Problèmes de périmètre et d’aire CM1-CM2 : 20 exercices corrigés
Clôturer un potager ou carreler une terrasse : faut-il mesurer le tour ou la surface ? Apprends à distinguer périmètre et aire, à choisir les bonnes unités et à résoudre 20 problèmes avec des corrections expliquées.
Un problème de périmètre et d’aire commence par une question de sens : que dois-tu mesurer ? Pour poser une bordure, tu suis un contour. Pour recouvrir un sol, tu t’intéresses à son étendue. Un même jardin peut donc conduire à deux calculs différents, même si l’énoncé donne les mêmes dimensions.
Cette fiche reprend les méthodes, puis propose 20 problèmes corrigés de CM1-CM2. Les premiers travaillent une difficulté à la fois ; les derniers combinent plusieurs étapes. Les indications de niveau sont des repères pédagogiques : choisis les exercices selon ce qui a déjà été étudié en classe, sans chercher à tout faire en une séance.
Périmètre ou aire : que cherche-t-on ?
Le périmètre est la longueur du contour d’une figure plane. Pour un polygone, tu peux le retrouver en additionnant les longueurs de tous ses côtés. Une ficelle placée exactement sur le bord, puis déroulée, représente cette longueur.
L’aire mesure l’étendue d’une surface. Pour la déterminer, tu peux recouvrir cette surface avec une unité choisie, sans laisser de trous ni superposer les morceaux. Le nombre d’unités nécessaires donne une mesure de son aire. Des figures de formes différentes peuvent occuper autant de place.
| Situation | Ce qu’on mesure | Unité possible |
|---|---|---|
| Entourer un cadre avec un ruban | La longueur du contour | cm |
| Installer une clôture autour d’un jardin | La longueur à clôturer | m |
| Recouvrir une affiche avec du papier | L’aire à couvrir | cm² |
| Carreler le sol d’une pièce | L’aire du sol | m² |
Attention à la réponse finale. On peut demander une longueur, une aire, mais aussi un nombre de rouleaux ou un prix. Le périmètre ou l’aire n’est alors qu’un résultat intermédiaire. Écrire « 30 m » ne répond pas encore à « combien de rouleaux faut-il acheter ? ».
Le programme de CM1-CM2
Le programme publié en 2025 s’applique au CM1 depuis la rentrée 2025 et au CM2 depuis la rentrée 2026, selon le calendrier du Bulletin officiel. Les deux niveaux ne demandent pas exactement la même maîtrise des aires.
Au CM1, le programme de mathématiques du cycle 3 privilégie le sens du périmètre, la comparaison de surfaces, le pavage et le centimètre carré, sans mémorisation attendue de formules de périmètre ou d’aire. Les exemples officiels de CM1, page 16, incluent des carreaux entiers et des demi-carreaux.
Au CM2, les élèves travaillent aussi le décimètre carré, le mètre carré et les conversions d’aires. Les exemples officiels de CM2, page 16, mentionnent la connaissance et l’utilisation des formules d’aire du carré et du rectangle, justifiées par un pavage. Il serait donc inexact de réserver toutes les formules d’aire à la sixième.
Pour les périmètres au CM2, le programme ne demande pas une mémorisation de formules ; il autorise les règles de calcul construites par les élèves. Dire « un carré a quatre côtés égaux, donc je multiplie par quatre » est ainsi un raisonnement à comprendre, pas une suite de symboles à réciter.
Résoudre un problème en cinq étapes
- Reformule la question. Cherches-tu le tour, une surface, une dimension manquante, une quantité de matériel ou un prix ? Repère aussi ce que doit contenir la phrase réponse.
- Fais un schéma utile. Dessine la forme, reporte les dimensions et marque le contour ou la zone concernés. Un croquis peut être sans échelle : ce sont les mesures écrites qui servent au calcul.
- Vérifie les unités. Avant d’additionner des longueurs ou d’appliquer la formule d’aire d’un rectangle, exprime les dimensions dans la même unité.
- Organise les calculs. Commence par le périmètre ou l’aire, puis tiens compte des ouvertures, des surfaces retirées, des lots ou du prix unitaire.
- Contrôle et réponds. Relis la question, vérifie les opérations et indique l’unité ou le nombre d’objets demandé. Demande-toi si la réponse respecte toutes les conditions.
Exemple : un jardin rectangulaire mesure 8 m sur 5 m. Son tour vaut 8 + 5 + 8 + 5 = 26 m. Si un portail de 2 m remplace une partie du grillage, il faut 26 − 2 = 24 m de grillage. Le périmètre du jardin reste 26 m : c’est la longueur de matériel à poser qui change.
Pour une question à plusieurs étapes, note d’abord les petites questions : « quelle longueur au total ? », puis « quelle partie ne doit pas être clôturée ? », puis « combien de rouleaux ? ». Tu peux approfondir cette organisation avec la fiche sur les problèmes à étapes en CM2.
Comment calculer un périmètre ?
Le rectangle : deux longueurs et deux largeurs
Un rectangle possède deux paires de côtés opposés de même longueur. Pour un rectangle de 8 m sur 5 m, le tour mesure 8 + 5 + 8 + 5 = 26 m. Tu peux regrouper les deux grands côtés et les deux petits, ou additionner 8 + 5 puis doubler le résultat.
Le calcul 8 + 5 = 13 m ne donne que la moitié du tour. Le calcul 8 × 5 = 40 ne répond pas à une question de périmètre : avec ces dimensions en mètres, il permet de trouver une aire en mètres carrés. Dessiner les quatre côtés évite de confondre ces deux opérations.
Le carré : quatre côtés de même longueur
Un carré de 11 cm de côté a un périmètre de 11 + 11 + 11 + 11 = 44 cm, soit 4 × 11 cm. Dans l’autre sens, si son périmètre mesure 36 cm, chaque côté mesure 36 ÷ 4 = 9 cm. Cette division convient parce que les quatre côtés sont égaux.
Pour un rectangle, diviser le périmètre par quatre ne donne pas généralement sa longueur ni sa largeur. Il faut utiliser les informations sur les côtés. La fiche sur les quadrilatères reprend les propriétés qui justifient ces raisonnements.
Les autres polygones et les côtés manquants
Pour un triangle de côtés 7 cm, 9 cm et 12 cm, le périmètre vaut 7 + 9 + 12 = 28 cm. Pour un polygone avec davantage de côtés, choisis un sommet de départ et parcours le contour jusqu’à y revenir, en comptant chaque côté une seule fois.
Une longueur absente peut parfois se déduire d’une égalité ou d’une différence, mais elle ne s’invente pas d’après l’apparence du dessin. Si un rectangle a un périmètre de 30 cm et une longueur de 9 cm, ses deux longueurs totalisent 18 cm. Les deux largeurs totalisent alors 30 − 18 = 12 cm : une largeur mesure 6 cm.
Les figures composées : ne pas compter les traits intérieurs
Quand deux rectangles sont accolés, leur côté commun ne fait plus partie du contour extérieur. Additionner leurs périmètres sans correction compte ce segment deux fois. Le plus sûr est de repasser le bord extérieur sur ton croquis, puis d’additionner seulement ses longueurs.
Pour une clôture, lis aussi les mots « tout autour », « contre un mur » ou « avec une ouverture ». Trois côtés à clôturer ne correspondent pas au périmètre complet du terrain. Ces expressions décrivent la situation ; il faut encore repérer quels côtés sont concernés.
Comment déterminer une aire ?
Sur un quadrillage : préciser l’unité choisie
Si une figure recouvre 18 carreaux identiques, son aire vaut 18 unités de carreau. On ne peut écrire 18 cm² que si chaque carreau a une aire de 1 cm². La taille d’affichage sur l’écran ne permet pas de connaître cette mesure : l’énoncé doit la préciser.
Les morceaux de carreaux comptent également. Deux demi-carreaux forment une unité entière. Une surface composée de 10 carreaux entiers et de 4 demi-carreaux a donc une aire de 10 + 2 = 12 carreaux. Regroupe les moitiés avant de faire le total.
Une figure dont le bord traverse les carreaux de façon irrégulière n’a pas toujours une aire que l’on peut compter exactement. Tu peux alors chercher un encadrement : compter les carreaux entièrement à l’intérieur donne une borne basse ; compter tous les carreaux nécessaires pour la recouvrir donne une borne haute. Ne transforme pas une estimation en résultat exact.
Le rectangle : comprendre le produit longueur × largeur
Un rectangle comporte 6 carreaux par rangée et 4 rangées. Son aire vaut 6 + 6 + 6 + 6 = 24 carreaux, ou 6 × 4. Il n’y a pas 10 carreaux : additionner les deux dimensions ne compte pas toute la surface.
Avec des côtés de 6 cm et 4 cm, un pavage en carrés de 1 cm de côté conduit à 24 cm². On retrouve la formule : aire du rectangle = longueur × largeur, avec les deux longueurs exprimées dans la même unité. Le sens du produit reste le même pour un sol de 6 m sur 4 m : son aire est de 24 m².
Lorsque le produit est moins immédiat, tu peux le décomposer : 12 × 8 = 10 × 8 + 2 × 8 = 96. La multiplication posée est un autre outil de calcul ; elle ne remplace pas le choix de la bonne opération.
Le carré : côté × côté, et non quatre fois le côté
Dans un carré, longueur et largeur sont égales. Un carré de 5 cm de côté couvre 5 rangées de 5 carrés d’un centimètre carré : son aire vaut 25 cm². La formule s’écrit en mots « aire du carré = côté × côté ».
Le produit 4 × 5 = 20 donne, lui, le périmètre en centimètres. Les deux résultats ne désignent pas la même grandeur. Même lorsqu’un périmètre et une aire ont la même valeur numérique, comme 16 cm et 16 cm², ils ne sont pas interchangeables.
Une figure en L ou une surface avec une partie retirée
Pour une figure faite de rectangles sans chevauchement, calcule l’aire de chaque morceau, puis additionne. Tu peux aussi partir d’un grand rectangle et retirer une partie manquante. Le découpage doit couvrir exactement la surface demandée, sans compter un morceau deux fois.
Par exemple, un sol rectangulaire de 8 m sur 5 m a une aire de 40 m². Si une zone de 3 m sur 2 m, entièrement située dans ce sol, ne doit pas être recouverte, l’aire à couvrir est 40 − 6 = 34 m². Les longueurs du pourtour de cette zone ne doivent pas être soustraites à une aire.
Choisir les unités : cm, m, cm², dm² ou m²
Une longueur se mesure notamment en millimètres, centimètres ou mètres. Une aire peut se mesurer avec les unités conventionnelles cm², dm² et m². Le petit « ² » indique que l’on parle d’une unité d’aire, pas d’une longueur deux fois plus grande.
| Unité | Carré de référence | Relation utile |
|---|---|---|
| 1 cm² | 1 cm de côté | Une unité d’aire |
| 1 dm² | 1 dm, soit 10 cm de côté | 100 cm² |
| 1 m² | 1 m, soit 10 dm de côté | 100 dm² |
Pour comprendre 1 dm² = 100 cm², imagine un carré de 10 cm de côté : il contient 10 rangées de 10 carrés d’un centimètre carré. Une longueur est multipliée par 10, mais le pavage compte 10 × 10 petites surfaces.
Tu peux en déduire que 3 dm² = 300 cm², ou que 250 cm² = 2 dm² et 50 cm². En reliant les deux équivalences, 1 m² = 100 × 100 cm² = 10 000 cm². Appuie-toi sur ces relations plutôt que sur un déplacement de chiffres sans explication.
Avant de calculer l’aire d’un rectangle de 2 dm sur 15 cm, écris 2 dm = 20 cm. Le produit 20 × 15 donne alors 300 cm². Écrire 2 × 15 = 30 cm² mélangerait deux unités de longueur différentes dans une même formule.
Comparer les périmètres et les aires
Un rectangle de 6 cm sur 2 cm a un périmètre de 16 cm et une aire de 12 cm². Un carré de 4 cm de côté a lui aussi un périmètre de 16 cm, mais son aire vaut 16 cm². Connaître le périmètre ne suffit donc pas à déterminer l’aire.
L’inverse est également possible. Un rectangle de 3 cm sur 4 cm et un rectangle de 2 cm sur 6 cm ont tous les deux une aire de 12 cm². Leurs périmètres valent pourtant 14 cm et 16 cm. Pour comparer deux figures, précise toujours la grandeur que tu compares.
Les erreurs à repérer avant de rendre sa réponse
| Erreur | Vérification |
|---|---|
| Additionner seulement deux côtés d’un rectangle | Parcourir les quatre côtés du contour |
| Multiplier les dimensions pour acheter une clôture | Identifier une longueur, et non une aire |
| Écrire une aire en cm | Retrouver l’unité de surface choisie |
| Compter des carreaux comme des cm² sans indication | Lire la mesure d’un carreau dans l’énoncé |
| Additionner les périmètres des morceaux | Exclure les segments devenus intérieurs |
| Arrondir un achat au nombre inférieur | Vérifier que les rouleaux ou boîtes suffisent |
Vérifie aussi les hypothèses matérielles. Un problème scolaire peut préciser que les morceaux de grillage se raccordent, que les carreaux se posent sans découpe ou qu’aucune marge de perte n’est prévue. Utilise alors ces conditions. Pour un chantier réel, les pertes, les raccords et les dimensions de pose demanderaient une étude supplémentaire.
20 problèmes de périmètre et d’aire corrigés
Ces exercices sont des propositions pédagogiques, pas des sujets officiels. Fais un croquis lorsque c’est utile et cherche avant de lire le corrigé. Les problèmes 1 à 6 portent sur les longueurs, les problèmes 7 à 12 sur les aires, les problèmes 13 à 16 sur les découpages et les comparaisons. Les quatre derniers combinent plusieurs étapes.
Problème 1 — La clôture du potager
CM1-CM2. Un potager rectangulaire mesure 9 m sur 6 m. Le grillage se vend en rouleaux de 10 m. On veut clôturer tout le potager, sans ouverture. Combien de rouleaux faut-il acheter ? On suppose que les morceaux peuvent être raccordés et qu’il n’y a pas de perte.
Corrigé expliqué
On cherche d’abord une longueur de contour : 9 + 6 + 9 + 6 = 30 m.
Chaque rouleau fournit 10 m. Trois rouleaux donnent 3 × 10 = 30 m : il faut donc 3 rouleaux, exactement.
Le calcul 9 × 6 donnerait l’aire du potager. Il ne permettrait pas de connaître la longueur de grillage à acheter.
Problème 2 — Le ruban autour du cadre
CM1. Un cadre carré a un côté de 14 cm. Nora veut entourer une fois son contour extérieur avec un ruban, puis garder 8 cm supplémentaires pour faire un nœud. Quelle longueur de ruban doit-elle prévoir ?
Corrigé expliqué
Le tour du cadre comprend quatre côtés de 14 cm : 4 × 14 = 56 cm.
Le nœud utilise du ruban en plus du contour : 56 + 8 = 64 cm. Nora doit prévoir 64 cm de ruban.
Les 8 cm ne changent pas le périmètre du cadre. Ils augmentent seulement la longueur nécessaire pour réaliser ce que demande l’énoncé.
Problème 3 — Le fanion triangulaire
CM1. Un fanion triangulaire possède trois côtés mesurant 9 cm, 11 cm et 14 cm. On coud une bordure sur tout son contour. Quelle longueur de bordure faut-il, sans prévoir de marge supplémentaire ?
Corrigé expliqué
Les trois longueurs sont déjà exprimées en centimètres. On additionne tous les côtés : 9 + 11 + 14 = 34 cm.
Il faut 34 cm de bordure. La forme n’est ni un rectangle ni un carré : multiplier l’une des longueurs par quatre ne conviendrait pas.
Sur un croquis, pars d’un sommet et reviens-y en suivant les trois côtés. Chaque côté doit apparaître une seule fois dans la somme.
Problème 4 — Un jardin avec un portail
CM1-CM2. Un jardin rectangulaire mesure 14 m de long et 9 m de large. Un portail occupe 2 m sur son contour. On pose du grillage partout ailleurs. Quelle longueur de grillage faut-il ?
Corrigé expliqué
Le périmètre complet du jardin vaut 14 + 9 + 14 + 9 = 46 m.
Les 2 m du portail ne reçoivent pas de grillage : 46 − 2 = 44 m. Il faut donc 44 m de grillage.
Contrôle le résultat : la longueur de grillage doit être inférieure au périmètre complet, puisque le portail remplace une partie de la clôture.
Problème 5 — Retrouver le côté du carré
CM1-CM2. Un carré a un périmètre de 52 cm. Quelle est la longueur de l’un de ses côtés ? Explique pourquoi une division permet de répondre.
Corrigé expliqué
Le périmètre réunit quatre côtés égaux. On partage donc 52 cm en quatre longueurs identiques : 52 ÷ 4 = 13 cm.
Chaque côté mesure 13 cm. Vérification : 13 + 13 + 13 + 13 = 52 cm.
La division par quatre est justifiée par la propriété du carré. On ne pourrait pas appliquer ce raisonnement à n’importe quel quadrilatère.
Problème 6 — La largeur manquante
CM2. Un rectangle a un périmètre de 34 cm. Sa longueur mesure 10 cm. Combien mesure sa largeur ? Fais apparaître les deux longueurs et les deux largeurs dans ton raisonnement.
Corrigé expliqué
Les deux longueurs représentent 10 + 10 = 20 cm. Il reste 34 − 20 = 14 cm pour les deux largeurs.
Les largeurs sont égales : 14 ÷ 2 = 7 cm. La largeur du rectangle mesure 7 cm.
On vérifie le tour complet : 10 + 7 + 10 + 7 = 34 cm. Soustraire seulement une longueur aurait laissé trois côtés à partager, et non deux.
Problème 7 — Les gommettes de Lila
CM1. Lila recouvre entièrement une feuille quadrillée de 8 carreaux par rangée sur 6 rangées. Elle utilise une gommette carrée par carreau, sans chevauchement. Combien de gommettes utilise-t-elle ? Quelle grandeur a-t-elle mesurée ?
Corrigé expliqué
Chaque rangée reçoit 8 gommettes. Pour 6 rangées : 8 × 6 = 48 gommettes.
Lila a mesuré l’aire de la feuille, qui vaut 48 unités de carreau. Elle a recouvert l’intérieur, pas seulement le bord.
L’énoncé ne donne pas la taille d’un carreau. On ne peut donc pas affirmer que cette aire vaut 48 cm².
Problème 8 — Les demi-carreaux
CM1. Une figure est composée de 12 carreaux entiers et de 6 demi-carreaux. Chaque carreau entier a une aire de 1 cm². Quelle est l’aire totale de la figure ?
Corrigé expliqué
Deux demi-carreaux forment un carreau entier. Les 6 demi-carreaux représentent donc 6 ÷ 2 = 3 carreaux.
L’ensemble couvre 12 + 3 = 15 carreaux entiers. Comme chacun mesure 1 cm², l’aire totale vaut 15 cm².
Il ne faut ni oublier les morceaux situés au bord ni les compter comme des carreaux entiers. Dessine les six moitiés et réunis-les par paires.
Problème 9 — Comparer deux pavages
CM1. Deux figures sont tracées sur le même quadrillage. La figure A occupe un rectangle de 5 carreaux par rangée sur 4 rangées. La figure B occupe 7 carreaux par rangée sur 3 rangées. Laquelle a la plus grande aire ? De combien d’unités de carreau ?
Corrigé expliqué
La figure A couvre 5 × 4 = 20 carreaux. La figure B couvre 7 × 3 = 21 carreaux.
Les carreaux ont la même taille : on peut comparer directement les nombres. La figure B a la plus grande aire, avec 21 − 20 = 1 carreau de plus.
Une dimension plus grande ne suffisait pas à conclure : B est plus longue, mais comporte moins de rangées. Il fallait comparer les surfaces entières.
Problème 10 — La petite affiche
CM2. Une affiche rectangulaire mesure 12 cm de long et 8 cm de large. Quelle est son aire ? Explique le produit en imaginant un pavage avec des carrés de 1 cm de côté.
Corrigé expliqué
On imagine 8 rangées de 12 carrés d’un centimètre carré. L’aire vaut 12 × 8 = 96 cm².
Le produit peut se calculer avec 10 × 8 + 2 × 8 = 80 + 16. L’affiche a donc une aire de 96 cm².
Additionner 12 + 8 ne compterait pas les petits carrés. Additionner les quatre côtés donnerait le périmètre, qui n’est pas demandé ici.
Problème 11 — Le carreau carré
CM2. Un carreau décoratif est un carré de 7 cm de côté. Quelle est son aire ? Quelle serait la longueur de son contour ? Donne les deux résultats avec leurs unités.
Corrigé expliqué
Pour l’aire, on compte 7 rangées de 7 carrés d’un centimètre carré : 7 × 7 = 49 cm².
Pour le contour, on réunit les quatre côtés : 4 × 7 = 28 cm.
Le carreau a une aire de 49 cm² et un périmètre de 28 cm. Ces résultats décrivent respectivement sa surface et son tour ; ils ne doivent pas être comparés comme deux longueurs.
Problème 12 — Deux unités dans le même énoncé
CM2. Un panneau rectangulaire mesure 2 dm de long et 15 cm de large. Calcule son aire en cm², puis exprime cette même aire en dm².
Corrigé expliqué
On convertit d’abord la longueur : 2 dm = 20 cm. Les deux dimensions sont maintenant dans la même unité.
L’aire vaut 20 × 15 = 300 cm². Puisque 1 dm² = 100 cm², 300 cm² correspondent à 3 dm².
Le panneau n’a pas changé de taille entre les deux réponses. Seule l’unité choisie pour mesurer son aire a changé.
Problème 13 — La terrasse en L
CM2. Une terrasse en L est formée de deux rectangles accolés, sans chevauchement : l’un mesure 10 m sur 3 m, l’autre 6 m sur 4 m. Quelle est son aire totale ? La terrasse voisine est un rectangle de 9 m sur 6 m : laquelle couvre la plus grande surface ?
Corrigé expliqué
Le premier morceau couvre 10 × 3 = 30 m². Le second couvre 6 × 4 = 24 m².
Comme les morceaux ne se recouvrent pas, on additionne leurs aires : 30 + 24 = 54 m².
La terrasse voisine a une aire de 9 × 6 = 54 m². Les deux terrasses ont donc la même aire, malgré leurs formes différentes. Ici, on ne cherche pas leur périmètre.
Problème 14 — Le coin retiré
CM2. Une plaque rectangulaire mesure 9 cm sur 7 cm. On découpe dans un coin un petit rectangle de 4 cm sur 2 cm, entièrement pris dans la plaque. Quelle aire de carton reste-t-il ?
Corrigé expliqué
Avant la découpe, la plaque a une aire de 9 × 7 = 63 cm². Le morceau retiré a une aire de 4 × 2 = 8 cm².
L’aire restante vaut 63 − 8 = 55 cm².
On soustrait une aire à une aire, avec la même unité. Retirer 4 + 2 ou le périmètre du petit rectangle ne mesurerait pas la surface de carton enlevée.
Problème 15 — Deux jardins, le même tour
CM2. Sur un plan, le jardin A est un rectangle de 6 cm sur 2 cm. Le jardin B est un carré de 4 cm de côté. Compare leurs périmètres, puis leurs aires sur le plan. Aucun calcul de dimension réelle n’est demandé.
Corrigé expliqué
Périmètre de A : 6 + 2 + 6 + 2 = 16 cm. Périmètre de B : 4 × 4 = 16 cm. Les tours sont égaux.
Aire de A : 6 × 2 = 12 cm². Aire de B : 4 × 4 = 16 cm². Sur le plan, B couvre 4 cm² de plus.
Ce contre-exemple montre qu’un même périmètre ne garantit pas une même aire. Les deux grandeurs doivent être calculées séparément.
Problème 16 — Deux affiches, la même aire
CM2. Une première affiche mesure 3 cm sur 4 cm et une seconde 2 cm sur 6 cm. Vérifie qu’elles ont la même aire. Laquelle nécessite le plus de ruban pour entourer exactement son contour ?
Corrigé expliqué
Les aires valent 3 × 4 = 12 cm² et 2 × 6 = 12 cm². Elles sont égales.
Les périmètres valent 3 + 4 + 3 + 4 = 14 cm et 2 + 6 + 2 + 6 = 16 cm.
La seconde affiche demande 16 − 14 = 2 cm de ruban de plus. Une même quantité de papier n’implique donc pas une même longueur de bordure.
Problème 17 — Bordure et carrelage : deux achats
CM2, plusieurs étapes. Une terrasse rectangulaire mesure 6 m sur 4 m. La bordure coûte 4 € par mètre et doit entourer tout le contour. Le carrelage se vend en boîtes couvrant chacune 3 m², à 15 € la boîte. Quel est le coût total ? On ne prévoit aucune perte ni frais supplémentaire.
Corrigé expliqué
La bordure concerne le périmètre : 6 + 4 + 6 + 4 = 20 m. Son prix est 20 × 4 = 80 €.
Le carrelage concerne l’aire : 6 × 4 = 24 m². Il faut 24 ÷ 3 = 8 boîtes, pour 8 × 15 = 120 €.
Le coût total vaut 80 + 120 = 200 €. Les deux achats ne partent pas de la même grandeur : l’un se facture au mètre, l’autre par boîte couvrant une aire donnée.
Problème 18 — Construire et mesurer une figure en L
CM2, défi guidé. Sur ton brouillon, pars d’un point A. Trace successivement 8 cm vers la droite, 3 cm vers le haut, 3 cm vers la gauche, 2 cm vers le haut, 5 cm vers la gauche, puis 5 cm vers le bas pour revenir en A. Chaque changement de direction forme un angle droit. Quel est le périmètre de la figure ? Quelle est son aire ?
Corrigé expliqué
Le contour comporte six segments : 8 + 3 + 3 + 2 + 5 + 5 = 26 cm.
La figure peut se voir comme un rectangle de 8 cm sur 5 cm auquel on a retiré un rectangle de 3 cm sur 2 cm dans le coin supérieur droit. Son aire vaut 8 × 5 − 3 × 2 = 40 − 6 = 34 cm².
Autre découpage : un rectangle du bas de 8 cm sur 3 cm et un rectangle en haut à gauche de 5 cm sur 2 cm. Le total 24 + 10 retrouve 34 cm². Le trait qui sépare ces deux morceaux ne compte pas dans le périmètre extérieur.
Problème 19 — Des rouleaux à acheter entiers
CM2. Un jardin rectangulaire mesure 11 m sur 7 m. Un passage de 2 m reste sans grillage. Le grillage est vendu uniquement en rouleaux entiers de 10 m ; les morceaux se raccordent sans perte. Combien de rouleaux faut-il acheter et quelle longueur restera inutilisée ?
Corrigé expliqué
Le tour complet vaut 11 + 7 + 11 + 7 = 36 m. Après le retrait du passage, il faut 36 − 2 = 34 m de grillage.
Trois rouleaux fournissent 30 m : cela ne suffit pas. Quatre rouleaux fournissent 40 m : il faut donc acheter 4 rouleaux.
La longueur inutilisée sera 40 − 34 = 6 m. Une réponse de 3,4 rouleaux décrirait une quantité théorique, pas l’achat de rouleaux entiers imposé par l’énoncé.
Problème 20 — Aménager le jardin de l’école
CM2, synthèse. Le jardin de l’école est un rectangle de 12 m sur 8 m. À l’intérieur, un potager de 5 m sur 4 m et un massif de 3 m sur 2 m occupent deux zones sans chevauchement. Le reste reçoit du gazon. On clôture le contour extérieur sauf un passage de 2 m. Le grillage coûte 5 € par mètre. Quelle aire reçoit du gazon ? Quel est le coût du grillage, sans autre frais ?
Corrigé expliqué
Aire du jardin : 12 × 8 = 96 m². Aire du potager : 5 × 4 = 20 m². Aire du massif : 3 × 2 = 6 m². Le gazon couvre 96 − 20 − 6 = 70 m².
Périmètre extérieur : 12 + 8 + 12 + 8 = 40 m. Longueur à clôturer : 40 − 2 = 38 m. Le grillage coûte 38 × 5 = 190 €.
Les zones intérieures modifient l’aire à engazonner, mais pas le contour extérieur. Le passage modifie la longueur de grillage, mais pas l’aire totale du jardin. Les deux questions utilisent donc des informations différentes.
Conseils pour s’entraîner à la maison
Voici une proposition pour la maison : choisis deux ou trois problèmes qui ciblent une même difficulté, puis reprends-en un avec d’autres nombres. Avant le calcul, demande à l’enfant de montrer ce qu’il mesure : suivre le contour avec le doigt ou désigner la zone à recouvrir. Garde ensuite une question où périmètre et aire apparaissent ensemble.
Si la grandeur est bien choisie mais que le résultat est faux, reprends le calcul. Si le calcul est exact mais ne répond pas à la question, reviens au schéma. Distinguer ces deux difficultés permet d’éviter de faire répéter une opération que l’enfant sait déjà effectuer.
Un quadrillage, des carrés de papier et une ficelle suffisent pour proposer des essais : construire deux figures de même aire, comparer leurs contours ou retrouver une dimension. Pour travailler les sommes et les produits séparément, utilise les exercices de calcul mental du CE2 au CM2.
Dans les problèmes de prix, le tarif doit rester identique pour multiplier une longueur ou une aire par un prix unitaire. La fiche sur la proportionnalité en CM2 permet d’approfondir ce type de relation, sans confondre une longueur avec une surface.
QCM et cartes de révision
Ces questions servent à vérifier les notions et les calculs courts. Pour travailler la résolution complète d’un énoncé, utilise aussi les problèmes précédents : choisis la grandeur, explique le calcul et rédige la réponse.
Un carré a 9 cm de côté. Quel est son périmètre ?
- 18 cm
- 81 cm
- 36 cm
Les quatre côtés sont égaux : 4 × 9 = 36 cm. Le produit 9 × 9 donnerait son aire, soit 81 cm².
Un rectangle comporte 7 carreaux par rangée et 3 rangées. Quelle est son aire en unités de carreau ?
- 21 carreaux
- 10 carreaux
- 24 carreaux
Il couvre 7 × 3 = 21 carreaux. Additionner 7 + 3 ne compte pas toute la surface.
Quelle unité convient pour exprimer l'aire d'une cour de récréation ?
- Le mètre
- Le mètre carré
- Le centimètre
Le mètre carré est une unité d'aire. Le mètre et le centimètre sont des unités de longueur.
Quel est le périmètre d'un jardin rectangulaire de 12 m sur 8 m ?
- 20 m
- 96 m
- 40 m
Le tour vaut 12 + 8 + 12 + 8 = 40 m. Le produit 12 × 8 donne une aire de 96 m², pas un périmètre.
Un rectangle mesure 6 cm sur 4 cm. Quelle est son aire ?
- 20 cm²
- 24 cm²
- 10 cm²
L'aire vaut 6 × 4 = 24 cm². La somme des quatre côtés vaut 20 cm, mais ne mesure pas la surface.
Un jardin a un périmètre de 30 m. Un portail de 3 m remplace une partie du grillage. Quelle longueur de grillage faut-il ?
- 27 m
- 33 m
- 90 m
On retire la partie occupée par le portail : 30 − 3 = 27 m.
À combien de centimètres carrés correspondent 2 dm² ?
- 20 cm²
- 2 000 cm²
- 200 cm²
1 dm² = 100 cm² ; donc 2 dm² = 200 cm². Le facteur n'est pas 10 comme pour deux unités de longueur successives.
Deux figures ont la même aire. Ont-elles nécessairement le même périmètre ?
- Oui, toujours
- Non, pas nécessairement
- Oui, si ce sont des rectangles
Les rectangles de 3 cm sur 4 cm et de 2 cm sur 6 cm ont une aire de 12 cm², mais des périmètres de 14 cm et de 16 cm.
Deux rectangles sans chevauchement ont des aires de 18 cm² et de 12 cm². Quelle est l’aire de leur réunion ?
- 6 cm²
- 216 cm²
- 30 cm²
Les surfaces ne se recouvrent pas : on additionne 18 + 12 = 30 cm².
Il faut 34 m de grillage, vendu seulement en rouleaux entiers de 10 m. Combien de rouleaux faut-il acheter ?
- 4 rouleaux
- 3 rouleaux
- 3,4 rouleaux
Trois rouleaux ne fournissent que 30 m. Il faut quatre rouleaux pour avoir au moins 34 m.
Le tour d’un carré de 5 cm de côté mesure 20 cm.
Un rectangle comporte 6 rangées de 4 carreaux. Son aire vaut 24 carreaux.
Un carré de 3 cm de côté a une aire de 9 cm².
1 dm² = 100 cm².
1 m² = 100 dm².
Un carré de périmètre 32 cm a un côté de 8 cm.
Une figure compte 10 carreaux entiers et 4 demi-carreaux. Son aire vaut 12 carreaux.
Sur un contour de 26 m, un passage de 2 m reste ouvert. Il faut clôturer 24 m.
Périmètre
La longueur du contour
Rectangle de 6 m sur 4 m : 6 + 4 + 6 + 4 = 20 m.
Aire
La grandeur qui mesure l’étendue d’une surface
Un pavage de 4 rangées de 6 carreaux couvre 24 carreaux.
1 cm²
L’aire d’un carré de 1 cm de côté
Deux de ces petits carrés, sans chevauchement, couvrent 2 cm².
Aire du rectangle
Longueur × largeur, dans la même unité
6 cm × 4 cm = 24 cm².
Carré de côté 5 cm
Périmètre : 20 cm ; aire : 25 cm²
Le tour utilise quatre côtés ; la surface utilise cinq rangées de cinq carrés.
1 dm²
100 cm²
Un carré de 10 cm de côté contient 10 × 10 carrés d’un centimètre carré.
Surface composée
Additionner les aires des morceaux sans chevauchement
Un L composé de 30 m² et de 24 m² couvre 54 m² ; les traits intérieurs ne font pas partie du contour extérieur.
Même périmètre
Pas nécessairement la même aire
Rectangle de 6 cm sur 2 cm : 12 cm² ; carré de 4 cm : 16 cm². Les deux périmètres valent 16 cm.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre périmètre et aire ?
Le périmètre est la longueur du contour ; l’aire mesure l’étendue de la surface. Pour un rectangle de 6 m sur 4 m, le périmètre est de 20 m et l’aire de 24 m². Une clôture utilise une longueur, tandis qu’un revêtement de sol couvre une aire.
Comment choisir entre un calcul de périmètre et un calcul d'aire ?
Reformule ce qui est demandé et montre la partie concernée sur un schéma. S’agit-il de suivre le bord ou de recouvrir l’intérieur ? Vérifie ensuite les contraintes : une ouverture, une zone retirée ou un prix par boîte peut ajouter une étape. Ne choisis pas l’opération à partir d’un seul mot.
Faut-il connaître les formules au CM1 et au CM2 ?
Il faut distinguer les niveaux et les grandeurs. Le programme ne demande pas de mémoriser les formules au CM1 ni celles de périmètre au CM2. En revanche, les exemples officiels de CM2 indiquent que l’élève connaît et utilise les formules d’aire du carré et du rectangle.
Comment calculer le périmètre d'un rectangle ?
Additionne les longueurs de ses quatre côtés, dans une même unité. Un rectangle de 8 cm sur 5 cm a un périmètre de 8 + 5 + 8 + 5 = 26 cm. Tu peux regrouper les côtés égaux ou doubler la somme d’une longueur et d’une largeur.
Comment expliquer l'aire d'un rectangle à un enfant ?
Commence par un pavage. Un rectangle de 5 carreaux par rangée sur 4 rangées contient 20 carreaux. Si chacun mesure 1 cm², l’aire vaut 20 cm². Ce comptage donne du sens à la multiplication et à l’unité, avant d’appliquer une formule à des dimensions.
Quelles unités d'aire travaille-t-on au cours moyen ?
Le centimètre carré est introduit au CM1. Le CM2 travaille aussi le décimètre carré et le mètre carré, ainsi que les conversions entre ces unités. Un carré de 1 dm de côté contient 100 carrés de 1 cm² ; un carré de 1 m de côté contient 100 carrés de 1 dm².
Deux figures de même périmètre ont-elles la même aire ?
Pas nécessairement. Un rectangle de 6 cm sur 2 cm et un carré de 4 cm de côté ont chacun un périmètre de 16 cm. Leurs aires valent 12 cm² et 16 cm². Inversement, deux figures de même aire peuvent avoir des périmètres différents.
Peut-on additionner les périmètres de deux rectangles accolés ?
Pas directement pour obtenir le contour extérieur : le segment commun serait compté deux fois alors qu’il est à l’intérieur. Parcours le contour de la figure assemblée. Pour les aires, l’addition convient lorsque les rectangles couvrent exactement la figure sans se chevaucher.
Faut-il retirer la largeur du portail du périmètre ?
Le périmètre géométrique du terrain reste le même. Pour calculer la longueur de grillage à acheter, on retire la partie occupée par le portail. Ainsi, un contour de 30 m avec un portail de 3 m nécessite 27 m de grillage, si tout le reste doit être clôturé.
Pourquoi faut-il parfois acheter un rouleau ou une boîte de plus ?
Lorsque le matériel se vend par lots entiers, la quantité achetée doit suffire à couvrir le besoin. Pour 34 m de grillage avec des rouleaux de 10 m, trois rouleaux sont insuffisants. Il faut en acheter quatre ; les 40 m achetés laisseront 6 m inutilisés, en l’absence de perte.
Pour poursuivre les révisions
Pour revoir les notions avant les problèmes, commence par la fiche aire et périmètre au cours moyen. Pour varier les énoncés, passe ensuite aux problèmes généraux du niveau travaillé. L’objectif est de reconnaître la grandeur dans une nouvelle situation, pas seulement de mémoriser la réponse d’un exercice.