Le Calcul Littéral Cours Complet

Expressions littérales · Conventions d’écriture · Distributivité · Factorisation · Réduction · Substitution — Maths collège 5ème à 3ème 📝

5ème→3ème
Niveau
⭐⭐⭐⭐⭐
Fréquence brevet
6
Notions clés
5
Exercices corrigés

Le calcul littéral est l’un des grands tournants du programme de maths : on passe des nombres aux lettres. Au lieu de calculer avec des valeurs précises, on apprend à manipuler des expressions algébriques contenant des variables (x, a, n…). C’est la base de l’algèbre, indispensable pour les équations en 4ème, les identités remarquables en 3ème, et toute la suite du lycée.

📋 Sommaire
Expressions littérales
Conventions d’écriture
Substitution
Distributivité
Réduire une expression
Exercices corrigés
Erreurs fréquentes
L’essentiel à retenir
FAQ

I. Expressions littérales

Une expression littérale est un calcul qui contient une ou plusieurs lettres représentant des nombres inconnus ou variables. Par exemple, 3x + 5 est une expression littérale où x représente un nombre.

ExpressionSignificationExemple concret
2x + 3Le double de x, plus 3Si x = 4 : 2×4 + 3 = 11
a × bLe produit de a par bAire d’un rectangle de côtés a et b
P = 2(L + l)Périmètre d’un rectangleSi L=7 et l=3 : P = 2(7+3) = 20
📌 À quoi sert le calcul littéral ? Il permet d’écrire des formules générales valables pour tous les nombres. Au lieu de dire « le périmètre d’un rectangle de 7 cm par 3 cm est 20 cm », on écrit P = 2(L + l) qui fonctionne pour tous les rectangles.

II. Conventions d’écriture

En calcul littéral, on simplifie l’écriture en supprimant certains signes :

RègleAu lieu de…On écrit…
On supprime le signe × devant une lettre3 × x3x
On supprime le × entre deux lettresa × bab
On supprime le 1 devant une lettre1 × x ou 1xx
On écrit x × x en puissancex × xx²
Le nombre se place avant la lettrex × 55x
⚠️ Attention : on ne supprime jamais le × entre deux nombres ! 3 × 5 s’écrit toujours 3 × 5 (ou 15), jamais « 35 ».

III. Substitution (tester une valeur)

Substituer, c’est remplacer une lettre par un nombre pour calculer la valeur de l’expression.

ExpressionValeurCalculRésultat
5x − 2x = 35 × 3 − 2 = 15 − 213
x² + 4x = 55² + 4 = 25 + 429
3a + 2ba = 4, b = 73×4 + 2×7 = 12 + 1426
2(x + 3)x = −12 × (−1 + 3) = 2 × 24
✅ Astuce : quand on substitue, on réécrit d’abord l’expression complète en remplaçant la lettre, avec tous les signes ×. Ensuite seulement, on calcule. Cela évite les erreurs de signe.

IV. Distributivité simple

La distributivité est la propriété la plus importante du calcul littéral. Elle permet de développer (supprimer les parenthèses) ou de factoriser (faire apparaître un facteur commun).

Développer : k(a + b) = ka + kb

ExpressionDéveloppementRésultat
3(x + 4)3 × x + 3 × 43x + 12
5(2x − 3)5 × 2x − 5 × 310x − 15
−2(x + 7)(−2) × x + (−2) × 7−2x − 14
x(x + 5)x × x + x × 5x² + 5x

Factoriser (opération inverse) : ka + kb = k(a + b)

On cherche le facteur commun et on le met devant les parenthèses.

ExpressionFacteur communForme factorisée
6x + 186 (car 6x = 6×x et 18 = 6×3)6(x + 3)
4x − 124 (car 4x = 4×x et 12 = 4×3)4(x − 3)
3x² + 5xx (car 3x² = x×3x et 5x = x×5)x(3x + 5)
📌 Comment trouver le facteur commun ? Cherchez le plus grand nombre qui divise tous les coefficients ET la lettre qui apparaît dans tous les termes. Par exemple, dans 12x² + 8x, le facteur commun est 4x → 4x(3x + 2).

V. Réduire une expression

Réduire une expression, c’est regrouper les termes de même nature pour simplifier l’écriture. On ne peut additionner que des termes qui contiennent la même variable au même degré.

✅ On peut regrouper
3x et 5x → 8x
2x² et 7x² → 9x²
4 et −1 → 3
❌ On ne peut PAS regrouper
3x et 5x² → degrés différents
3x et 5 → variable vs nombre
3x et 5y → lettres différentes
ExpressionRegroupementForme réduite
3x + 5x + 2(3+5)x + 28x + 2
7x − 2x + 4 − 1(7−2)x + (4−1)5x + 3
4x + 3 + 2x − 7(4+2)x + (3−7)6x − 4
x² + 3x + 2x² − x(1+2)x² + (3−1)x3x² + 2x

VI. Exercices corrigés

Exercice 1 — Simplifier l’écriture
Énoncé : Simplifier : a) 7 × a   b) 1 × x + 3   c) b × b × b   d) 4 × x × y
Correction : a) 7a   b) x + 3   c) b³   d) 4xy
Exercice 2 — Substitution
Énoncé : Calculer 3x² − 2x + 1 pour x = 4.
Correction : 3 × 4² − 2 × 4 + 1 = 3 × 16 − 8 + 1 = 48 − 8 + 1 = 41
Exercice 3 — Développer
Énoncé : Développer et réduire : a) 4(3x + 2)   b) −3(x − 5)   c) 2(x + 3) + 3(x − 1)
Correction : a) 12x + 8 → 12x + 8   b) −3x + 15 → −3x + 15   c) 2x + 6 + 3x − 3 = 5x + 3
Exercice 4 — Factoriser
Énoncé : Factoriser : a) 8x + 24   b) 15x − 10   c) x² + 7x
Correction : a) Facteur commun 8 → 8(x + 3)   b) Facteur commun 5 → 5(3x − 2)   c) Facteur commun x → x(x + 7)
Exercice 5 — Problème
Énoncé : Le prix d’un stylo est x euros. Un cahier coûte 3 € de plus qu’un stylo. Écrire l’expression du prix total pour 4 stylos et 2 cahiers, puis calculer pour x = 1,50 €.
Correction : Prix d’un cahier : x + 3. Prix total : 4x + 2(x + 3) = 4x + 2x + 6 = 6x + 6. Pour x = 1,50 : 6 × 1,50 + 6 = 9 + 6 = 15 €

VII. Erreurs fréquentes à éviter

❌ ErreurPourquoi c’est faux✅ Bonne méthode
3x + 5x = 8x²On additionne les coefficients, pas les exposants3x + 5x = 8x
3x + 5 = 8x3x et 5 ne sont pas de même nature3x + 5 (déjà réduit)
2(x + 3) = 2x + 3On doit distribuer le 2 sur les DEUX termes2(x + 3) = 2x + 6
−3(x − 5) = −3x − 5Moins × moins = plus : (−3) × (−5) = +15−3(x − 5) = −3x + 15
x² signifie « x fois 2 »x² signifie « x fois x » = x au carréSi x = 5 : x² = 5 × 5 = 25 (pas 10)

VIII. L’essentiel à retenir

NotionRègleExemple
ConventionOn supprime le × devant les lettres3 × x = 3x
Développerk(a + b) = ka + kb3(x + 4) = 3x + 12
Factoriserka + kb = k(a + b)6x + 18 = 6(x + 3)
RéduireRegrouper les termes de même nature3x + 5x = 8x
SubstituerRemplacer la lettre par un nombre2x + 1 pour x=3 : 7
Double distrib.(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd(x+2)(x+3) = x²+5x+6

IX. Questions fréquentes

Pourquoi utilise-t-on des lettres en maths ?
Les lettres permettent d’écrire des formules générales valables pour tous les nombres. Au lieu de refaire le calcul à chaque fois, une formule comme A = L × l donne l’aire de n’importe quel rectangle. C’est aussi indispensable pour résoudre des équations.
Est-ce que 2x veut dire « 2 virgule x » ?
Non. 2x signifie « 2 fois x » (2 multiplié par x). Le fait de coller le 2 et le x est juste une convention d’écriture simplifiée. Si x = 3, alors 2x = 2 × 3 = 6.
Peut-on additionner 3x et 5y ?
Non, car ce ne sont pas des termes de même nature (x ≠ y). L’expression 3x + 5y est déjà réduite. On ne peut regrouper que les termes avec la même lettre au même degré.
C’est quoi la différence entre développer et factoriser ?
Ce sont les opérations inverses. Développer : supprimer les parenthèses → 3(x + 2) = 3x + 6. Factoriser : faire apparaître des parenthèses → 3x + 6 = 3(x + 2). Pour aller plus loin, voir les identités remarquables.
Pourquoi −3(x − 5) donne −3x + 15 et pas −3x − 15 ?
Parce que (−3) × (−5) = +15 (règle des signes : moins × moins = plus). On distribue le −3 sur chaque terme, y compris le signe. Révisez les opérations sur les nombres relatifs si la règle des signes n’est pas claire.
Le calcul littéral tombe-t-il au brevet ?
Quasi systématiquement. Le calcul littéral (développer, factoriser, résoudre une équation) fait partie des chapitres les plus fréquents au brevet, avec Pythagore et Thalès. C’est un incontournable. Consultez notre guide de révision du brevet pour un planning complet.

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