Les Inéquations du Premier Degré
Cours complet 3e — résoudre, représenter sur une droite numérique, applications
Section 01
Définition et symboles
Une inéquation est une inégalité contenant une inconnue. Résoudre une inéquation, c’est trouver l’ensemble des valeurs de x qui la vérifient. La solution est un intervalle, pas une valeur unique.
| Symbole | Se lit | Signification |
|---|---|---|
| < | strictement inférieur à | x < 3 : x peut être 2, 0, −5… mais pas 3 |
| ≤ | inférieur ou égal à | x ≤ 3 : x peut être 3, 2, 0… |
| > | strictement supérieur à | x > 3 : x peut être 4, 10… mais pas 3 |
| ≥ | supérieur ou égal à | x ≥ 3 : x peut être 3, 4, 10… |
Section 02
Règles de résolution
Si a < b et k < 0, alors ka > kb (le sens s’inverse !)
Exemple : 2 < 5, multiplier par −1 → −2 > −5 ✓
2x < 11 − 3
2x < 8
x < 4 (division par 2 > 0 : sens conservé)
Solution : x < 4 → intervalle ]−∞ ; 4[
−3x ≥ 7 − 1
−3x ≥ 6
x ≤ 6/(−3) (division par −3 < 0 : sens s’inverse !)
x ≤ −2
Solution : x ≤ −2 → intervalle ]−∞ ; −2]
Section 03
Notation et représentation
| Solution | Notation intervalle | Droite numérique |
|---|---|---|
| x < a | ]−∞ ; a[ | ← ──── ○ (cercle vide en a) |
| x ≤ a | ]−∞ ; a] | ← ──── ● (cercle plein en a) |
| x > a | ]a ; +∞[ | ○ ──── → |
| x ≥ a | [a ; +∞[ | ● ──── → |
| a < x < b | ]a ; b[ | ○ ──── ○ |
| a ≤ x ≤ b | [a ; b] | ● ──── ● |
Section 04
Inéquations avec parenthèses
6x − 3 > 2x + 8
4x > 11
x > 11/4 = 2,75
Solution : x > 2,75 → intervalle ]2,75 ; +∞[
Section 05
Applications — problèmes avec inéquations
Paul a 120 € d’économies. Il achète des livres à 8 € pièce. Combien peut-il en acheter au maximum ?
120 − 8x ≥ 0 → 8x ≤ 120 → x ≤ 15
Paul peut acheter au maximum 15 livres.
La température T (en °C) d’un four doit rester strictement inférieure à 200°C. On sait que T = 30 + 17t où t est le temps en minutes. Pendant combien de temps peut-on chauffer ?
30 + 17t < 200 → 17t < 170 → t < 10
Moins de 10 minutes.
Section 06
Exercices corrigés brevet
Résoudre et représenter : 5 − 4x ≤ 3x + 12
5 − 12 ≤ 3x + 4x
−7 ≤ 7x
x ≥ −1
Solution : [−1 ; +∞[
Résoudre : (3x − 2)/4 > x/2 − 1
Multiplier par 4 : 3x − 2 > 2x − 4
x > −2
Solution : ]−2 ; +∞[
Section 07