Problèmes de maths 5ème : méthode et 20 exercices corrigés

Pour résoudre un problème de maths en 5e, commence par comprendre ce que tu cherches, puis choisis un raisonnement adapté aux données. Effectue les calculs nécessaires, contrôle leur cohérence et réponds avec la bonne unité. Certains problèmes demandent une seule opération ; d’autres nécessitent plusieurs étapes, une comparaison ou l’utilisation d’une propriété.

Cette fiche rassemble des méthodes et des situations relevant des apprentissages de cinquième, dans le cadre du programme applicable depuis la rentrée 2026. Elle permet de réviser plusieurs domaines sans constituer à elle seule tout le programme. Les prix, mesures et situations proposés dans les exercices sont des données d’entraînement.

La méthode en cinq étapes

1. Comprendre la situation et la question

Lis l’énoncé en entier, puis reformule ce qu’il faut trouver : un prix payé, une quantité restante, une distance, une aire ? La question détermine le résultat attendu. Relire un passage précis peut être plus utile que relire plusieurs fois sans objectif.

Dans un problème d’achat, « combien dépense-t-elle ? » et « combien lui rend-on ? » ne demandent pas la même grandeur. Le prix total est une étape pour calculer la monnaie, mais il n’est pas encore la réponse à la deuxième question.

2. Organiser les données utiles

Associe chaque nombre à ce qu’il représente et à son unité. Ne relève pas seulement « 6 » et « 150 » : note « 6 crêpes » et « 150 g de farine ». Une information sans nombre peut aussi être essentielle : « au même prix unitaire », « à vitesse constante », « hauteur perpendiculaire ».

Un tableau convient aux quantités proportionnelles, une droite graduée aux déplacements avec des nombres relatifs, un croquis aux dimensions d’une figure. Certaines données peuvent être inutiles à la question ; d’autres peuvent manquer. Il n’est pas nécessaire d’utiliser tous les nombres à tout prix.

3. Choisir une stratégie

Demande-toi quelle relation relie les données à l’inconnue. Cherches-tu un total, une différence, une part, un nombre de groupes ? Une formule n’est utile que si elle correspond à la grandeur recherchée et si les mesures nécessaires sont disponibles.

Quand plusieurs étapes sont nécessaires, écris un petit plan : « calculer la surface, puis le prix du gazon ». Tu peux aussi partir de la question finale et remonter : pour connaître la monnaie, il faut d’abord connaître la dépense.

4. Calculer en donnant un sens aux étapes

Écris une courte étiquette avant chaque calcul : « prix des cahiers », « aire de la base », « pages restantes ». Garde les résultats intermédiaires exacts lorsque c’est possible. Avec une calculatrice autorisée, vérifie que tu as saisi les parenthèses et les nombres dans le bon ordre.

La présentation peut être courte : elle doit surtout montrer ce que tu fais. La fiche de méthodologie pour rédiger un exercice de maths propose d’autres repères pour organiser la démarche.

5. Vérifier et conclure

Contrôle l’ordre de grandeur, le signe et l’unité. Une remise doit faire diminuer le prix ; une profondeur de 9 m s’exprime par une longueur positive, tandis que la position par rapport à la surface peut être notée −9 m. Relis enfin la question pour rédiger une conclusion qui y répond directement.

Comment choisir le calcul ?

Les mots de l’énoncé donnent des indices, mais aucun mot-clé n’impose à lui seul une opération. Il faut comprendre la relation entre les quantités et identifier celle qui manque.

Attention à « de plus » : Léa possède 18 cartes, soit 5 de plus que Sami. Sami en possède 18 − 5 = 13. Le texte contient « de plus », mais on soustrait parce qu’on cherche la plus petite collection.

Attention aux données manquantes : connaître la base et la hauteur d’un parallélogramme permet de calculer son aire. Cela ne donne pas nécessairement la longueur de son côté oblique, donc ne suffit pas toujours pour calculer son périmètre. Signaler l’information manquante est alors un raisonnement valable.

Proportionnalité et pourcentages

Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque l’on obtient les valeurs de l’une en multipliant celles de l’autre par un même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité, pour un sens de passage et des unités fixés. Les recettes adaptées, les prix unitaires constants et les échelles offrent des situations utiles pour s’entraîner.

Choisir entre plusieurs méthodes

Supposons que 4 cahiers identiques coûtent 10 €, au même prix unitaire quelle que soit la quantité. Pour trouver le prix de 6 cahiers, plusieurs démarches conviennent :

• Passage à l’unité : 10 ÷ 4 = 2,50 € par cahier, puis 6 × 2,50 = 15 €.
• Multiplication des quantités : 6 = 4 × 1,5, donc le prix vaut 10 × 1,5 = 15 €.
• Décomposition : 2 cahiers coûtent la moitié de 10 €, soit 5 € ; 6 cahiers coûtent donc 10 + 5 = 15 €.

Le passage à l’unité est une possibilité, pas une étape obligatoire. Une décomposition peut éviter un quotient peu pratique. La fiche sur la proportionnalité en 5e permet de revoir ces raisonnements.

Reconnaître une situation non proportionnelle

Un tarif composé de 3 € de frais fixes et de 2 € par objet n’est pas proportionnel au nombre d’objets : un objet coûte 5 €, deux objets coûtent 7 €. Doubler la quantité ne double pas le prix total. Avant de remplir un tableau de proportionnalité, vérifie donc les conditions du problème.

Un seul exemple où les prix doublent ne prouve pas qu’un tarif est toujours proportionnel. Il faut s’appuyer sur la règle donnée ou sur l’ensemble des données disponibles. Dans un exercice, la mention d’un prix unitaire constant fournit précisément cette information.

Appliquer un pourcentage ou une échelle

Calculer 25 % d’un prix revient à en prendre 25/100, soit un quart. Pour une remise, calcule d’abord le montant retiré, puis le prix final. La réduction et le prix payé sont deux résultats différents.

À l’échelle 1/25 000, une longueur sur la carte représente une longueur réelle 25 000 fois plus grande, à condition d’utiliser la même unité. Une mesure en centimètres donne d’abord un résultat réel en centimètres, avant conversion en mètres ou en kilomètres.

Problèmes de fractions

Identifier ce que représente le tout

Une fraction exprime un nombre ou une part d’une quantité. Dans « les 2/5 d’un roman », le tout est le roman complet. Dans « les 2/5 des pages restantes », le tout est seulement ce qui reste à lire. Ces deux formulations conduisent à des calculs différents.

Pour calculer les 3/4 de 80, tu peux diviser 80 par 4, puis multiplier par 3 : 80 ÷ 4 × 3 = 60. La division donne la valeur d’un quart ; la multiplication permet d’en prendre trois. Cette explication aide à retrouver l’opération sans l’apprendre comme une recette vide de sens.

Additionner des parts du même ensemble

Si tu prends 1/3 puis 1/4 d’une même quantité, sans chevauchement, tu réunis 4/12 + 3/12 = 7/12 de cette quantité. Les dénominateurs doivent être communs pour additionner les numérateurs. Le dénominateur commun n’est pas obligatoirement le plus petit, même si un petit dénominateur facilite souvent les calculs.

Pour revoir la technique, utilise la fiche sur l’addition et la soustraction de fractions. Dans un problème de reste, tu peux calculer la fraction restante ou retirer la quantité utilisée du total : les deux démarches doivent aboutir au même résultat.

Températures et nombres relatifs

Les nombres relatifs servent notamment à représenter des températures, des altitudes ou des positions de part et d’autre d’une origine. Le signe indique le côté de la référence choisie. La distance à zéro, aussi appelée valeur absolue, est toujours positive ou nulle : celle de −7 est 7.

Pour additionner deux nombres de même signe, additionne leurs distances à zéro et conserve ce signe. Avec des signes contraires, soustrais la plus petite distance à zéro de la plus grande : cette différence donne la distance du résultat, qui prend le signe du nombre le plus éloigné de zéro. Si les distances sont égales, la somme est 0.

Dans une situation de température, une hausse de 4 °C se traduit par l’ajout de 4, même si la température de départ est négative. Passer de −6 °C à +3 °C correspond à une hausse de 9 °C : il faut gagner 6 degrés pour atteindre 0, puis encore 3 degrés.

Pour trouver une variation, on compare l’état final à l’état initial. La fiche sur l’addition et la soustraction des nombres relatifs détaille les règles et les déplacements sur une droite graduée.

Géométrie : choisir la bonne grandeur

Le périmètre mesure le tour d’une figure ; l’aire mesure une surface ; le volume mesure l’espace occupé par un solide. Avant toute formule, demande-toi si l’on veut entourer, recouvrir ou remplir. Ces images aident à comprendre, mais la question exacte reste déterminante.

Dans un triangle ou un parallélogramme, la hauteur associée à la base n’est pas automatiquement un côté de la figure. Dans une tente modélisée par un prisme droit, distingue la hauteur du triangle de façade et la longueur séparant les deux façades : elles interviennent à des étapes différentes.

La géométrie demande aussi des justifications. Pour calculer le troisième angle d’un triangle, utilise la somme de 180° et les deux angles connus. Une mesure au rapporteur peut aider à contrôler un dessin, mais elle ne remplace pas le raisonnement demandé à partir des données.

Unités, conversions et arrondis

Convertis les mesures avant de les additionner ou de les utiliser dans une formule, lorsque les unités diffèrent. On ne remplace pas 30 cm par 30 dans une formule où les autres longueurs sont exprimées en mètres : il faut utiliser 0,30 m.

Arrondir dépend de la question. Pour un prix approché, on peut demander un arrondi au centime. Pour transporter tous les voyageurs, on prend un nombre entier suffisant de cars. Pour compter des objets complets que l’on peut acheter avec un budget, on ne dépasse pas ce budget. Le contexte décide de l’interprétation.

Garde autant que possible la valeur exacte dans les calculs intermédiaires, puis effectue l’arrondi demandé à la fin. Si tu écris une approximation, utilise le signe « ≈ » et précise l’unité ou la précision utile.

Lettres, données et hasard

Utiliser une lettre sans compliquer le problème

Une lettre peut représenter une quantité inconnue ou une quantité qui varie. Si un cahier coûte x euros, cinq cahiers identiques coûtent 5 × x euros, écrit aussi 5x. Connaître le prix total permet de retrouver le prix d’un cahier par une division.

Une expression peut également résumer un programme de calcul. « Ajouter 4, puis multiplier le résultat par 3 » s’écrit 3 × (x + 4). Pour x = 2, on obtient 3 × (2 + 4) = 18. Sans parenthèses, 3 × 2 + 4 vaudrait 10 et ne décrirait pas le même programme.

Lire une série de données

Une moyenne simple se calcule en divisant la somme des valeurs par le nombre de valeurs. Elle résume une série, mais n’indique pas que chaque observation lui est égale. Avant de calculer, repère aussi ce que représentent les lignes, les colonnes et les unités d’un tableau.

La fréquence d’une catégorie est son effectif divisé par l’effectif total. Dans un groupe de 20 élèves dont 5 viennent à vélo, la fréquence correspondante est 5/20 = 1/4 = 25 %. L’effectif est un nombre d’élèves ; la fréquence exprime une proportion.

Raisonner sur un tirage au hasard

Quand toutes les issues considérées ont la même chance de se produire, on calcule une probabilité en divisant le nombre d’issues favorables par le nombre total d’issues. Il faut d’abord préciser quelles sont les issues : pour un sac de jetons, chaque jeton peut être une issue, sans que chaque couleur ait la même probabilité.

Une probabilité décrit les chances d’un événement. Elle ne permet pas de prédire avec certitude le prochain résultat, ni de garantir un nombre exact de réussites dans une petite série de tirages.

Rédiger et vérifier sa solution

Une solution lisible indique la grandeur calculée, le calcul et une conclusion. Évite d’enchaîner des égalités fausses pour suivre ta pensée : si tu calcules un prix, puis une monnaie, écris deux lignes distinctes. Le signe « = » relie des quantités égales, pas simplement deux étapes successives.

• Question : ai-je répondu à ce qui était demandé, et pas seulement à une étape intermédiaire ?
• Données : ai-je utilisé les bonnes mesures et compris la quantité de référence ?
• Calcul : ai-je respecté les priorités et les parenthèses ?
• Cohérence : le signe, la taille du résultat et son unité conviennent-ils ?
• Conclusion : faut-il un résultat exact, une approximation ou un nombre entier d’objets ?

Pour t’entraîner, choisis d’abord quelques problèmes d’une même famille, puis mélange les thèmes afin d’apprendre à reconnaître la méthode. Cache la correction, cherche réellement, puis note l’étape où tu as bloqué. Refaire un exercice avec une petite modification permet de vérifier que tu as compris le raisonnement.

Le rythme de travail dépend de tes besoins et des consignes de classe. Deux ou trois problèmes ciblés peuvent servir de séance courte, sans constituer une règle obligatoire ni garantir un résultat au contrôle. Les critères d’évaluation et le barème restent ceux du professeur.

20 problèmes corrigés

Les problèmes 1 à 5 portent sur la proportionnalité et les tarifs ; les 6 à 9 sur les fractions et les relatifs ; les 10 à 14 sur la géométrie ; les 15 à 20 sur des achats, l’organisation, les données et le hasard. Cherche avant de lire la correction. Les étapes sont détaillées pour expliquer le choix des calculs.

QCM et révisions

Ces modules complètent les vingt problèmes : 12 QCM à réponse unique, 12 phrases à trous et 12 cartes. Pour progresser, explique aussi pourquoi les autres réponses d’un QCM ne conviennent pas.

Questions fréquentes

Pour reprendre une notion précise, utilise les fiches ci-dessous. La fiche sur les fractions rappelle les bases de 6e ; les ressources de calcul littéral, de statistiques et de vitesse couvrent aussi des notions travaillées plus tard au collège. Choisis les parties correspondant à ton cours actuel.