Automatismes en maths au lycée : cours et exercices corrigés

Comprendre les automatismes

Un automatisme mathématique est une connaissance, une méthode ou une procédure que tu sais mobiliser avec aisance dans une situation familière. Simplifier 45/60, calculer 15 % d’un prix, développer (x − 5)² ou reconnaître une fonction affine en sont des exemples. L’objectif est de calculer avec fiabilité et de garder de l’attention pour le raisonnement.

Un automatisme ne se limite donc pas au calcul mental. Il peut concerner une lecture graphique, le choix du bon dénominateur dans une probabilité ou la vérification d’une unité. Tu peux écrire quelques étapes au brouillon : sans calculatrice ne signifie pas sans écrire. Il n’existe pas de seuil universel d’une minute ou de cent secondes qui permettrait de décider qu’une notion est acquise.

Ces réflexes se construisent à partir d’une méthode comprise. Par exemple, pour obtenir 15 % de 240, tu peux calculer 10 %, soit 24, puis 5 %, soit 12, et additionner : 24 + 12 = 36. Tu n’as pas seulement mémorisé une réponse : tu disposes d’une procédure réutilisable avec d’autres nombres. La fiche de calcul mental propose d’autres décompositions utiles.

Les automatismes au bac

En première générale et technologique, l’épreuve anticipée de mathématiques dure 2 heures, compte coefficient 2 et se déroule sans calculatrice. Le sujet correspond à ton enseignement : spécialité mathématiques, mathématiques intégrées à l’enseignement scientifique ou enseignement commun de la voie technologique.

La maîtrise de la langue est prise en compte à hauteur de deux points dans la note sur 20. Soigne tes formulations et ton vocabulaire. Les consignes du sujet précisent la réponse attendue à chaque question.

Les annales de 2026 restent utiles pour réviser des notions, mais leur QCM correspond à l’ancien format. Les QCM proposés plus bas sont des outils d’apprentissage ; entraîne-toi aussi à produire une réponse sans choix proposés. Pour les modalités détaillées, consulte la définition officielle de l’épreuve.

Que réviser en seconde et première ?

Les six familles ci-dessous servent à organiser tes révisions. Ce classement pédagogique n’est ni un découpage obligatoire du sujet ni une liste exhaustive de tout le programme. En première, tu entretiens les acquis de seconde et tu complètes ton entraînement avec les notions étudiées dans ton parcours.

En seconde, commence par les bases de calcul, les équations simples, les pourcentages et la lecture des fonctions. En première, reprends ces bases et travaille notamment les évolutions successives, les signes d’expressions et les probabilités conditionnelles selon la progression de ta classe. L’exercice 20 est consacré à ce dernier apprentissage.

En spécialité, ces acquis te serviront aussi dans le cours sur le second degré et dans celui sur les dérivées en première spécialité. Ces chapitres ne remplacent pas le travail des bases. Le formulaire de maths du lycée couvre plusieurs niveaux : sélectionne les formules correspondant à ce que tu as déjà étudié.

Calcul numérique sans calculatrice

Respecter les priorités et les signes

Calcule d’abord les parenthèses, puis les puissances, puis les multiplications et divisions, enfin les additions et soustractions. Pour des opérations de même priorité, avance de gauche à droite. Ainsi, 18 ÷ 3 × 2 = 6 × 2 = 12 ; on ne regroupe pas spontanément 3 × 2 au dénominateur.

Le signe moins mérite une attention particulière : −3² = −(3²) = −9, tandis que (−3)² = 9. Si tu remplaces x par −3 dans x², écris bien (−3)². Cette simple habitude évite de nombreuses erreurs lors du calcul de l’image d’un nombre négatif.

Simplifier et calculer avec des fractions

Pour simplifier une fraction, divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul : 45/60 = 3/4 en divisant par 15. Pour additionner ou soustraire, utilise un dénominateur commun : 2/3 + 1/4 = 8/12 + 3/12 = 11/12. Additionner les dénominateurs donnerait une autre valeur.

Pour multiplier, multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Tu peux simplifier des facteurs avant de terminer : (3/5) × (10/9) = 2/3. Pour diviser par une fraction non nulle, multiplie par son inverse. En revanche, tu ne peux pas « barrer » des termes à travers une addition : (x + 2)/x ne vaut pas 2.

Utiliser les puissances et les racines carrées

Pour une base a non nulle et des exposants entiers, a^m × aⁿ = a^m+n et a^m ÷ aⁿ = a^m−n. Un exposant négatif indique un inverse : 2⁻¹ = 1/2. Ces règles concernent des produits et des quotients ; elles ne permettent pas de transformer a² + a³ en a⁵.

Une racine carrée est positive ou nulle. Pour simplifier √72, repère un facteur carré parfait : √72 = √(36 × 2) = 6√2. Mais √(a + b) n’est généralement pas égal à √a + √b. De même, √(x²) = |x| : pour x = −5, la racine vaut 5, pas −5.

Vérifier l’ordre de grandeur et l’unité

Avant d’accepter un résultat, demande-toi s’il est plausible. Un quart de 80 doit être inférieur à 80 ; une probabilité ne peut pas dépasser 1. Pour les conversions, distingue longueurs, aires et volumes : 1 m = 100 cm, mais 1 m² = 10 000 cm² et 1 m³ = 1 000 000 cm³.

Les durées ne fonctionnent pas en base 100 : 1,5 h représente 1 h 30 min, soit 90 min, et non 1 h 50 min. Écrire l’unité à chaque étape aide à repérer une conversion oubliée.

Calcul littéral et équations

Développer ou factoriser : choisir le bon sens

Développer transforme un produit en somme ; factoriser transforme une somme en produit. Par exemple, 3(x + 4) = 3x + 12, tandis que 6x² − 9x = 3x(2x − 3). Choisis la forme utile : la forme développée facilite la réduction, la forme factorisée aide à résoudre une équation produit nul.

• (a + b)² = a² + 2ab + b².
• (a − b)² = a² − 2ab + b².
• (a + b)(a − b) = a² − b².

Dans (x − 5)², le double produit vaut −2 × x × 5 = −10x. Le développement est donc x² − 10x + 25. Pour contrôler une identité proposée, tu peux essayer une valeur de x : un résultat différent suffit à prouver qu’elle est fausse. Un seul essai réussi ne prouve toutefois pas qu’elle est vraie pour tout x.

Résoudre une équation simple

Effectue la même opération sur les deux membres pour conserver l’égalité. Dans 3x − 7 = 11, ajoute 7, puis divise par 3 : 3x = 18, donc x = 6. Vérifie ensuite dans l’équation de départ : 3 × 6 − 7 = 11.

Pour un produit nul, au moins un facteur est nul. Ainsi, (x − 2)(x + 3) = 0 donne x = 2 ou x = −3. Diviser directement par x − 2 ferait perdre la solution x = 2, puisque ce facteur peut justement être nul.

Résoudre une inéquation et lire un signe

Lorsque tu multiplies ou divises les deux membres d’une inégalité par un nombre strictement négatif, inverse son sens. Par exemple, −2x > 4 donne x < −2. Une valeur de contrôle aide : x = −3 convient, car −2 × (−3) = 6 > 4.

Pour étudier le signe de 2x − 6, repère d’abord son zéro, x = 3. L’expression est négative pour x < 3 et positive pour x > 3. Pour un produit comme (x − 2)(x + 3), étudie chaque facteur puis utilise la règle des signes : les deux facteurs ont le même signe en dehors de l’intervalle entre −3 et 2.

Pourcentages et évolutions

Identifier la quantité de référence

Une proportion compare une partie à un tout : proportion = effectif de la partie ÷ effectif total. Si 18 élèves sur 60 participent à une activité, la proportion est 18/60 = 0,3, soit 30 %. Pour prendre t % d’une quantité, multiplie-la par t/100.

Attention au mot « parmi ». Si 40 % des élèves d’un groupe sont internes et que 25 % de ces internes suivent un atelier, la part des élèves à la fois internes et inscrits à l’atelier représente 0,40 × 0,25 = 0,10, soit 10 % du groupe. Le second pourcentage porte sur un sous-ensemble.

Appliquer et calculer une évolution

Une hausse de t % correspond au coefficient multiplicateur 1 + t/100 ; une baisse de t % au coefficient 1 − t/100, avec t positif dans ces deux formulations. Une hausse de 30 % multiplie donc la valeur par 1,3, et une baisse de 30 % par 0,7.

Le taux d’évolution est (valeur finale − valeur initiale) ÷ valeur initiale, lorsque la valeur initiale n’est pas nulle. De 60 € à 45 €, on obtient −15/60 = −0,25, soit −25 %. Le dénominateur est le prix de départ, pas le prix d’arrivée.

Enchaîner des variations et retrouver un prix initial

Pour des évolutions successives, multiplie les coefficients. Une hausse de 20 % suivie d’une baisse de 20 % donne 1,20 × 0,80 = 0,96 : la baisse globale est de 4 %. La deuxième évolution ne porte plus sur la même base que la première.

Pour revenir en arrière, divise par le coefficient appliqué. Un article vendu 64 € après une réduction de 20 % coûtait 64 ÷ 0,8 = 80 €. Le passage inverse de 64 € à 80 € représente une hausse de 25 %. Une évolution réciproque n’est donc généralement pas obtenue en changeant seulement le signe du pourcentage.

Distinguer pourcentage, points et indice

Un taux qui passe de 20 % à 25 % augmente de 5 points de pourcentage. Relativement à sa valeur initiale, la hausse est de 5/20 = 25 %. Pour un indice base 100, l’indice 115 correspond à une hausse de 15 % par rapport à la base. Passer ensuite de l’indice 115 à 120 représente une hausse de 5/115, et non de 5 %.

Fonctions et lectures graphiques

Distinguer image et antécédent

Dans l’égalité f(2) = 7, 7 est l’image de 2 et 2 est un antécédent de 7. Calculer une image consiste à remplacer x dans l’expression de f. Chercher les antécédents de 7 consiste à résoudre f(x) = 7. Une valeur peut avoir plusieurs antécédents, un seul ou aucun dans l’ensemble de définition considéré.

Par exemple, pour f(x) = x² définie sur les réels, 4 a deux antécédents : −2 et 2. En revanche, −1 n’en a aucun, car un carré réel n’est jamais négatif.

Reconnaître une fonction affine

Une fonction affine s’écrit f(x) = ax + b. Le nombre a est son coefficient directeur, et b = f(0) son ordonnée à l’origine. Si l’on sait que f est affine, avec f(0) = 3 et f(2) = 7, alors a = (7 − 3)/(2 − 0) = 2 et f(x) = 2x + 3.

Pour deux points A et B d’abscisses différentes, le coefficient directeur de la droite (AB) est (y_B − y_A)/(x_B − x_A). Conserve le même ordre dans les deux différences. Si les abscisses sont égales, la droite est verticale et cette formule ne donne pas de coefficient directeur. Reprends au besoin les fonctions affines en seconde.

Lire un graphique sans confondre les axes

1. Repère les axes et les graduations. Un carreau ne représente pas nécessairement une unité ; les deux axes peuvent avoir des échelles différentes.
2. Pour une image, pars de l’abscisse donnée, rejoins la courbe verticalement, puis lis l’ordonnée.
3. Pour des antécédents, pars de l’ordonnée demandée, cherche les intersections avec la courbe, puis lis toutes les abscisses correspondantes.

Résoudre graphiquement f(x) > 2 revient à repérer les abscisses pour lesquelles la courbe est au-dessus de la droite horizontale d’ordonnée 2. Respecte les bornes incluses ou exclues. Si la lecture ne permet qu’une estimation, donne une valeur approchée au lieu d’affirmer une égalité exacte.

Le signe et les variations répondent à deux questions différentes. Une fonction positive peut être décroissante : sur l’intervalle [0 ; 2], f(x) = −x + 3 descend de 3 à 1 tout en restant au-dessus de zéro.

Statistiques et probabilités

Moyenne, médiane et étendue

La moyenne est la somme des valeurs divisée par l’effectif total. Si des effectifs ou des coefficients sont fournis, tiens compte de leur poids : trois notes de coefficient 1 et une note de coefficient 2 représentent cinq unités de coefficient, pas quatre.

Pour trouver la médiane, ordonne les valeurs en tenant compte des répétitions. Avec neuf valeurs, la cinquième est une médiane. Avec un effectif pair, on retient habituellement la moyenne des deux valeurs centrales. Une médiane partage la série de sorte qu’au moins la moitié des valeurs lui sont inférieures ou égales et au moins la moitié supérieures ou égales.

L’étendue vaut maximum − minimum. Elle ne donne pas la moyenne, et la valeur la plus fréquente, appelée mode, n’est pas nécessairement la médiane. Devant un diagramme, vérifie aussi la légende, les unités et l’origine des axes avant de comparer des hauteurs.

Probabilités simples et événement contraire

Lorsque les issues sont équiprobables, P(A) = nombre d’issues favorables ÷ nombre total d’issues. Pour un dé équilibré à six faces, les issues paires sont 2, 4 et 6 : leur probabilité vaut 3/6 = 1/2. Cette formule par comptage suppose bien que les issues élémentaires ont la même probabilité.

L’événement contraire de A se réalise lorsque A ne se réalise pas. Sa probabilité est 1 − P(A). Si P(A) = 0,35, celle de son contraire vaut 0,65. Le résultat doit toujours appartenir à l’intervalle [0 ; 1].

En première : choisir le bon groupe de référence

P_A(B) signifie la probabilité de B sachant A, avec P(A) > 0. Dans un tableau d’effectifs, tu te limites au groupe A pour déterminer le total de référence. P(A ∩ B) porte, elle, sur la réalisation simultanée de A et de B dans l’ensemble de la population étudiée.

Sur un arbre pondéré, multiplie les probabilités des branches d’un même chemin. La relation P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B) ne suppose pas l’indépendance. Pour additionner des chemins, vérifie qu’ils décrivent des cas disjoints. Pour approfondir, la fiche de probabilités conditionnelles en première spécialité développe ces méthodes.

Une méthode d’entraînement

Tu peux commencer par des séances de dix à quinze minutes, puis adapter leur durée à tes besoins. C’est un repère d’organisation, pas une durée officielle ni une garantie de résultat. Cherche d’abord à expliquer tes réponses ; introduis le chronomètre lorsque les procédures deviennent fiables.

1. Fais un diagnostic sans aide. Choisis quelques questions de familles différentes. Distingue les réponses justes, les hésitations et les erreurs.
2. Identifie la cause de chaque erreur. Une formule oubliée, une mauvaise lecture et une erreur de signe ne se corrigent pas de la même façon.
3. Reprends un exemple expliqué. Cache ensuite la correction et refais le calcul. Change les nombres pour vérifier que tu as compris la méthode.
4. Mélange les thèmes. Alterne fraction, pourcentage et fonction : tu dois aussi apprendre à reconnaître l’outil adapté.
5. Reviens sur les questions difficiles. Refais-les lors d’une séance ultérieure, sans t’appuyer uniquement sur le souvenir du résultat.

Pendant la recherche, travaille sans calculatrice. Après avoir rédigé ton raisonnement, un outil peut servir à contrôler un calcul, mais il ne remplace pas l’analyse de l’erreur. Pour organiser ce travail avec tes autres matières, consulte les conseils pour planifier tes révisions du bac.

Les erreurs à éviter

Dans ton carnet d’erreurs, écris une règle courte et un exemple corrigé. « Attention aux signes » est trop vague ; « quand je divise une inégalité par −2, j’inverse son sens » indique une action précise.

20 exercices corrigés

Les exercices 1 à 19 consolident les bases et leur réemploi au lycée. Le dernier aborde les probabilités conditionnelles de première. Certaines notions se travaillent à des moments différents selon ta classe : utilise les corrections comme appui. Les situations chiffrées sont construites pour l’entraînement.

Réponds sur une feuille avant de lire le corrigé. Ces 20 exercices autonomes sont distincts des 12 questions du QCM de révision présenté ensuite.

QCM, textes à trous et cartes

Ce module comprend 12 questions de QCM, 12 phrases à compléter et 12 cartes de révision. Le QCM comporte une seule bonne réponse par question. Pour t’entraîner aux réponses courtes, cherche d’abord ton résultat en cachant les choix, puis explique la méthode à voix haute ou au brouillon.

Questions fréquentes