Produit scalaire en première : cours et exercices corrigés

Définition du produit scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel, qui peut être positif, nul ou négatif. Il permet de relier des calculs à des propriétés géométriques : perpendicularité, angles, longueurs, équations de droites et de cercles. Contrairement à la somme de deux vecteurs, son résultat n’est pas un vecteur.

Dans cette fiche, les symboles de vecteurs sont écrits en gras : u, v ou AB. La notation AB sans gras désigne la distance entre A et B, et ‖AB‖ = AB. Cette distinction est essentielle : AB · AC est un produit scalaire, tandis que AB × AC est un produit de longueurs.

Pour deux vecteurs non nuls u et v, si θ est leur angle non orienté, compris entre 0° et 180°, alors :

Pour visualiser l’angle de deux vecteurs représentés à des endroits différents, translate-les pour les faire partir d’un même point. Leur longueur, leur direction et leur sens sont conservés. L’angle dépend du sens des flèches : retourner un seul vecteur change le signe du produit scalaire.

Le produit scalaire appartient au programme de première spécialité mathématiques. Il s’appuie sur les vecteurs et la géométrie repérée. Le travail présenté ici reste dans le plan ; son prolongement en terminale est abordé dans la fiche de géométrie dans l’espace.

Les quatre méthodes de calcul

Il n’existe pas une formule à utiliser systématiquement. Commence par repérer les informations disponibles : coordonnées, longueurs, angle ou projection. Les méthodes suivantes donnent le même résultat lorsqu’elles sont appliquées aux mêmes vecteurs.

Avec les coordonnées : vérifier le repère

Un repère orthonormé possède deux axes perpendiculaires et des vecteurs de base de norme 1. C’est dans ce cadre que l’on applique directement xx′ + yy′. La seule présence d’un repère ne suffit pas : dans une base quelconque, cette expression n’est pas la formule générale du produit scalaire.

Pour u(2 ; 5) et v(3 ; −1), on calcule u · v = 2 × 3 + 5 × (−1) = 1. On multiplie les abscisses entre elles et les ordonnées entre elles, puis on additionne. Le calcul croisé xy′ − yx′ correspond au déterminant, pas au produit scalaire.

Si l’énoncé donne des points, calcule d’abord les coordonnées des vecteurs : AB = (x_B − x_A ; y_B − y_A). Soustrais toujours les coordonnées de l’origine à celles de l’extrémité. Pour la norme, utilise ‖u‖ = √(x² + y²). Attention : x² + y² est le carré de la norme.

Le produit scalaire permet aussi de retrouver les coordonnées. Dans une base orthonormée (i ; j), si u = xi + yj, alors u · i = x et u · j = y. En effet, chaque vecteur de base a un carré scalaire égal à 1 et leur produit scalaire mutuel est nul.

Avec un angle connu

Deux vecteurs de normes 4 et 3 formant un angle de 60° donnent un produit scalaire de 4 × 3 × cos 60° = 6. Si l’angle était 120°, le résultat serait −6. Les normes sont positives : c’est le cosinus qui détermine ici le signe.

Les valeurs remarquables évitent souvent un calcul approché : cos 0° = 1, cos 30° = √3/2, cos 45° = √2/2, cos 60° = 1/2 et cos 90° = 0. La fiche de trigonométrie au lycée permet de revoir le cercle, les radians et ces valeurs.

Avec des normes ou les trois côtés d’un triangle

Une seconde forme, également appelée identité de polarisation, utilise la somme des vecteurs :

u · v = (‖u + v‖² − ‖u‖² − ‖v‖²)/2.

Dans un triangle ABC, la formule avec la différence est particulièrement pratique. Comme AC − AB = BC, on obtient :

AB · AC = (AB² + AC² − BC²)/2.

Par exemple, si AB = 5, AC = 4 et BC = 3, le produit scalaire vaut (25 + 16 − 9)/2 = 16. Il n’est pas nécessaire de calculer d’abord l’angle en A. Les deux longueurs qui partent du sommet commun portent un signe plus ; le côté opposé porte un signe moins.

Projection orthogonale et signe

Soient A et B distincts, et H le projeté orthogonal de C sur la droite (AB). Cela signifie que H appartient à (AB) et que, lorsque C ≠ H, la droite (CH) est perpendiculaire à (AB). On oriente la droite de A vers B et on appelle h la distance algébrique de A à H.

Si AB = 4 et AH = 2 avec H placé derrière A, dans le sens opposé à B, le résultat est 4 × (−2) = −8. Si H se trouve au-delà de B, le signe reste positif : ce n’est pas l’appartenance au segment [AB] qui compte, mais le sens de A vers H.

Pourquoi la méthode fonctionne-t-elle ? La relation de Chasles donne AC = AH + HC. La composante HC est orthogonale à AB, donc sa contribution est nulle. Il reste AB · AH, calculé avec deux vecteurs colinéaires, de même sens ou de sens opposés.

Propriétés et développements

Symétrie et bilinéarité

Le produit scalaire est symétrique : u · v = v · u. Il est aussi distributif par rapport à l’addition des vecteurs et compatible avec la multiplication par un réel. Pour tous réels k et ℓ :

• (u + v) · w = u · w + v · w.
• u · (v + w) = u · v + u · w.
• (ku) · (ℓv) = kℓ(u · v).
• u · u = ‖u‖².

Ces propriétés permettent de développer une expression avant de remplacer les produits scalaires connus par leurs valeurs. Par exemple, (2u − v) · (u + 3v) = 2‖u‖² + 5(u · v) − 3‖v‖².

Changer le sens d’un seul vecteur change le signe : BA · AC = −AB · AC. Changer le sens des deux vecteurs le conserve : (−u) · (−v) = u · v.

Développer le carré d’une norme

Les identités suivantes sont valables pour tous vecteurs du plan :

• ‖u + v‖² = ‖u‖² + 2(u · v) + ‖v‖².
• ‖u − v‖² = ‖u‖² − 2(u · v) + ‖v‖².

Pour retrouver la première, écris ‖u + v‖² = (u + v) · (u + v), puis développe. Les deux termes croisés sont égaux grâce à la symétrie. La formule avec une différence se démontre de la même façon, en conservant les signes moins.

Ne remplace pas ‖u + v‖ par ‖u‖ + ‖v‖ sans justification. Cette égalité n’est vraie que lorsque les deux vecteurs non nuls ont même direction et même sens, ou lorsque l’un d’eux est nul. Dans le cas général, calcule d’abord le carré de la norme, puis prends la racine positive.

Démontrer une orthogonalité

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. Le vecteur nul est ainsi orthogonal à tout vecteur. Pour en déduire que deux droites sont perpendiculaires, il faut choisir des vecteurs directeurs non nuls : un vecteur nul ne définit pas de direction de droite.

Dans une base orthonormée, u(1 ; 2) et v(−4 ; 2) vérifient u · v = −4 + 4 = 0. Ils sont donc orthogonaux. Aucun calcul d’angle n’est nécessaire.

Montrer qu’un triangle est rectangle

1. Repère le sommet où tu veux prouver l’angle droit. Pour le sommet A, choisis AB et AC.
2. Vérifie que ces vecteurs sont non nuls et calcule leurs coordonnées, ou choisis une autre formule adaptée aux données.
3. Calcule le produit scalaire en détaillant les signes.
4. S’il vaut 0, conclus que (AB) et (AC) sont perpendiculaires et que le triangle est rectangle en A.

Si tu trouves un produit scalaire non nul, tu peux seulement conclure que l’angle considéré n’est pas droit. Le triangle peut éventuellement être rectangle à un autre sommet. Par ailleurs, u · v = 0 n’implique pas que l’un des vecteurs soit nul : la règle du produit nul pour deux nombres ne se transpose pas ainsi aux vecteurs.

Angles et formule d’Al-Kashi

Calculer un angle à partir du produit scalaire

Pour deux vecteurs non nuls, isole le cosinus :

cos θ = (u · v)/(‖u‖ × ‖v‖).

Calcule séparément le numérateur et les deux normes. Conserve les valeurs exactes aussi longtemps que possible. Si le quotient vaut √2/2, l’angle non orienté vaut 45° ; s’il vaut −1/2, il vaut 120°. Pour une autre valeur, une approximation peut être obtenue avec la fonction arccos lorsque l’usage de la calculatrice est autorisé.

Un cosinus appartient à [−1 ; 1]. Un quotient égal à 1,4 révèle donc une erreur de calcul ou des données incompatibles. Vérifie en particulier que tu as divisé par le produit des normes, et non par leur somme. Pour un résultat en degrés, utilise le mode degrés de la calculatrice.

Al-Kashi : une longueur ou un angle dans un triangle

Dans tout triangle ABC, la formule d’Al-Kashi s’écrit :

Pour la démontrer, pars de BC = AC − AB. Le développement de ‖AC − AB‖² donne AC² + AB² − 2(AB · AC). Remplace ensuite le produit scalaire par AB × AC × cos(BÂC) : tu obtiens la formule.

Lorsque BÂC = 90°, le cosinus vaut 0 et on retrouve le théorème de Pythagore. Lorsque AB = 3, AC = 5 et BÂC = 60°, BC² = 9 + 25 − 30 × 1/2 = 19, donc BC = √19.

Si les trois côtés sont connus, tu peux isoler le cosinus : cos(BÂC) = (AB² + AC² − BC²)/(2 × AB × AC). Ne confonds pas cette expression avec celle du produit scalaire : pour obtenir le cosinus, il faut encore diviser par AB × AC.

Droites et vecteurs normaux

Déterminer une équation cartésienne

Un vecteur normal à une droite est un vecteur non nul orthogonal à ses vecteurs directeurs. Dans un repère orthonormé, si la droite passe par A(x_A ; y_A) et admet n(a ; b) pour vecteur normal, alors un point M(x ; y) lui appartient exactement lorsque :

n · AM = 0, soit a(x − x_A) + b(y − y_A) = 0.

En développant, on obtient ax + by + c = 0, avec a et b non tous deux nuls. Par exemple, la droite passant par A(2 ; −1) et de vecteur normal n(3 ; 2) a pour équation 3(x − 2) + 2(y + 1) = 0, soit 3x + 2y − 4 = 0.

Un vecteur directeur possible est d(−b ; a), car a(−b) + ba = 0. Il ne faut pas confondre ce vecteur avec le vecteur normal (a ; b). Une équation cartésienne permet aussi de décrire une droite verticale ; la forme y = mx + p, étudiée avec les fonctions affines, ne convient qu’aux droites non verticales.

Trouver le projeté orthogonal d’un point

Pour projeter C sur une droite d, cherche un point H qui vérifie deux conditions : H appartient à d et le vecteur CH est orthogonal à un vecteur directeur de d. En coordonnées, ces deux conditions donnent deux équations à résoudre.

Une autre méthode utilise un vecteur normal n de d : écris CH = tn, puis impose que H appartienne à d. Si C est déjà sur d, le résultat est H = C. Dans tous les cas, vérifie les coordonnées obtenues dans l’équation de la droite.

Cercles, diamètre et tangente

Équation d’un cercle

Dans un repère orthonormé, le cercle de centre I(a ; b) et de rayon R > 0 a pour équation (x − a)² + (y − b)² = R². Cette équation traduit IM² = R². Le centre se lit en tenant compte des signes : (x − 2)² + (y + 3)² = 25 décrit le cercle de centre (2 ; −3) et de rayon 5.

Pour reconnaître ce cercle sous la forme x² + y² − 4x + 6y − 12 = 0, complète les carrés : x² − 4x = (x − 2)² − 4 et y² + 6y = (y + 3)² − 9. On retrouve (x − 2)² + (y + 3)² = 25. Ce calcul utilise les identités remarquables également mobilisées dans le cours sur le second degré.

Si une transformation conduit à une somme de deux carrés égale à un nombre négatif, aucun point réel ne convient. Si ce nombre est nul, l’ensemble se réduit à un point : il ne s’agit pas d’un cercle de rayon strictement positif.

Cercle de diamètre [AB]

Pour deux points A et B distincts, un point M appartient au cercle de diamètre [AB] si et seulement si MA · MB = 0. Pour M distinct de A et B, cela traduit un angle AMB droit. Les points A et B appartiennent aussi au cercle : l’un des deux vecteurs est alors nul, et le produit scalaire reste égal à 0.

Cette caractérisation peut se démontrer sans exclure les extrémités. Si I est le milieu de [AB], écris MA = MI + IA et MB = MI + IB. Comme IB = −IA, les termes croisés s’annulent et :

MA · MB = MI² − IA² = MI² − AB²/4.

Le produit est donc nul exactement lorsque MI = AB/2, ce qui définit le cercle de centre I et de rayon AB/2. Pour interpréter davantage cette identité, son signe est négatif à l’intérieur du disque et positif à l’extérieur.

Équation d’une tangente

Si T appartient à un cercle de centre I, la tangente en T est perpendiculaire au rayon [IT]. Le vecteur IT, non nul, est donc normal à cette tangente. Son équation se déduit de IT · TM = 0.

Vérifie d’abord que T est bien sur le cercle. Si T est distinct de I mais n’appartient pas au cercle, l’équation obtenue définit une droite passant par T et perpendiculaire à (IT), mais pas une tangente au cercle.

Méthode et erreurs fréquentes

Avant de calculer, nomme le résultat recherché : un nombre, un angle, une longueur ou une équation. Choisis ensuite des vecteurs adaptés et relève les informations disponibles. Une figure à main levée peut aider à repérer le sommet d’un angle ou le signe d’une projection, sans remplacer la démonstration.

• Ne confonds pas ‖u‖ et ‖u‖² : pour u(3 ; 4), ils valent 5 et 25.
• Ne supprime pas le signe d’une coordonnée négative ou d’une projection.
• Ne suppose pas qu’un produit scalaire nul impose un vecteur nul.
• Ne « simplifie » pas par un vecteur : u · v = u · w n’impose pas v = w.
• Ne déduis pas une longueur négative : une racine de carré de norme est positive ou nulle.
• Dans Al-Kashi, associe bien l’angle au côté opposé et aux deux côtés qui l’encadrent.

Termine par un contrôle géométrique : le signe correspond-il à l’angle ? Le cosinus est-il entre −1 et 1 ? Le point appartient-il à la droite annoncée ? Une équation cartésienne peut être multipliée par un réel non nul sans changer la droite ; deux écritures différentes ne sont donc pas nécessairement deux réponses différentes.

20 exercices corrigés

Les exercices 1 à 9 travaillent le choix des formules ; les exercices 10 à 16 développent les calculs et le raisonnement ; les exercices 17 à 20 portent sur les droites et les cercles. Tous les calculs de coordonnées se font dans un repère orthonormé. Les corrections expliquent la méthode : cherche d’abord sur une feuille avant de les lire.

Sauf pour l’approximation d’angle explicitement demandée à l’exercice 16, les résultats peuvent être obtenus sans calculatrice.

QCM, textes à trous et cartes

Révise avec 12 QCM à réponse unique, 12 phrases à compléter et 12 cartes. Dans tous les items utilisant des coordonnées, la base est orthonormée. Pour les réponses négatives à saisir, utilise le signe moins du clavier.

Questions fréquentes