Identités Remarquables

Cours 3e · Les 3 formules à connaître par cœur · Développement et factorisation · Exercices brevet

3e
Niveau
3
Formules
⭐⭐⭐⭐⭐
Fréquence brevet
DNB
Épreuve
📌 Pourquoi « remarquables » ? Ces trois formules reviennent si souvent qu’elles méritent d’être mémorisées. Elles permettent de développer ou factoriser rapidement des expressions sans effectuer tous les calculs. Elles tombent systématiquement au brevet.

1. Les 3 identités remarquables

Identité 1

(a + b)² = a² + 2ab + b²
Carré d’une somme = carré du 1er + deux fois le produit + carré du 2e
Identité 2

(a − b)² = a² − 2ab + b²
Carré d’une différence = carré du 1er − deux fois le produit + carré du 2e
Identité 3

(a + b)(a − b) = a² − b²
Produit d’une somme et d’une différence = différence de deux carrés
💡 Moyen mnémotechnique : les formules 1 et 2 ont 3 termes, la formule 3 en a 2. La formule 3 s’appelle aussi « différence de carrés » — elle est précieuse pour factoriser vite.

2. Développement avec les identités

📋 Méthode — Développer avec une identité remarquable
1
Identifier quelle identité s’applique (forme (a+b)², (a−b)², ou (a+b)(a−b)).
2
Identifier a et b dans l’expression donnée.
3
Remplacer dans la formule et calculer chaque terme.
4
Simplifier si possible.

Identité 1 — (a + b)²

Exemples

(x + 3)² → a = x, b = 3
= x² + 2×x×3 + 3² = x² + 6x + 9

(2x + 5)² → a = 2x, b = 5
= (2x)² + 2×2x×5 + 5² = 4x² + 20x + 25

(3 + √2)² → a = 3, b = √2
= 9 + 2×3×√2 + (√2)² = 9 + 6√2 + 2 = 11 + 6√2

Identité 2 — (a − b)²

Exemples

(x − 4)² → a = x, b = 4
= x² − 2×x×4 + 4² = x² − 8x + 16

(3x − 2)² → a = 3x, b = 2
= (3x)² − 2×3x×2 + 2² = 9x² − 12x + 4

(5 − √3)² → a = 5, b = √3
= 25 − 2×5×√3 + 3 = 28 − 10√3

Identité 3 — (a + b)(a − b)

Exemples

(x + 5)(x − 5) → a = x, b = 5
= x² − 5² = x² − 25

(2x + 3)(2x − 3) → a = 2x, b = 3
= (2x)² − 3² = 4x² − 9

(√5 + 1)(√5 − 1) → a = √5, b = 1
= (√5)² − 1² = 5 − 1 = 4

3. Factorisation avec les identités

On peut aussi utiliser les identités dans le sens inverse : reconnaître une forme développée et la factoriser.

→ Développer
(a+b)² → a²+2ab+b²
On part de la forme factorisée et on développe
← Factoriser
a²+2ab+b² → (a+b)²
On reconnaît la forme développée et on factorise
📋 Méthode — Reconnaître et factoriser
1
Vérifier que l’expression a la forme a² ± 2ab + b² ou a² − b².
2
Identifier a et b : a = √(premier terme), b = √(dernier terme).
3
Vérifier que le terme du milieu vaut bien 2ab (ou −2ab).
4
Écrire la forme factorisée.
Exemples de factorisation

x² + 10x + 25
a = x (car √x²=x), b = 5 (car √25=5)
Vérif : 2ab = 2×x×5 = 10x ✓
= (x + 5)²

4x² − 12x + 9
a = 2x (car √(4x²)=2x), b = 3 (car √9=3)
Vérif : 2ab = 2×2x×3 = 12x ✓ signe − → identité 2
= (2x − 3)²

x² − 16
a² − b² → a = x, b = 4 (car √16=4)
= (x + 4)(x − 4)

9x² − 25
a = 3x (car √(9x²)=3x), b = 5
= (3x + 5)(3x − 5)

4. Vérifier son résultat

Une astuce rapide : remplacer x par une valeur numérique (ex : x = 1 ou x = 2) dans l’expression de départ et dans le résultat. Si les deux donnent le même nombre, c’est correct.

Vérification — (x+3)² = x²+6x+9

Pour x = 2 :
(2+3)² = 5² = 25
2² + 6×2 + 9 = 4 + 12 + 9 = 25 ✓

Vérification — (x+5)(x−5) = x²−25

Pour x = 3 :
(3+5)(3−5) = 8×(−2) = −16
3² − 25 = 9 − 25 = −16 ✓

5. Applications au calcul numérique

Les identités remarquables permettent aussi des calculs mentaux rapides.

Calcul rapide avec identités

99² = ?
99 = (100 − 1) → identité 2 : (100−1)² = 100² − 2×100×1 + 1² = 10000 − 200 + 1 = 9801

101² = ?
101 = (100 + 1) → identité 1 : (100+1)² = 10000 + 200 + 1 = 10201

98 × 102 = ?
= (100 − 2)(100 + 2) → identité 3 : 100² − 2² = 10000 − 4 = 9996

6. Tableau récapitulatif

IdentitéForme factoriséeForme développée
1 — Carré somme(a + b)²a² + 2ab + b²
2 — Carré différence(a − b)²a² − 2ab + b²
3 — Différence de carrés(a + b)(a − b)a² − b²

7. Erreurs classiques

❌ Faux

(x + 3)² = x² + 9
On a oublié le terme du milieu 2ab = 2×x×3 = 6x.

✅ Correct

(x + 3)² = x² + 6x + 9
3 termes : a², 2ab, b².

❌ Faux

(x − 4)² = x² − 16
Ce n’est pas la 3e identité. (x−4)² a 3 termes, pas 2.

✅ Correct

(x − 4)² = x² − 8x + 16
Identité 2 : a²−2ab+b² = x²−8x+16.

❌ Faux

x² − 9 = (x−3)²
x²−9 = x²−3² → c’est la 3e identité, pas la 2e.

✅ Correct

x² − 9 = (x+3)(x−3)
Différence de carrés : a²−b² = (a+b)(a−b).

❌ Faux

(2x + 3)² = 2x² + 12x + 9
a = 2x → a² = (2x)² = 4x², pas 2x².

✅ Correct

(2x + 3)² = 4x² + 12x + 9
(2x)² = 4x². Bien carrer tout le terme a.

8. Exercices corrigés

Exercice 1 — Développer (3e)
Développer et réduire : a) (x+7)²   b) (x−5)²   c) (x+3)(x−3)   d) (3x+1)²
a) x² + 14x + 49
b) x² − 10x + 25
c) x² − 9
d) 9x² + 6x + 1
Exercice 2 — Factoriser (3e)
Factoriser : a) x² + 8x + 16   b) x² − 6x + 9   c) x² − 49   d) 4x² − 20x + 25
a) a=x, b=4, 2ab=8x ✓ → (x+4)²
b) a=x, b=3, 2ab=6x ✓ → (x−3)²
c) a=x, b=7 → (x+7)(x−7)
d) a=2x, b=5, 2ab=20x ✓ → (2x−5)²
Exercice 3 — Calcul numérique (3e)
En utilisant une identité remarquable, calculer sans calculatrice : a) 52²   b) 49 × 51
a) 52 = 50+2 → (50+2)² = 2500 + 200 + 4 = 2704
b) 49×51 = (50−1)(50+1) = 50²−1 = 2500−1 = 2499
Exercice 4 — Type brevet (3e)
Montrer que (n+1)² − (n−1)² = 4n pour tout entier n.
(n+1)² = n² + 2n + 1
(n−1)² = n² − 2n + 1
(n+1)² − (n−1)² = (n²+2n+1) − (n²−2n+1)
= n² + 2n + 1 − n² + 2n − 1
= 4n ✓

Questions fréquentes

Quelles sont les 3 identités remarquables ?
(a+b)²=a²+2ab+b² · (a−b)²=a²−2ab+b² · (a+b)(a−b)=a²−b²
Pourquoi (x+3)² ≠ x²+9 ?
On oublie le terme 2ab. (x+3)² = x²+6x+9. Il y a toujours 3 termes dans les identités 1 et 2.
Comment factoriser x²−25 ?
x²−25 = x²−5² → identité 3 → (x+5)(x−5).
Comment retenir les formules ?
Formule 1 : tout positif, 3 termes. Formule 2 : signe − au milieu, 3 termes. Formule 3 : deux facteurs → deux termes, les croisés s’annulent. Vérifier avec x=1.
Les identités tombent-elles au brevet ?
Oui, systématiquement — calcul littéral, factorisation, démonstrations. Entre 5 et 15 points selon les sujets.
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