Les Fonctions — Notions de Base

Cours complet 3e — image, antécédent, tableau de valeurs, représentation graphique

3e
Niveau
Fonctions
Thème
8
Sections
Brevet
Objectif
📚 NavigationHub MathsFonctions affinesProportionnalité

Section 01

Qu’est-ce qu’une fonction ?

Définition

Une fonction f est un procédé qui associe à chaque nombre x (appelé variable ou antécédent) un unique nombre f(x) (appelé image). On note f : x ↦ f(x), lire « f associe à x l’image f(x) ».

📘 Analogie : une fonction est comme une machine : on entre un nombre x, elle sort un seul résultat f(x). La même entrée donne toujours la même sortie.

f(x) = 2x + 3 : si x = 5, la machine sort 2×5+3 = 13.

Section 02

Image et antécédent

Définitions

— L’image de a par f est le nombre f(a) obtenu en remplaçant x par a.
— L’antécédent de b par f est tout nombre a tel que f(a) = b (on « remonte » vers x).

📝 Exemple — f(x) = 3x − 1

Image de 4 : f(4) = 3×4 − 1 = 11. L’image de 4 est 11.
Image de −2 : f(−2) = −6 − 1 = −7.
Image de 0 : f(0) = −1.

Antécédent de 8 : résoudre f(x) = 8 → 3x − 1 = 8 → 3x = 9 → x = 3. L’antécédent de 8 est 3.
Antécédent de 0 : 3x − 1 = 0 → x = 1/3.

💡 Un antécédent peut ne pas exister (si b n’est pas dans l’ensemble des images) ou en avoir plusieurs (pour des fonctions non linéaires). Une image est toujours unique.

Section 03

Tableau de valeurs

📘 Un tableau de valeurs donne des couples (x ; f(x)) pour différentes valeurs de x. Il permet de tracer la courbe représentative.
📝 Tableau pour f(x) = x² − 2x
x−2−101234
f(x)830−1038

Détail : f(−2) = 4+4 = 8, f(1) = 1−2 = −1, f(2) = 4−4 = 0.

Section 04

Représentation graphique — la courbe représentative

Définition

La courbe représentative (ou graphe) de f est l’ensemble des points de coordonnées (x ; f(x)) dans un repère orthogonal. Chaque point du graphe a pour abscisse x et pour ordonnée f(x).

📘 Lire un graphe :
— Image de a : tracer la verticale x = a, lire l’ordonnée du point d’intersection avec la courbe.
— Antécédent de b : tracer l’horizontale y = b, lire la ou les abscisses des points d’intersection.
— Résoudre f(x) = g(x) : trouver les abscisses des points d’intersection des deux courbes.

Section 05

Variations d’une fonction

Définitions

— f est croissante sur un intervalle si, quand x augmente, f(x) augmente.
— f est décroissante sur un intervalle si, quand x augmente, f(x) diminue.
— f est constante si f(x) ne change pas.

📘 Sur une courbe : croissante = monte de gauche à droite | décroissante = descend de gauche à droite.
📝 Exemple avec f(x) = x² − 2x (tableau ci-dessus)

De x = −2 à x = 1 : f(x) passe de 8 à −1 → décroissante sur ]−∞ ; 1] De x = 1 à x = 4 : f(x) passe de −1 à 8 → croissante sur [1 ; +∞[
Minimum en x = 1 : f(1) = −1.

Section 06

Fonctions définies par un tableau ou une formule

📝 Lire un tableau
x025810
f(x)37496

Image de 5 : f(5) = 4 | Antécédent de 7 : x = 2 | f est-elle croissante ? Non (elle monte puis descend).

Section 07

Exercices corrigés brevet

📝 Exercice 1

f(x) = 4x² − 3x + 1.
a) Calculer f(0), f(2), f(−1).
b) Résoudre f(x) = 1.

a) f(0) = 1 | f(2) = 16−6+1 = 11 | f(−1) = 4+3+1 = 8
b) 4x²−3x+1 = 1 → 4x²−3x = 0 → x(4x−3) = 0 → x = 0 ou x = 3/4

📝 Exercice 2 — lecture graphique

Sur la courbe de g, on lit : g(3) = 5, l’antécédent de 2 est x = 1 et x = 5, et g est décroissante sur [3 ; 7].
Questions types brevet : « Donner l’image de 3 par g » → 5. « Quels sont les antécédents de 2 ? » → 1 et 5.

Section 08

Questions fréquentes

Quelle différence entre image et antécédent ?
L’image va de x vers f(x) : on part de x et on calcule f(x). L’antécédent va dans l’autre sens : on connaît f(x) et on cherche x. Pour l’image, il y a un résultat unique. Pour l’antécédent, il peut y en avoir zéro, un ou plusieurs selon la fonction.
Comment reconnaître une fonction croissante sur un graphe ?
En regardant la courbe de gauche à droite : si elle monte (les y augmentent quand les x augmentent), la fonction est croissante. Si elle descend, elle est décroissante. Si elle est plate, elle est constante. Sur un tableau de valeurs : si les images augmentent quand les antécédents augmentent, la fonction est croissante.
📚 Autres cours maths collège

Hub MathsFonctions affinesProportionnalitéStatistiquesHub Collège