Le Théorème de Pythagore en 4ème : Cours Complet
Énoncé · Réciproque · Contraposée · Rédaction brevet — Programme de mathématiques 4ème
📌 Le théorème de Pythagore est l’un des résultats les plus célèbres en mathématiques. Il permet de calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle quand on connaît les deux autres. Sa réciproque permet de démontrer qu’un triangle est rectangle. C’est un incontournable du brevet des collèges — la rédaction y est notée de façon très stricte.
1. Vocabulaire du triangle rectangle
Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit (90°).
| Terme | Définition | Comment le repérer |
|---|---|---|
| Hypoténuse | Le côté opposé à l’angle droit | C’est toujours le plus long côté du triangle |
| Côtés de l’angle droit | Les deux côtés qui forment l’angle droit | Ils sont perpendiculaires entre eux |
✅ Exemple : si le triangle ABC est rectangle en A, alors [BC] est l’hypoténuse (opposée à l’angle droit en A), et [AB] et [AC] sont les côtés de l’angle droit.
2. Énoncé du théorème de Pythagore
📖 Théorème : Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Si ABC est rectangle en A : BC² = AB² + AC²
En d’autres termes : dans un triangle rectangle, l’aire du grand carré (construit sur l’hypoténuse) est égale à la somme des aires des deux petits carrés (construits sur les côtés de l’angle droit).
| Triangle rectangle en… | Hypoténuse | Égalité de Pythagore |
|---|---|---|
| Rectangle en A | [BC] | BC² = AB² + AC² |
| Rectangle en B | [AC] | AC² = AB² + BC² |
| Rectangle en C | [AB] | AB² = AC² + BC² |
⚠️ Repère essentiel : l’hypoténuse est TOUJOURS seule d’un côté du signe =. C’est le repère pour écrire la bonne égalité.
3. Méthode de rédaction (très important au brevet)
La rédaction est notée au brevet. Voici les étapes obligatoires :
| Étape | Ce qu’il faut écrire | Exemple (ABC rect. en A, AB=3, AC=4) |
|---|---|---|
| 1. Données | Préciser que le triangle est rectangle et en quel sommet | Le triangle ABC est rectangle en A. |
| 2. Citer le théorème | « D’après le théorème de Pythagore… » | D’après le théorème de Pythagore : BC² = AB² + AC² |
| 3. Remplacer | Substituer les valeurs connues | BC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 |
| 4. Conclure | Extraire la racine carrée et donner le résultat | Donc BC = √25 = 5 cm |
Cas où on cherche un côté de l’angle droit
La méthode est la même, mais à l’étape 3 on isole le côté inconnu. Par exemple, si on connaît BC = 10 et AC = 6, et que le triangle est rectangle en A :
Rédaction type
BC² = AB² + AC² → 10² = AB² + 6² → 100 = AB² + 36 → AB² = 100 − 36 = 64 → AB = √64 = 8 cm
4. √ La racine carrée
La racine carrée de a (notée √a) est le nombre positif dont le carré vaut a. Autrement dit : si x² = a, alors x = √a.
| Nombre | Carré | Racine |
|---|---|---|
| 1 | 1 | √1 = 1 |
| 2 | 4 | √4 = 2 |
| 3 | 9 | √9 = 3 |
| 4 | 16 | √16 = 4 |
| 5 | 25 | √25 = 5 |
| 10 | 100 | √100 = 10 |
| 12 | 144 | √144 = 12 |
📖 Carrés parfaits à connaître : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225. Quand le résultat n’est pas un carré parfait, on utilise la touche √ de la calculatrice et on arrondit (ex : √50 ≈ 7,07).
5. Réciproque du théorème de Pythagore
La réciproque permet de démontrer qu’un triangle est rectangle quand on connaît les trois longueurs.
✅ Énoncé : Si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle et l’angle droit est opposé au plus grand côté.
| Étape | Exemple : ABC avec AB=5, AC=12, BC=13 |
|---|---|
| 1. Identifier le plus grand côté | BC = 13 (le plus grand) |
| 2. Calculer son carré | BC² = 13² = 169 |
| 3. Calculer la somme des carrés des deux autres | AB² + AC² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169 |
| 4. Comparer et conclure | BC² = AB² + AC² → d’après la réciproque, ABC est rectangle en A |
6. Contraposée : démontrer qu’un triangle n’est PAS rectangle
Si l’égalité de Pythagore n’est pas vérifiée, alors le triangle n’est pas rectangle.
Exemple
Triangle DEF avec DE = 3, EF = 4,5, DF = 5. Le plus grand côté est DF.
DF² = 25. DE² + EF² = 9 + 20,25 = 29,25.
Comme 25 ≠ 29,25, le triangle DEF n’est pas rectangle.
DF² = 25. DE² + EF² = 9 + 20,25 = 29,25.
Comme 25 ≠ 29,25, le triangle DEF n’est pas rectangle.
7. Exercices corrigés
Exercice 1 — Calculer l’hypoténuse
Énoncé : Le triangle RST est rectangle en S avec RS = 6 cm et ST = 8 cm. Calculer RT.
Correction
Le triangle RST est rectangle en S. D’après le théorème de Pythagore : RT² = RS² + ST² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100. Donc RT = √100 = 10 cm.
Exercice 2 — Calculer un côté de l’angle droit
Énoncé : Le triangle MNP est rectangle en N avec MP = 15 cm et MN = 9 cm. Calculer NP.
Correction
Le triangle MNP est rectangle en N. D’après le théorème de Pythagore : MP² = MN² + NP². Donc NP² = MP² − MN² = 15² − 9² = 225 − 81 = 144. Donc NP = √144 = 12 cm.
Exercice 3 — Réciproque
Énoncé : Le triangle IJK a pour dimensions IJ = 7, JK = 24, IK = 25. Est-il rectangle ?
Correction
Le plus grand côté est IK = 25. IK² = 625. IJ² + JK² = 49 + 576 = 625. Comme IK² = IJ² + JK², d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle IJK est rectangle en J.
Exercice 4 — Contraposée
Énoncé : Le triangle ABC a pour dimensions AB = 5, BC = 7, AC = 9. Est-il rectangle ?
Correction
Le plus grand côté est AC = 9. AC² = 81. AB² + BC² = 25 + 49 = 74. Comme 81 ≠ 74, le triangle ABC n’est pas rectangle.
Exercice 5 — Problème concret
Énoncé : Une échelle de 5 m est posée contre un mur. Le pied de l’échelle est à 3 m du mur. À quelle hauteur atteint-elle le mur ?
Correction
Le triangle formé est rectangle (mur vertical, sol horizontal). L’échelle est l’hypoténuse (5 m). Soit h la hauteur : 5² = 3² + h² → 25 = 9 + h² → h² = 16 → h = √16 = 4 m.
8. Erreurs fréquentes à éviter
| Erreur | Pourquoi c’est faux | Bonne méthode |
|---|---|---|
| BC² = AB² + AC² donc BC = AB + AC | La racine d’une somme ≠ la somme des racines | √(9+16) = √25 = 5 ≠ 3+4 = 7 |
| Oublier de citer le théorème | Au brevet, ne pas citer = perdre des points | Toujours écrire « D’après le th. de Pythagore » |
| Mettre l’hypoténuse du mauvais côté du = | L’hypoténuse est SEULE d’un côté de l’égalité | Identifier l’angle droit → le côté opposé = hypoténuse |
| Utiliser Pythagore sur un triangle non rectangle | Le théorème ne s’applique qu’aux triangles rectangles | Vérifier que le triangle a bien un angle droit |
| Confondre le théorème et sa réciproque | Théorème : on SAIT rectangle → on calcule. Réciproque : on vérifie SI rectangle | Calculer un côté → théorème. Prouver rectangle → réciproque |
9. L’essentiel à retenir
| Notion | Règle |
|---|---|
| Théorème (direct) | Si rectangle en A → BC² = AB² + AC² |
| Réciproque | Si BC² = AB² + AC² → rectangle en A |
| Contraposée | Si BC² ≠ AB² + AC² → pas rectangle |
| Hypoténuse | Plus grand côté, opposé à l’angle droit, seul à gauche du = |
| Racine carrée | Si x² = a, alors x = √a (touche √ de la calculatrice) |
Questions fréquentes sur le théorème de Pythagore
Qui était Pythagore ?
Pythagore de Samos (~580-495 av. J.-C.) était un mathématicien et philosophe grec. Il a fondé une école où les mathématiques étaient considérées comme sacrées. Le théorème qui porte son nom était en réalité déjà connu des Babyloniens plus de 1 000 ans avant lui, mais Pythagore (ou son école) en aurait proposé la première démonstration rigoureuse.
Le théorème marche-t-il avec tous les triangles ?
Non. Le théorème de Pythagore ne s’applique qu’aux triangles rectangles. Pour les triangles quelconques, il existe une généralisation appelée le théorème d’Al-Kashi (vu au lycée), qui ajoute un terme correctif lié à l’angle.
C’est quoi un triplet pythagoricien ?
Un triplet pythagoricien est un ensemble de trois entiers (a, b, c) qui vérifient a² + b² = c². Les plus connus : (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25). Tous les multiples d’un triplet sont aussi des triplets : (6, 8, 10) par exemple.
Quelle différence entre le théorème et la réciproque ?
Le théorème part de « je sais que le triangle est rectangle » pour calculer une longueur. La réciproque part de « je connais les trois longueurs » pour vérifier si le triangle est rectangle. Ce ne sont pas les mêmes hypothèses de départ.
Comment savoir quand utiliser Pythagore ou Thalès ?
Pythagore s’utilise quand on a un triangle rectangle et qu’on connaît deux côtés. Thalès s’utilise quand on a des droites parallèles coupées par des sécantes. Si l’exercice parle d’angle droit → Pythagore. Si l’exercice parle de parallèles → Thalès.
Pourquoi √(a² + b²) ≠ a + b ?
Parce que la racine carrée n’est pas distributive sur l’addition. √(9 + 16) = √25 = 5, mais √9 + √16 = 3 + 4 = 7. C’est l’erreur la plus courante avec Pythagore. Il faut d’abord additionner les carrés, PUIS prendre la racine.
Comment arrondir le résultat d’une racine carrée ?
L’énoncé précise toujours à quel degré arrondir (au dixième, au centième…). On utilise la touche √ de la calculatrice, puis on arrondit. Par exemple, √50 = 7,0710… ≈ 7,1 (au dixième) ou 7,07 (au centième).