne contredit pas la stabilisation à long terme.

Le modèle ne garantit pas non plus exactement 50 % de piles après 1 000 lancers. Il ne prévoit aucun « rattrapage » : après plusieurs piles consécutifs, la probabilité de face au prochain lancer reste 0,5 si les lancers sont indépendants et la pièce équilibrée.

Obtenir 70 % de piles sur 10 lancers est possible sans surprise particulière. Obtenir cette même fréquence sur 10 000 lancers serait extrêmement peu compatible avec le modèle de lancers indépendants d’une pièce équilibrée. On examinerait alors le modèle, le protocole et les données. Ce seul résultat ne prouverait pas une manipulation intentionnelle.

Simuler avec Python

Décrire une série

Le module statistics permet de vérifier les indicateurs. pstdev calcule l’écart type descriptif avec le diviseur N. Le programme suivant reprend les cinq trajets de 12 ; 4 ; 18 ; 9 ; 7 minutes :

from statistics import mean, median, pstdev

valeurs = [12, 4, 18, 9, 7]
print(mean(valeurs))
print(median(valeurs))
print(round(pstdev(valeurs), 2))

Il affiche 10, puis 9, puis 4.77. Le point est le séparateur décimal en Python : l’écart type vaut environ 4,77 minutes. Vérifie que les données saisies et les unités sont correctes avant d’interpréter un affichage.

Produire plusieurs échantillons

Pour représenter une expérience à deux issues, on génère un nombre entre 0 inclus et 1 exclu. Un nombre inférieur à p correspond à un succès. La fonction ci-dessous compte les succès sur n essais, puis renvoie leur fréquence. On suppose n entier strictement positif et 0 ≤ p ≤ 1.

from random import Random
from statistics import mean, pstdev

generateur = Random(2026)

def frequence(n, p=0.5):
    succes = 0
    for _ in range(n):
        if generateur.random() < p:
            succes += 1
    return succes / n

for n in (20, 200, 2000):
    frequences = []
    for _ in range(100):
        frequences.append(frequence(n))
    print(n, round(mean(frequences), 3),
          round(pstdev(frequences), 3))

Random(2026) fixe une graine pour rendre l’expérience reproductible. Elle est définie une seule fois, avant les boucles. La réinitialiser avec la même graine avant chaque échantillon ferait répéter les mêmes tirages. Les nombres sont pseudo-aléatoires : le programme reproduit le modèle choisi, pas une enquête réelle.

Ces valeurs proviennent d’une exécution du code. Les fréquences sont ici moins dispersées lorsque n augmente. Attention aux deux effectifs : n désigne les essais dans un échantillon ; 100 désigne le nombre d’échantillons. L’écart type du tableau décrit les 100 fréquences obtenues, pas les temps de trajet du premier programme.

La moyenne 0,510 est un peu plus éloignée de 0,5 que 0,507 : même ce résumé d’un ensemble de simulations n’a pas à se rapprocher à chaque étape. Changer la graine produit d’autres résultats. Une simulation illustre un phénomène et aide à formuler une conjecture ; elle ne constitue pas une démonstration ni une validation automatique du modèle.

Méthode et erreurs fréquentes

1. Identifier la série : population, caractère, unité, effectif et éventuelles données manquantes.
2. Organiser : trier une liste, compléter les effectifs ou lire les totaux du tableau.
3. Choisir : indicateur de position, dispersion, fréquence globale ou conditionnelle.
4. Calculer : écrire la formule avec les données et garder suffisamment de précision.
5. Interpréter : donner une phrase adaptée au contexte, avec les limites de la conclusion.

Garde les valeurs exactes pendant le calcul et arrondis à la fin selon la consigne. Par exemple, 31/60 ≈ 0,5167, soit environ 51,7 %. Écrire 0,52 convient pour un arrondi au centième, mais transforme le pourcentage affiché en 52 %.

20 exercices corrigés

Commence par les calculs sur une série, puis travaille les tableaux et l’interprétation du hasard. Chaque exercice contient ses propres données. Cherche une réponse et une justification avant de consulter la correction.

Entraînement

Les questions suivantes vérifient les calculs essentiels et les limites d’interprétation. Chaque QCM possède une seule bonne réponse.

Questions fréquentes

Fiches pour poursuivre

Pour consolider les calculs, reprends les rappels de moyenne et de médiane. Les deux autres ressources proposent un traitement plus avancé : leur contenu dépasse les notions utilisées ici.