Programme de spécialité maths en première 2026-2027

Le programme de spécialité maths en première relie quatre grands domaines : l’algèbre, l’analyse, la géométrie, les probabilités et statistiques. Tu apprends notamment à modéliser une évolution avec une suite, à étudier une fonction avec sa dérivée et à calculer une probabilité en tenant compte d’une information.

Cette page te donne une vue d’ensemble de l’année, puis des exemples et 20 exercices corrigés. Elle sert à repérer les compétences à travailler, pas à tout apprendre en une séance. Choisis d’abord les exercices correspondant aux chapitres déjà étudiés en classe.

Quel programme en 2026-2027 ?

Le programme applicable en première générale est fixé par l’arrêté du 26 février 2026, publié au Bulletin officiel du 2 avril 2026. Il remplace l’annexe du programme de 2019 à la rentrée scolaire 2026-2027. Le renouvellement des programmes de terminale intervient, lui, à la rentrée 2027-2028.

La spécialité représente 4 heures de cours par semaine en première, selon les horaires du cycle terminal. Ce volume ne correspond pas au travail personnel à fournir : celui-ci dépend des exercices demandés et des difficultés à reprendre. Il ne faut pas non plus confondre cette spécialité avec l’enseignement de mathématiques spécifique suivi par les élèves qui ne la choisissent pas.

Le texte distingue quatre parties thématiques et trois parties transversales : logique, algorithmique et programmation, automatismes. Ce classement n’impose pas l’ordre des cours. Ton professeur peut commencer par le second degré, les suites ou une autre entrée, puis faire revenir certaines notions plusieurs fois.

Les outils fondamentaux restent reconnaissables dans les anciens cours : fractions, factorisation, suites, dérivées et vecteurs. En revanche, vérifie le périmètre des notions et le format de l’examen. Un ancien sujet peut être utile pour s’entraîner sans décrire exactement les modalités désormais applicables.

Les chapitres de première spécialité

Voici les principaux ensembles de notions. Les objectifs de la dernière colonne traduisent les contenus en tâches concrètes ; ils ne constituent pas une liste exhaustive des questions possibles.

Les chapitres communiquent entre eux : un problème de géométrie peut conduire à un trinôme ; son maximum peut se déterminer par une forme canonique ou une dérivée. Une suite géométrique et une exponentielle peuvent décrire deux modèles d’une même évolution, l’un discret, l’autre continu.

Algèbre : suites et second degré

Définir et calculer les termes d’une suite

Une suite associe un nombre à chaque indice entier de son ensemble de définition. Il faut distinguer l’indice n, qui indique une position, et le terme u_n, qui est la valeur correspondante. Avec u_n = 3n + 2, le terme d’indice 4 est u₄ = 14.

Une formule explicite permet de calculer directement un terme. Une relation de récurrence utilise un ou plusieurs termes précédents : si u₀ = 2 et u_n+1 = 3u_n + 1, on obtient successivement 7, puis 22. Écrire u₂ = 3 × 2 + 1 serait confondre l’indice avec le terme précédent.

Une définition par récurrence n’est pas une démonstration par récurrence. Dans le premier cas, tu disposes d’une règle pour produire des termes. La méthode de preuve appelée raisonnement par récurrence n’est pas à confondre avec cette construction.

Suites arithmétiques, géométriques et sommes

Une suite arithmétique ajoute toujours une même raison r : u_n+1 = u_n + r. Si elle commence à l’indice 0, son terme général est u_n = u₀ + nr. Une suite géométrique multiplie chaque terme par une même raison q : u_n+1 = qu_n, d’où u_n = u₀qⁿ. Si le premier indice est 1, adapte les formules : il y a alors n − 1 passages jusqu’au terme d’indice n.

Une augmentation de 5 unités à chaque étape produit un modèle arithmétique. Une augmentation de 5 % à chaque étape multiplie par 1,05 et produit un modèle géométrique. Ce ne sont pas deux écritures interchangeables de la même évolution.

Les sommes demandent de compter les termes. De u₀ à u_n inclus, il y en a n + 1. Pour une suite arithmétique, la somme vaut le nombre de termes multiplié par la moyenne du premier et du dernier. Pour une suite géométrique de raison q ≠ 1, on utilise 1 + q + … + qⁿ = (1 − qⁿ⁺¹)/(1 − q). Si q = 1, cette somme vaut simplement n + 1.

Pour les variations, la différence u_n+1 − u_n est souvent utile. Avec une suite géométrique, le signe du premier terme et celui de la raison comptent aussi : « q > 1 » ne suffit pas, à lui seul, à conclure que toutes les suites géométriques sont croissantes. Les limites sont abordées intuitivement en première, sans formalisation générale. La fiche suites numériques : bases et prolongements de terminale permet de reprendre les formules ; réserve sa partie sur la convergence formelle aux approfondissements.

Choisir la bonne forme d’un trinôme

Un trinôme du second degré s’écrit ax² + bx + c avec a ≠ 0. Sa forme développée permet de lire les coefficients ; sa forme factorisée rend visibles les racines ; sa forme canonique fait apparaître le sommet de la parabole. Le bon réflexe est de regarder la question avant de transformer l’expression.

Pour x² − 6x + 5, les trois écritures sont x² − 6x + 5, (x − 1)(x − 5) et (x − 3)² − 4. Elles décrivent la même fonction. La deuxième permet de résoudre une équation produit nul ; la troisième montre que la valeur minimale est −4.

Le discriminant vaut Δ = b² − 4ac. S’il est positif, il existe deux racines réelles distinctes ; s’il est nul, une racine double ; s’il est négatif, aucune racine réelle. Quand Δ > 0, les racines sont (−b − √Δ)/(2a) et (−b + √Δ)/(2a). Une factorisation évidente peut toutefois éviter ce calcul.

Le programme demande de déterminer la forme canonique dans des cas simples par complétion du carré ; il n’impose pas son calcul systématique dans le cas général. Pour étudier le signe, garde aussi le coefficient a : avec deux racines distinctes, le trinôme a le signe de a à l’extérieur des racines et le signe opposé entre elles. La fiche sur le second degré détaille ces transformations.

Analyse : dériver et étudier une fonction

Du taux de variation au nombre dérivé

Le taux de variation entre deux abscisses distinctes a et b vaut (f(b) − f(a))/(b − a). Il mesure une variation moyenne et correspond à la pente d’une sécante. Le nombre dérivé f′(a) décrit le comportement local lorsque le second point se rapproche du premier.

Pour f(x) = x², le taux entre a et a + h, avec h ≠ 0, vaut ((a + h)² − a²)/h = 2a + h. Lorsque h se rapproche de 0, cette expression se rapproche de 2a. On obtient f′(a) = 2a. La tangente au point d’abscisse a a pour équation y = f(a) + f′(a)(x − a).

Ne confonds pas f(a), l’ordonnée du point, et f′(a), la pente de la tangente. À l’abscisse 3 sur la courbe du carré, elles valent respectivement 9 et 6. Le programme utilise aussi l’approximation locale f(a + h) ≈ f(a) + f′(a)h ; ce n’est pas une égalité exacte pour n’importe quel h.

Calculer une fonction dérivée

Les dérivées des fonctions usuelles et les règles de calcul se combinent. Par exemple, la dérivée de x² vaut 2x, celle de x³ vaut 3x², celle de 1/x vaut −1/x² pour x ≠ 0. La dérivée de √x vaut 1/(2√x) pour x > 0 : cette formule ne s’applique pas en 0.

Pour deux fonctions dérivables u et v, (uv)′ = u′v + uv′. Pour un quotient, (u/v)′ = (u′v − uv′)/v², là où v ne s’annule pas. La dérivée d’un produit n’est donc généralement pas le produit des dérivées. Avant de calculer, indique le domaine utile et repère la structure de l’expression.

Une courbe n’a pas nécessairement une tangente de pente finie en chaque point. La valeur absolue, par exemple, n’est pas dérivable en 0 : les pentes à gauche et à droite ne coïncident pas. La fiche sur les dérivées et les tangentes permet de travailler les règles et leurs applications.

Variations, extremums et optimisation

Sur un intervalle, le signe de la dérivée renseigne sur les variations d’une fonction dérivable. Si f′ est positive ou nulle partout, f est croissante ; si elle est négative ou nulle partout, f est décroissante. Un tableau de signes de f′ sert donc à construire un tableau de variations de f.

Une dérivée nulle en un point ne prouve pas qu’il existe un extremum. La fonction x³ a une dérivée nulle en 0, mais elle reste croissante de part et d’autre. Pour un problème d’optimisation, examine les variations et les bornes de l’intervalle étudié, puis interprète la valeur obtenue dans la situation.

La parité reste également utile : une fonction paire vérifie f(−x) = f(x) et sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées ; une fonction impaire vérifie f(−x) = −f(x) et sa courbe est symétrique par rapport à l’origine. Ces vérifications supposent un domaine symétrique par rapport à 0.

Comprendre la fonction exponentielle

La fonction exponentielle est définie comme l’unique fonction dérivable sur ℝ vérifiant f′ = f et f(0) = 1 ; son existence et son unicité sont admises. On note sa valeur exp(x) ou e^x. Elle est strictement positive et strictement croissante sur ℝ.

Les règles principales sont e^x+y = e^xe^y et e^−x = 1/e^x. Ainsi, e³ × e² = e⁵, mais e³ + e² ne devient pas e⁵. La dérivée de t ↦ e^at est t ↦ ae^at, pour une constante réelle a.

Une exponentielle sert notamment à modéliser une évolution continue. Il faut préciser l’unité du temps et le sens des paramètres, plutôt que de choisir une formule uniquement parce qu’une quantité augmente. La fiche fonction exponentielle : propriétés et approfondissements contient également des outils de terminale, à distinguer du socle de première.

Se repérer sur le cercle trigonométrique

Le cercle trigonométrique a pour centre l’origine et pour rayon 1 dans un repère orthonormé. Le radian relie une mesure d’angle à une longueur d’arc ; un tour complet correspond à 2π radians. Le point associé à x a pour coordonnées (cos(x) ; sin(x)).

Les valeurs remarquables se comprennent avec les triangles usuels : cos(π/3) = 1/2 et sin(π/3) = √3/2. Les symétries donnent ensuite cos(−x) = cos(x) et sin(−x) = −sin(x). Ajouter 2π ramène au même point.

Localise d’abord l’angle et le signe des coordonnées. Au deuxième quadrant, le cosinus est négatif et le sinus positif. Cette vérification permet de retrouver cos(2π/3) = −1/2 sans réciter une liste déconnectée du cercle. La fiche de trigonométrie, première et terminale propose un parcours plus large : concentre-toi d’abord sur le cercle, les radians et les valeurs remarquables.

Géométrie : vecteurs, droites et cercles

Calculer et interpréter un produit scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel, pas un vecteur. Dans une base orthonormée, pour u(x ; y) et v(x′ ; y′), on calcule u · v = xx′ + yy′. Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

Pour deux vecteurs non nuls formant un angle θ, la formule u · v = ‖u‖ × ‖v‖ × cos(θ) relie le calcul à la géométrie. On choisit donc entre les coordonnées, les longueurs, l’angle ou une projection selon les informations disponibles. Les conditions « orthonormée » et « non nuls » ne sont pas décoratives.

Le produit scalaire permet notamment de retrouver la formule d’Al-Kashi : dans un triangle ABC, BC² = AB² + AC² − 2 × AB × AC × cos(Â). Si l’angle A est droit, le terme avec le cosinus s’annule et on retrouve Pythagore.

Équations et projections dans un repère

Dans une équation de droite ax + by + c = 0, avec (a ; b) ≠ (0 ; 0), le vecteur (a ; b) est normal à la droite. Il est perpendiculaire à sa direction ; ce n’est pas, en général, un vecteur directeur. Un vecteur directeur possible est (−b ; a).

Dans un repère orthonormé, le cercle de centre Ω(a ; b) et de rayon r > 0 a pour équation (x − a)² + (y − b)² = r². Pour reconnaître un cercle à partir d’une expression développée, regroupe les termes en x et en y puis complète les carrés.

Le projeté orthogonal H d’un point A sur une droite d satisfait deux conditions : H appartient à d et le vecteur AH est orthogonal à la direction de d. Si A appartient déjà à d, son projeté est A. Par exemple, la projection de A(4 ; 3) sur la droite y = 1 est H(4 ; 1).

Probabilités et variables aléatoires

Conditionnement, arbres et indépendance

La probabilité P(B | A), aussi notée P_A(B), signifie « probabilité de B sachant A ». Lorsque P(A) > 0, elle vaut P(A ∩ B)/P(A). L’information A change l’ensemble sur lequel on raisonne : parmi tous les élèves d’un lycée et parmi ceux d’un atelier, le dénominateur n’est pas le même.

Sur un arbre pondéré, les probabilités des branches issues d’un même nœud totalisent 1. Pour obtenir la probabilité d’un chemin, on multiplie les probabilités de ses branches. Pour un événement constitué de plusieurs chemins incompatibles, on additionne leurs probabilités.

Si A et son contraire forment une partition, avec des probabilités non nulles, la formule des probabilités totales donne P(B) = P(A)P(B | A) + P(non A)P(B | non A). Elle additionne deux contributions, pas deux probabilités conditionnelles isolées.

Deux événements sont indépendants lorsque P(A ∩ B) = P(A)P(B). Cela ne signifie pas qu’ils sont incompatibles : des événements incompatibles ne peuvent pas se produire ensemble. Pour une situation réelle, l’indépendance doit être justifiée ou donnée dans le modèle, jamais déduite automatiquement du mot « hasard ». La fiche probabilités conditionnelles et indépendance développe ces raisonnements.

Répéter des épreuves de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli possède deux issues, appelées succès et échec. Le succès a une probabilité p ; l’échec a une probabilité 1 − p. Les termes « succès » et « échec » sont des étiquettes mathématiques, sans jugement de valeur sur le résultat.

Le programme de première prévoit la répétition de telles épreuves, indépendantes et identiques, pour n ≤ 4, avec une représentation par arbre. Pour obtenir exactement deux succès en trois essais, il faut prendre en compte trois ordres : succès-succès-échec, succès-échec-succès, échec-succès-succès. Chaque chemin a une probabilité p²(1 − p).

On peut donc calculer cette probabilité en additionnant les trois chemins. La formule générale de la loi binomiale n’est pas à imposer ici : l’objectif est de comprendre la répétition et de compter les chemins dans ces cas limités.

Espérance, variance et simulation

Une variable aléatoire réelle associe un nombre à chaque issue d’une expérience. Sa loi donne ses valeurs possibles et leurs probabilités, dont la somme doit être égale à 1. Dans ce programme, on travaille sur des univers finis.

L’espérance est la moyenne théorique pondérée : si X prend les valeurs x_i avec les probabilités p_i, alors E(X) est la somme des produits x_ip_i. Elle n’est pas forcément une valeur possible de X. Une moyenne observée sur quelques essais n’a aucune raison de lui être exactement égale.

La variance mesure la dispersion autour de l’espérance. La formule de König-Huygens s’écrit V(X) = E(X²) − E(X)². L’écart type est la racine carrée de la variance. Ne confonds pas E(X²), moyenne des carrés, avec E(X)², carré de la moyenne.

La linéarité de l’espérance donne notamment E(aX + b) = aE(X) + b et E(X + Y) = E(X) + E(Y). Cette dernière égalité ne demande pas que X et Y soient indépendantes. Les simulations avec Python ou un tableur permettent d’observer des moyennes d’échantillons ; elles illustrent les phénomènes, sans remplacer une démonstration.

Logique, Python et automatismes

Le raisonnement ne constitue pas un supplément réservé aux meilleurs élèves. Il intervient quand tu distingues une équation d’une identité, une implication de sa réciproque ou une observation d’une preuve. Une affirmation universelle peut être réfutée par un seul contre-exemple : « si x² = 9, alors x = 3 » est fausse puisque x = −3 convient aussi.

Les notations d’ensembles, d’intervalles, d’intersection et de réunion servent autant pour une inéquation que pour une probabilité. Les mots « et » et « ou » changent les ensembles de solutions. Écrire une réponse sous forme d’intervalle demande donc de comprendre ce que l’on conserve.

En programmation, la notion de liste complète les variables, les conditions, les boucles et les fonctions. La liste [2, 6, 18] contient trois éléments ; son premier élément a l’indice 0. Ne confonds pas un indice de liste Python et le premier indice choisi pour une suite mathématique.

Tu dois pouvoir expliquer ce que fait un programme, le compléter et vérifier quelques étapes à la main. Le cours de Python peut servir à revoir la syntaxe des listes et des boucles ; il contient aussi des développements informatiques qui dépassent les besoins de cette spécialité.

Les automatismes entretiennent le calcul, les évolutions, les fonctions et les représentations, les statistiques et les probabilités. Ils ne se réduisent pas à réciter des formules : lire une pente, reconnaître une équation produit nul ou choisir le bon dénominateur sont aussi des gestes à rendre disponibles rapidement.

L’épreuve anticipée en fin de première

Pour l’année scolaire 2026-2027, la note de service du 11 septembre 2026 définit l’épreuve passée par les élèves de première au titre de la session 2028. La première partie est une liste de questions à réponses courtes, et non le QCM décrit dans les premières présentations de l’épreuve.

Le texte prévoit aussi que la maîtrise de la langue compte pour 2 points sur les 20 : il ne s’agit pas de deux points ajoutés au barème. Soigne les phrases qui expliquent une conclusion, les notations et le vocabulaire. Une valeur numérique seule ne remplace pas la justification attendue dans un exercice.

Le total de deux heures est national ; ne transforme pas un découpage d’entraînement en durée officielle réservée à chaque partie. Teste ton organisation sur un sujet, puis ajuste-la. La fiche contient des QCM pour réviser les notions, mais ils ne reproduisent pas le format des réponses courtes de l’épreuve.

La calculatrice reste un outil possible pendant certains cours et travaux : son interdiction à cet examen ne signifie pas son interdiction toute l’année. Pour les exercices proposés ici, cherche d’abord des valeurs exactes et des simplifications réalisables sans machine.

Comment organiser tes révisions ?

Commence par séparer trois tâches : apprendre une définition, appliquer une méthode et choisir une stratégie dans un problème. Relire le cours aide la première, mais ne suffit pas pour les deux autres. Un exercice réussi avec le corrigé sous les yeux doit être repris sans ce soutien.

1. Reprends les bases utiles au chapitre. Fractions, identités remarquables, équations et fonctions de référence servent de points d’appui. Cible la difficulté rencontrée plutôt que de refaire toute la seconde.
2. Construis une fiche courte. Note les définitions, les conditions d’utilisation des formules et un exemple commenté. Pour une suite, indique le premier indice ; pour une probabilité conditionnelle, le dénominateur.
3. Travaille sans correction immédiate. Essaie une méthode, écris une étape même partielle, puis compare. Cherche l’endroit précis où ton raisonnement diverge.
4. Reviens sur les erreurs. Classe-les : lecture, calcul, formule mal choisie, hypothèse oubliée ou rédaction. Refais ensuite une question avec d’autres nombres.
5. Mélange progressivement les chapitres. Un problème peut demander une expression algébrique, une dérivée et une interprétation. Entraîne-toi aussi à expliquer oralement pourquoi tu passes d’une étape à l’autre.

Une organisation possible est de consacrer une séance courte aux automatismes, une autre aux exercices du chapitre et une troisième à un problème plus complet. Ce n’est pas un quota de travail universel. Adapte la durée aux devoirs donnés et demande de l’aide sur une question précise plutôt que d’accumuler des corrections non comprises.

20 exercices corrigés de première

Ces exercices sont créés pour cette fiche ; ils ne sont pas des sujets officiels. Les situations chiffrées servent uniquement d’exemples. Les cinq premières questions vérifient surtout l’algèbre, puis les exercices mobilisent l’analyse, la géométrie, les probabilités et Python. Ils ne constituent pas un sujet de bac à réaliser en deux heures.

u = 2
termes = [u]
for n in range(3):
    u = 2*u + 1
    termes.append(u)

QCM, textes à trous et cartes

Ces questions servent à vérifier les notions de la fiche. Le QCM est un outil de révision : pour préparer l’épreuve anticipée, réponds aussi sans regarder les propositions. Les textes à trous et les cartes permettent de reprendre les définitions avant de revenir aux exercices rédigés.

Questions fréquentes

Poursuivre chapitre par chapitre

Après avoir identifié une difficulté, approfondis la notion correspondante. Les fiches de suites, d’exponentielle et de trigonométrie couvrent aussi des prolongements : utilise d’abord les sections adaptées à la première et les consignes de ton professeur.