Les Puissances en 4ème : Cours Complet

Définition · Propriétés · Puissances de 10 · Écriture scientifique — Programme de mathématiques 4ème

8
Notions clés
6
Exercices corrigés
4e
Niveau principal
⭐⭐⭐
Fréquence brevet
📌 Les puissances permettent d’écrire de façon compacte des multiplications répétées. Au lieu d’écrire 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10, on écrit simplement 10⁶. C’est un outil indispensable pour manipuler les très grands nombres (distance Terre-Soleil : 1,5 × 10⁸ km) et les très petits nombres (taille d’un atome : 10⁻¹⁰ m). Ce cours couvre les 5 propriétés fondamentales, les puissances de 10, l’écriture scientifique, avec des exercices corrigés.

📋 Sommaire du cours
Définition
Signe d’une puissance
Exposant 0 et négatif
5 propriétés
Puissances de 10
Écriture scientifique
Préfixes scientifiques
Carrés et cubes parfaits
Exercices corrigés
Erreurs fréquentes
L’essentiel
FAQ

1. Définition : puissance d’exposant positif

Soit a un nombre et n un entier positif (n ≥ 2). La puissance n de a, notée aⁿ, est le produit de n facteurs tous égaux à a :

✅ aⁿ = a × a × a × … × a (n facteurs)
Le nombre a est la base et n est l’exposant. On lit « a exposant n » ou « a puissance n ».
Écriture Développement Résultat Lecture
3⁴ 3 × 3 × 3 × 3 81 « 3 puissance 4 »
5² 5 × 5 25 « 5 au carré »
2³ 2 × 2 × 2 8 « 2 au cube »
10⁶ 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 1 000 000 « un million »

Cas particuliers : a¹ = a (un seul facteur). Par convention, a⁰ = 1 pour tout a ≠ 0 (voir section suivante).

2. Signe d’une puissance

Le signe d’une puissance dépend du signe de la base et de la parité de l’exposant.

Base Exposant pair Exposant impair
Base positive Résultat positif Résultat positif
Base négative Résultat positif Résultat négatif
Calcul Base / Exposant Résultat Explication
(−2)⁴ Base −2, exposant pair +16 (−2)×(−2)×(−2)×(−2) = +16
(−2)³ Base −2, exposant impair −8 (−2)×(−2)×(−2) = −8
(−1)¹⁰⁰ Base −1, exposant pair +1 Pair → positif
(−5)¹ Base −5, exposant impair −5 Impair → négatif
⚠️ PIÈGE des parenthèses : la différence entre (−3)² et −3² est fondamentale !

(−3)² = (−3) × (−3) = +9 → la base entière est −3.

−3² = −(3 × 3) = −9 → l’exposant ne s’applique qu’au 3, le signe − est à part.

Cette distinction fait perdre beaucoup de points en contrôle !

3. Exposant zéro et exposant négatif

Exposant 0
a⁰ = 1 (pour a ≠ 0)
→ 5⁰ = 1, (−7)⁰ = 1, 10⁰ = 1
Exposant négatif
a⁻ⁿ = 1 / aⁿ (l’inverse)
→ 2⁻³ = 1/2³ = 1/8 = 0,125
📖 Pourquoi a⁰ = 1 ? C’est la convention qui rend les propriétés cohérentes. a³ × a⁰ doit donner a³⁺⁰ = a³. Pour que cela fonctionne, il faut que a⁰ = 1.

Pourquoi a⁻ⁿ = 1/aⁿ ? De même : a³ × a⁻³ doit donner a⁰ = 1. Donc a⁻³ doit être l’inverse de a³.

Puissance Calcul Résultat
10⁻¹ 1/10 0,1
10⁻³ 1/1 000 0,001
5⁻² 1/5² = 1/25 0,04
3⁻¹ 1/3 ≈ 0,333

4. Les 5 propriétés fondamentales des puissances

Ces propriétés sont valables pour tous les exposants (positifs, négatifs, nuls) et constituent la clé de tous les calculs sur les puissances.

Propriété Formule Exemple Condition
1. Produit de même base aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ 10³ × 10⁴ = 10⁷ Même base a
2. Quotient de même base aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ 10⁵ / 10² = 10³ Même base a ≠ 0
3. Puissance d’une puissance (aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ (10³)² = 10⁶ —
4. Produit à même exposant aⁿ × bⁿ = (a×b)ⁿ 2³ × 5³ = 10³ = 1 000 Même exposant n
5. Quotient à même exposant aⁿ / bⁿ = (a/b)ⁿ 6⁴ / 3⁴ = 2⁴ = 16 Même exposant n, b ≠ 0
⚠️ Il n’existe PAS de formule pour aᵐ + aⁿ ou aᵐ × bⁿ (bases ET exposants différents). On ne peut additionner les exposants que si les bases sont identiques.

5. Puissances de 10

Les puissances de 10 ont un rôle central en maths et en sciences. Elles permettent d’écrire facilement les très grands et très petits nombres.

Puissance Écriture décimale Nom
10⁹ 1 000 000 000 Un milliard
10⁶ 1 000 000 Un million
10³ 1 000 Un millier
10² 100 Une centaine
10¹ 10 Une dizaine
10⁰ 1 Unité
10⁻¹ 0,1 Un dixième
10⁻² 0,01 Un centième
10⁻³ 0,001 Un millième
10⁻⁶ 0,000 001 Un millionième
📖 Astuce : pour 10ⁿ avec n positif, l’écriture décimale est un 1 suivi de n zéros. Pour 10⁻ⁿ, c’est 0 suivi d’une virgule, puis (n−1) zéros, puis un 1.

6. Écriture scientifique

L’écriture scientifique d’un nombre décimal non nul est l’unique écriture de la forme :

✅ a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10 (un seul chiffre non nul avant la virgule) et n entier relatif.
Nombre Étapes Écriture scientifique
345 000 3,45 → virgule déplacée de 5 rangs vers la droite 3,45 × 10⁵
0,000 067 6,7 → virgule déplacée de 5 rangs vers la gauche 6,7 × 10⁻⁵
7,3 Déjà entre 1 et 10 → exposant 0 7,3 × 10⁰
150 000 000 (Terre-Soleil, km) 1,5 → virgule déplacée de 8 rangs 1,5 × 10⁸
0,000 000 001 (taille d’un atome, m) 1 → virgule déplacée de 9 rangs 1 × 10⁻⁹

Méthode pas à pas

1. Repérer le premier chiffre significatif (le premier chiffre ≠ 0).
2. Placer la virgule juste après ce chiffre pour obtenir un nombre entre 1 et 10.
3. Compter le nombre de rangs de déplacement de la virgule.
4. Si la virgule s’est déplacée vers la gauche (grand nombre) → exposant positif. Si vers la droite (petit nombre) → exposant négatif.

⚠️ Attention : 0,36 × 10² et 36 × 10⁰ sont des écritures équivalentes à 36, mais ne sont pas des écritures scientifiques (car 0,36 < 1 et 36 ≥ 10). La seule écriture scientifique de 36 est 3,6 × 10¹.
📖 Ordre de grandeur : l’ordre de grandeur d’un nombre est la puissance de 10 la plus proche. On l’obtient à partir de l’écriture scientifique : si la mantisse est < 5, l’ordre de grandeur est 10ⁿ ; si ≥ 5, c’est 10ⁿ⁺¹. L’ordre de grandeur de 345 000 (= 3,45 × 10⁵) est 10⁵. Celui de 7 800 (= 7,8 × 10³) est 10⁴.

7. Préfixes scientifiques (kilo, méga, nano…)

Les puissances de 10 correspondent à des préfixes utilisés au quotidien en physique, chimie, SVT et technologie.

Préfixe Symbole Puissance Exemple concret
Giga G 10⁹ 1 Go = 10⁹ octets
Méga M 10⁶ 1 MHz = 10⁶ Hz
Kilo k 10³ 1 km = 10³ m = 1 000 m
Hecto h 10² 1 hL = 100 L
Déci d 10⁻¹ 1 dm = 0,1 m
Centi c 10⁻² 1 cm = 0,01 m
Milli m 10⁻³ 1 mm = 0,001 m
Micro μ 10⁻⁶ 1 μm = taille d’une bactérie
Nano n 10⁻⁹ 1 nm ≈ taille d’une molécule

Pour approfondir les conversions : consultez notre cours sur les conversions d’unités.

8. Table des carrés et cubes parfaits (à connaître)

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15
n² 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 225
n³ 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1 000 — — —
✅ Connaître ces valeurs par cœur est utile pour le théorème de Pythagore (racines carrées) et pour simplifier les calculs de puissances.

9. Exercices corrigés

Exercice 1 — Écrire sous forme de puissance

Énoncé : Simplifier : a) 7 × 7 × 7 × 7 × 7   b) (−3) × (−3) × (−3)   c) 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10

Correction
a) 7⁵. b) (−3)³ = −27. c) 10⁸ = 100 000 000.

Exercice 2 — Utiliser les propriétés

Énoncé : Écrire sous forme d’une seule puissance : a) 10⁴ × 10⁻⁷   b) 10⁵ / 10⁻²   c) (10³)⁴   d) 2⁵ × 5⁵

Correction
a) 10⁴⁺⁽⁻⁷⁾ = 10⁻³. b) 10⁵⁻⁽⁻²⁾ = 10⁷. c) 10³ˣ⁴ = 10¹². d) (2 × 5)⁵ = 10⁵.

Exercice 3 — Écriture scientifique

Énoncé : Donner l’écriture scientifique de : a) 47 500 000   b) 0,000 023 4   c) 0,56 × 10³

Correction
a) 4,75 × 10⁷. b) 2,34 × 10⁻⁵. c) 0,56 × 10³ = 560 = 5,6 × 10².

Exercice 4 — Calcul en écriture scientifique

Énoncé : Calculer A = (3 × 10⁴) × (5 × 10⁻⁷). Donner le résultat en écriture scientifique.

Correction
A = (3 × 5) × (10⁴ × 10⁻⁷) = 15 × 10⁻³. Mais 15 n’est pas entre 1 et 10, donc A = 1,5 × 10¹ × 10⁻³ = 1,5 × 10⁻².

Exercice 5 — Problème concret (année-lumière)

Énoncé : La vitesse de la lumière est d’environ 3 × 10⁸ m/s. Combien de kilomètres parcourt la lumière en une année (3,15 × 10⁷ secondes) ?

Correction
Distance = vitesse × temps = (3 × 10⁸) × (3,15 × 10⁷) = 9,45 × 10¹⁵ m = 9,45 × 10¹² km.
L’année-lumière vaut environ 9 450 milliards de km.

Exercice 6 — Signe d’une puissance

Énoncé : Déterminer le signe et calculer : a) (−2)⁶   b) −2⁶   c) (−1)²⁰²⁵

Correction
a) Base −2, exposant pair → +64. b) C’est −(2⁶) = −64 (pas de parenthèses !). c) Base −1, exposant impair → −1.

10. Erreurs fréquentes à éviter

Erreur Pourquoi c’est faux Bonne méthode
(−3)² = −9 Avec parenthèses, la base est −3 : (−3)×(−3) (−3)² = +9
10³ × 10⁴ = 10¹² On additionne les exposants, on ne les multiplie pas 10³ × 10⁴ = 10⁷
2³ × 3² = 6⁵ Les bases sont différentes ! Pas de formule directe 2³ × 3² = 8 × 9 = 72
10⁻³ = −1 000 L’exposant négatif donne l’inverse, pas l’opposé 10⁻³ = 1/10³ = 0,001
0,36 × 10² est une écriture scientifique 0,36 < 1, la mantisse doit être entre 1 et 10 Écriture scientifique de 36 : 3,6 × 10¹
5⁰ = 0 Tout nombre (≠ 0) élevé à la puissance 0 vaut 1 5⁰ = 1

11. L’essentiel à retenir

Notion Formule / Règle
Définition aⁿ = a × a × … × a (n facteurs)
Exposant 0 a⁰ = 1 (a ≠ 0)
Exposant négatif a⁻ⁿ = 1/aⁿ (inverse)
Même base aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ et aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
Même exposant aⁿ × bⁿ = (ab)ⁿ
Puissance de puissance (aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ
Écriture scientifique a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10
Signe Base négative + exposant pair = positif

Questions fréquentes sur les puissances

Pourquoi un nombre puissance 0 vaut 1 ?
C’est une convention qui rend les formules cohérentes. Si aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, alors a³ × a⁰ = a³. Pour que cela fonctionne, il faut que a⁰ = 1. On peut aussi le voir comme : a³ / a³ = a³⁻³ = a⁰ = 1.
Quelle est la différence entre (−3)² et −3² ?
C’est LE piège classique ! (−3)² = (−3) × (−3) = +9 car la base entière est −3. −3² = −(3 × 3) = −9 car l’exposant ne s’applique qu’au 3, et le signe − est une opération séparée. Retenez : les parenthèses changent tout.
Est-ce que 10⁻³ est un nombre négatif ?
Non ! Un exposant négatif donne l’inverse (1 divisé par la puissance), pas l’opposé. 10⁻³ = 1/10³ = 1/1 000 = 0,001. C’est un nombre positif, très petit, mais positif.
Comment multiplier deux nombres en écriture scientifique ?
On multiplie les mantisses entre elles et on additionne les exposants. Exemple : (4 × 10³) × (2 × 10⁵) = (4 × 2) × 10³⁺⁵ = 8 × 10⁸. Si la mantisse sort de l’intervalle [1 ; 10[, on ajuste.
Comment diviser deux nombres en écriture scientifique ?
On divise les mantisses et on soustrait les exposants. Exemple : (6 × 10⁸) / (3 × 10⁵) = (6/3) × 10⁸⁻⁵ = 2 × 10³.
À quoi servent les puissances en physique et SVT ?
Les puissances de 10 sont indispensables en sciences pour exprimer les grandeurs extrêmes : la distance Terre-Soleil (1,5 × 10⁸ km), la taille d’un atome (10⁻¹⁰ m), la masse d’un proton (1,67 × 10⁻²⁷ kg), la vitesse de la lumière (3 × 10⁸ m/s), le nombre d’Avogadro (6,02 × 10²³).
C’est quoi un ordre de grandeur ?
L’ordre de grandeur d’un nombre est la puissance de 10 la plus proche. On l’obtient à partir de l’écriture scientifique : si la mantisse est < 5, l’ordre de grandeur est 10ⁿ ; si ≥ 5, c’est 10ⁿ⁺¹. L’ordre de grandeur de 345 000 (= 3,45 × 10⁵) est 10⁵. Celui de 7 800 (= 7,8 × 10³) est 10⁴.
Peut-on avoir un exposant décimal ou fractionnaire ?
Oui, mais pas au programme de 4ème. Les exposants fractionnaires (comme 2^(1/2) = √2) sont étudiés au lycée. Au collège, on se limite aux exposants entiers relatifs (positifs, négatifs ou nul).

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