Moyenne et Médiane
Cours de statistiques au collège · Moyenne simple et pondérée, médiane, étendue, quartiles · Exercices corrigés brevet
Les statistiques sont omniprésentes au brevet : calculer une moyenne, trouver une médiane, interpréter un diagramme. Ce cours couvre les indicateurs de position (moyenne, médiane, mode) et de dispersion (étendue, quartiles) avec la méthode pas à pas pour chaque calcul.
Vocabulaire de base
| Terme | Définition | Exemple |
|---|---|---|
| Population | L’ensemble des individus étudiés | Les 30 élèves d’une classe |
| Caractère | Ce qu’on observe/mesure | La note à un contrôle |
| Valeurs | Les résultats possibles du caractère | 0, 1, 2, … 20 |
| Effectif | Nombre d’individus ayant une valeur | 5 élèves ont eu 14 |
| Effectif total | Nombre total d’individus (noté N) | N = 30 |
| Fréquence | Effectif ÷ effectif total | 5/30 ≈ 16,7 % |
La moyenne
La moyenne d’une série de valeurs est la somme de toutes les valeurs divisée par le nombre de valeurs.
Notes d’un élève : 12, 15, 8, 14, 11
Moyenne = (12 + 15 + 8 + 14 + 11) ÷ 5 = 60 ÷ 5 = 12
Températures de la semaine : 5, 7, 6, 8, 10, 12, 9
Moyenne = (5+7+6+8+10+12+9) ÷ 7 = 57 ÷ 7 ≈ 8,1 °C
La moyenne pondérée
Quand chaque valeur n’apparaît pas le même nombre de fois (ou quand les coefficients sont différents), on calcule une moyenne pondérée.
| Note | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 3 | 5 | 8 | 7 | 2 |
Somme des (note × effectif) : 8×3 + 10×5 + 12×8 + 14×7 + 16×2 = 24 + 50 + 96 + 98 + 32 = 300
Effectif total : 3 + 5 + 8 + 7 + 2 = 25
Moyenne = 300 ÷ 25 = 12
Maths (coeff 3) : 14. Français (coeff 3) : 11. Histoire-géo (coeff 2) : 15. Sciences (coeff 2) : 12.
Moyenne = (14×3 + 11×3 + 15×2 + 12×2) ÷ (3+3+2+2)
= (42 + 33 + 30 + 24) ÷ 10 = 129 ÷ 10 = 12,9
Si toutes les valeurs sont proches d’un nombre de référence (par ex. 10), on peut calculer la moyenne des écarts à ce nombre, puis l’ajouter à la référence. Exemple : 11, 9, 12, 8 → écarts : +1, −1, +2, −2 → moyenne des écarts = 0 → moyenne = 10.
La médiane
La médiane est la valeur qui partage la série ordonnée (rangée du plus petit au plus grand) en deux moitiés d’effectifs égaux. La moitié des valeurs est ≤ médiane, l’autre moitié est ≥ médiane.
- Ranger toutes les valeurs dans l’ordre croissant.
- Compter l’effectif total N.
- Si N est impair : la médiane est la valeur de rang (N+1)/2.
- Si N est pair : la médiane est la moyenne des valeurs de rang N/2 et N/2 + 1.
Série : 3, 5, 7, 8, 10, 12, 15
N = 7 (impair) → rang = (7+1)/2 = 4e valeur.
La 4e valeur est 8. Médiane = 8.
Série : 4, 6, 9, 11, 13, 20
N = 6 (pair) → rangs N/2 = 3e et N/2+1 = 4e valeurs.
3e valeur = 9, 4e valeur = 11.
Médiane = (9 + 11) ÷ 2 = 10.
| Valeur | 2 | 5 | 7 | 9 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 4 | 6 | 3 | 5 | 2 |
| Eff. cumulé | 4 | 10 | 13 | 18 | 20 |
N = 20 (pair) → rangs 10 et 11.
L’effectif cumulé atteint 10 à la valeur 5, et 13 à la valeur 7.
Le 10e individu a la valeur 5 et le 11e a la valeur 7.
Médiane = (5 + 7) ÷ 2 = 6.
Il faut ranger les valeurs en ordre croissant avant de chercher la médiane. Si la série n’est pas triée, on trouve un résultat faux.
L’étendue
L’étendue mesure la dispersion de la série : plus l’étendue est grande, plus les valeurs sont étalées.
Série A : 8, 9, 10, 11, 12 → étendue = 12 − 8 = 4 (valeurs groupées)
Série B : 2, 5, 10, 15, 20 → étendue = 20 − 2 = 18 (valeurs étalées)
Le mode
Le mode (ou valeur modale) est la valeur qui apparaît le plus souvent dans la série (effectif le plus grand). Une série peut avoir plusieurs modes.
Série : 3, 5, 5, 7, 5, 8, 7 → le mode est 5 (apparaît 3 fois).
Série : 2, 2, 4, 4, 6 → deux modes : 2 et 4 (série bimodale).
Quartiles (3e)
Les quartiles divisent la série ordonnée en 4 parts d’effectifs (à peu près) égaux.
| Quartile | Signification | Rang |
|---|---|---|
| Q₁ (1er quartile) | 25 % des valeurs sont ≤ Q₁ | Rang ≈ N/4 |
| Q₂ = Médiane | 50 % des valeurs sont ≤ Q₂ | Rang ≈ N/2 |
| Q₃ (3e quartile) | 75 % des valeurs sont ≤ Q₃ | Rang ≈ 3N/4 |
L’écart interquartile = Q₃ − Q₁. Il contient les 50 % centraux des données. C’est un meilleur indicateur de dispersion que l’étendue car il n’est pas influencé par les valeurs extrêmes.
Série ordonnée : 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 16, 20
N = 12.
Q₁ : rang 12/4 = 3e valeur → Q₁ = 6
Médiane : rangs 6 et 7 → (9+10)/2 = 9,5
Q₃ : rang 3×12/4 = 9e valeur → Q₃ = 12
Écart interquartile = 12 − 6 = 6
Moyenne vs médiane — quand utiliser quoi ?
| Critère | Moyenne | Médiane |
|---|---|---|
| Sensibilité aux extrêmes | Très sensible | Pas sensible |
| Quand l’utiliser | Données homogènes, pas de valeurs aberrantes | Données avec valeurs extrêmes (salaires, prix) |
| Interprétation | « Centre de gravité » des données | « Valeur typique » (50 % au-dessus, 50 % en dessous) |
Série : 2, 3, 4, 5, 100
Moyenne = (2+3+4+5+100) ÷ 5 = 114 ÷ 5 = 22,8 (tirée vers le haut par 100)
Médiane = 4 (3e valeur sur 5 — pas influencée par 100)
Ici, la médiane est plus représentative que la moyenne.
Tableau récapitulatif
| Indicateur | Formule / Méthode | Type |
|---|---|---|
| Moyenne | Σ valeurs ÷ N | Position |
| Moyenne pondérée | Σ(valeur × effectif) ÷ Σ effectifs | Position |
| Médiane | Valeur du milieu (série ordonnée) | Position |
| Mode | Valeur la plus fréquente | Position |
| Étendue | Max − Min | Dispersion |
| Écart interquartile | Q₃ − Q₁ | Dispersion |
Erreurs classiques
Il faut ranger les valeurs en ordre croissant avant de chercher la médiane. La valeur « au milieu du tableau » n’est pas la médiane si le tableau n’est pas trié.
Pour une moyenne pondérée, on divise par la somme des effectifs, pas par le nombre de valeurs distinctes. Exemple : 5 valeurs dans le tableau mais 25 individus au total → on divise par 25.
La moyenne et la médiane sont deux choses différentes. Une série peut avoir une moyenne de 12 et une médiane de 10. Au brevet, lisez bien ce qu’on demande.
Avec un tableau d’effectifs, calculer les effectifs cumulés croissants est indispensable pour trouver le rang de la médiane.
Exercices corrigés
Notes d’un élève en maths : 9, 13, 11, 7, 15, 12, 10. Calculer la moyenne.
Corrigé : (9+13+11+7+15+12+10) ÷ 7 = 77 ÷ 7 = 11
Tableau des résultats d’un contrôle :
| Note | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 2 | 5 | 10 | 6 | 2 |
Corrigé : 6×2 + 9×5 + 12×10 + 15×6 + 18×2 = 12+45+120+90+36 = 303
Effectif total = 2+5+10+6+2 = 25
Moyenne = 303 ÷ 25 = 12,12
Série : 14, 8, 11, 19, 6, 15, 10, 12, 9. Trouver la médiane.
Corrigé : Série ordonnée : 6, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 19
N = 9 (impair) → rang (9+1)/2 = 5e valeur → Médiane = 11
Série : 5, 8, 3, 12, 7, 10. Trouver la médiane.
Corrigé : Série ordonnée : 3, 5, 7, 8, 10, 12
N = 6 (pair) → rangs 3 et 4 → valeurs 7 et 8
Médiane = (7+8) ÷ 2 = 7,5
Un professeur a relevé les notes (sur 20) de sa classe :
| Note | 7 | 10 | 12 | 14 | 17 |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 3 | 7 | 8 | 5 | 2 |
a) Calculer la moyenne. b) Déterminer la médiane. c) Calculer l’étendue.
Corrigé :
a) 7×3 + 10×7 + 12×8 + 14×5 + 17×2 = 21+70+96+70+34 = 291. N = 25. Moyenne = 291 ÷ 25 = 11,64
b) N = 25 (impair) → rang (25+1)/2 = 13e valeur.
| Note | 7 | 10 | 12 | 14 | 17 |
|---|---|---|---|---|---|
| Eff. cumulé | 3 | 10 | 18 | 23 | 25 |
Le 13e individu se situe dans le groupe « 12 » (cumul passe de 10 à 18). Médiane = 12
c) Étendue = 17 − 7 = 10