Addition et Soustraction
de Fractions

Cours 6e – 5e · Même dénominateur, dénominateurs différents, PPCM · Exemples corrigés

6e–5e
Niveau
2
Cas à maîtriser
⭐⭐⭐⭐
Fréquence brevet
DNB
Épreuve
📌 Rappel : Une fraction a/b représente a parties d’un tout découpé en b parties égales. Le nombre du haut s’appelle le numérateur, le nombre du bas le dénominateur. On ne peut additionner ou soustraire des fractions directement que si elles ont le même dénominateur.

1. Même dénominateur — la règle de base

Quand deux fractions ont le même dénominateur, l’addition ou la soustraction est immédiate : on additionne (ou soustrait) les numérateurs, et on garde le dénominateur.

📐 Règle
a/c + b/c = (a + b) / c
a/c − b/c = (a − b) / c

Le dénominateur ne change pas. On n’additionne JAMAIS les dénominateurs.

Exemples

Addition :
37 +
27 =
3 + 27 =
5/7

Soustraction :
811 −
311 =
8 − 311 =
5/11

❌ Erreur classique : 3/7 + 2/7 ≠ 5/14. On n’additionne JAMAIS les dénominateurs. Le dénominateur 7 reste 7.

2. Dénominateurs différents — mise au même dénominateur

Quand les fractions ont des dénominateurs différents, il faut d’abord les mettre au même dénominateur avant de pouvoir additionner ou soustraire. Il existe deux méthodes selon le niveau.

Méthode 1 — Dénominateur commun évident (6e)

Quand l’un des dénominateurs est un multiple de l’autre, on multiplie le numérateur et le dénominateur de la fraction plus petite pour obtenir le même dénominateur.

📋 Méthode pas à pas
1
Identifier quel dénominateur est le plus grand et si c’est un multiple de l’autre.
2
Trouver par combien multiplier le petit dénominateur pour obtenir le grand.
3
Multiplier le numérateur ET le dénominateur de la petite fraction par ce même nombre.
4
Additionner ou soustraire les numérateurs (les dénominateurs sont maintenant identiques).
5
Simplifier si possible le résultat.
Exemple — 1/3 + 1/6

6 est un multiple de 3 (6 = 3 × 2), donc le dénominateur commun est 6.

On transforme 1/3 : on multiplie numérateur ET dénominateur par 2 :
1/3 = (1×2)/(3×2) = 2/6

On peut maintenant additionner :
2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2 (après simplification par 3)

Méthode 2 — PPCM (5e, dénominateurs quelconques)

Quand aucun dénominateur n’est multiple de l’autre, on utilise le Plus Petit Commun Multiple (PPCM) des deux dénominateurs comme dénominateur commun.

📋 Méthode avec PPCM
1
Calculer le PPCM des deux dénominateurs (le plus petit multiple commun).
2
Pour chaque fraction : diviser le PPCM par son dénominateur, puis multiplier son numérateur par ce quotient.
3
Additionner ou soustraire les nouveaux numérateurs.
4
Simplifier si possible.
Exemple — 3/4 + 5/6

Étape 1 : PPCM(4, 6)
Multiples de 4 : 4, 8, 12, 16, 20, 24…
Multiples de 6 : 6, 12, 18, 24…
PPCM(4, 6) = 12

Étape 2 : transformer chaque fraction
3/4 → 12÷4 = 3 → on multiplie par 3 → 9/12
5/6 → 12÷6 = 2 → on multiplie par 2 → 10/12

Étape 3 : additionner
9/12 + 10/12 = 19/12 (fraction irréductible, on peut aussi écrire 1 et 7/12)

Exemple — Soustraction : 7/8 − 1/6

PPCM(8, 6) :
Multiples de 8 : 8, 16, 24, 32…
Multiples de 6 : 6, 12, 18, 24…
PPCM = 24

7/8 → 24÷8 = 3 → 21/24
1/6 → 24÷6 = 4 → 4/24

21/24 − 4/24 = 17/24

3. Additionner un entier et une fraction

Un nombre entier peut toujours s’écrire comme une fraction avec 1 au dénominateur : 3 = 3/1. Ensuite, on applique la méthode habituelle.

Exemple — 2 + 3/5

On écrit 2 = 10/5 (on multiplie numérateur et dénominateur par 5)

10/5 + 3/5 = 13/5

Vérification : 13/5 = 2,6 ✓ (car 2 + 0,6 = 2,6)

Exemple — 5 − 2/3

On écrit 5 = 15/3

15/3 − 2/3 = 13/3

Vérification : 13/3 ≈ 4,33 ✓ (car 5 − 0,67 ≈ 4,33)

4. Erreurs classiques à éviter

❌ Faux

1/3 + 1/4 = 2/7
On a additionné numérateurs ET dénominateurs. C’est faux.

✅ Correct

1/3 + 1/4 = 4/12 + 3/12 = 7/12
PPCM(3,4) = 12. On ramène chaque fraction à /12.

❌ Faux

3/5 − 1/5 = 2/0
On a soustrait les dénominateurs. Le dénominateur ne change jamais.

✅ Correct

3/5 − 1/5 = 2/5
Même dénominateur : on soustrait uniquement les numérateurs.

❌ Faux

2/3 + 1/2 = 3/6
On a bien mis au même dénominateur mais oublié de recalculer le numérateur de 2/3.

✅ Correct

2/3 = 4/6, donc 4/6 + 3/6 = 7/6
Quand on change le dénominateur, le numérateur change aussi.

5. Tableau de synthèse

SituationMéthodeExemple
Même dénominateurAdditionner/soustraire les numérateurs. Dénominateur inchangé.3/7 + 2/7 = 5/7
Un dénominateur est multiple de l’autreMultiplier la petite fraction pour obtenir le grand dénominateur.1/3 + 1/6 → 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2
Dénominateurs quelconquesCalculer le PPCM. Transformer chaque fraction. Additionner.3/4 + 5/6 → PPCM=12 → 9/12 + 10/12 = 19/12
Entier + fractionÉcrire l’entier avec le bon dénominateur puis additionner.2 + 3/5 = 10/5 + 3/5 = 13/5

6. Exercices corrigés

Exercice 1 — Même dénominateur (niveau 6e)
a) 2/9 + 5/9    b) 7/11 − 3/11    c) 1/8 + 4/8 − 2/8
a) 2/9 + 5/9 = 7/9
b) 7/11 − 3/11 = 4/11
c) 1/8 + 4/8 − 2/8 = (1+4−2)/8 = 3/8
Exercice 2 — Dénominateur commun évident (niveau 6e-5e)
a) 1/4 + 3/8    b) 5/6 − 1/3    c) 3/10 + 2/5
a) 1/4 = 2/8 → 2/8 + 3/8 = 5/8
b) 1/3 = 2/6 → 5/6 − 2/6 = 3/6 = 1/2
c) 2/5 = 4/10 → 3/10 + 4/10 = 7/10
Exercice 3 — PPCM requis (niveau 5e)
a) 1/3 + 1/4    b) 5/6 + 3/8    c) 7/9 − 1/6
a) PPCM(3,4) = 12 → 4/12 + 3/12 = 7/12
b) PPCM(6,8) = 24 → 20/24 + 9/24 = 29/24
c) PPCM(9,6) = 18 → 14/18 − 3/18 = 11/18
Exercice 4 — Problème (niveau 5e)
Emma mange 2/5 d’une pizza et son frère 1/3. Quelle fraction de la pizza ont-ils mangée au total ? Quelle fraction reste-t-il ?
PPCM(5,3) = 15
2/5 = 6/15  |  1/3 = 5/15
Total mangé : 6/15 + 5/15 = 11/15
Reste : 1 − 11/15 = 15/15 − 11/15 = 4/15 de pizza

Questions fréquentes

Comment additionner des fractions avec des dénominateurs différents ?
Il faut d’abord les mettre au même dénominateur en calculant le PPCM. On transforme chaque fraction pour qu’elle ait ce dénominateur commun, puis on additionne uniquement les numérateurs.
Peut-on additionner les dénominateurs ?
Non. C’est l’erreur la plus fréquente. 1/3 + 1/4 ≠ 2/7. Le bon résultat est 7/12. On n’additionne jamais les dénominateurs.
C’est quoi le PPCM ?
Le Plus Petit Commun Multiple : le plus petit nombre qui est multiple des deux dénominateurs. On le trouve en listant les multiples de chaque nombre jusqu’au premier commun. Ex : PPCM(4,6) = 12.
Comment simplifier une fraction après le calcul ?
On divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD. Ex : 6/9 → PGCD(6,9)=3 → 6/9 = 2/3.
Comment additionner un entier et une fraction ?
On écrit l’entier comme une fraction avec le bon dénominateur. Ex : 2 + 3/5 → 2 = 10/5 → 10/5 + 3/5 = 13/5.

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