Les Nombres Relatifs en 5ème : Cours Complet
Définition · Comparaison · Addition · Soustraction · Multiplication — Programme de mathématiques 5ème / 4ème
📌 En 5ème, on découvre les nombres relatifs — des nombres qui peuvent être positifs ou négatifs. Les températures en dessous de zéro, les altitudes sous le niveau de la mer, les dettes en argent : les nombres relatifs sont partout. Ce cours couvre les définitions, le repérage sur une droite graduée, les quatre opérations, avec des exercices corrigés et les erreurs fréquentes à éviter.
1. Définition et vocabulaire
Un nombre relatif est un nombre muni d’un signe (+ ou −) et d’une partie numérique appelée distance à zéro (ou valeur absolue).
| Terme | Définition | Exemple avec −7 |
|---|---|---|
| Signe | + (positif) ou − (négatif) | Le signe est − |
| Distance à zéro (valeur absolue) | La partie numérique, toujours positive | La distance à zéro est 7 |
| Opposé | Même distance à zéro, signe contraire | L’opposé de −7 est +7 |
Exemples concrets
| Situation | Nombre positif | Nombre négatif |
|---|---|---|
| Température | +15°C (au-dessus de zéro) | −5°C (en dessous de zéro) |
| Altitude | +3 000 m (au-dessus du niveau de la mer) | −400 m (mer Morte) |
| Argent | +50 € (avoir) | −30 € (dette) |
| Étage | +3 (3ème étage) | −2 (2ème sous-sol) |
✅ Convention : zéro n’est ni positif ni négatif. Les nombres positifs peuvent s’écrire avec ou sans le signe + (on écrit 5 ou +5).
2. Repérage sur la droite graduée
La droite graduée est une droite avec une origine (le point O, qui correspond à 0). Les nombres positifs sont à droite de O, les nombres négatifs à gauche.
Deux nombres opposés (comme +3 et −3) sont situés à égale distance de zéro, de part et d’autre. Ils sont symétriques par rapport à l’origine.
📖 Repérage dans un plan : en 5ème, on apprend aussi à repérer un point dans un plan à l’aide de deux axes (abscisse et ordonnée). Un point M se repère par ses coordonnées (x ; y) où x est l’abscisse et y l’ordonnée.
3. Comparer des nombres relatifs
| Règle | Exemple | Explication |
|---|---|---|
| Tout positif > tout négatif | +2 > −100 | Sur la droite, +2 est à droite de −100 |
| Entre deux positifs : le plus grand a la plus grande distance à zéro | +8 > +3 | 8 est plus loin de 0 vers la droite |
| Entre deux négatifs : le plus grand a la plus petite distance à zéro | −3 > −8 | −3 est plus proche de 0, donc plus à droite |
⚠️ Piège classique : −3 > −8 ! En négatif, plus la distance à zéro est grande, plus le nombre est petit. Pensez au thermomètre : −3°C est « moins froid » que −8°C.
4. Addition de nombres relatifs
Mêmes signes
Additionner les distances à zéro, garder le signe commun.
→ (+3) + (+5) = +8 · (−4) + (−7) = −11
Signes différents
Soustraire les distances à zéro, prendre le signe du plus grand.
→ (+7) + (−3) = +4 · (−9) + (+5) = −4
Exemples détaillés
| Calcul | Raisonnement | Résultat |
|---|---|---|
| (+12) + (−5) | Signes différents : 12 − 5 = 7, signe du + car 12 > 5 | +7 |
| (−8) + (−6) | Mêmes signes (−) : 8 + 6 = 14, on garde le − | −14 |
| (−3) + (+3) | Nombres opposés : leur somme est toujours 0 | 0 |
| (+2,5) + (−7,3) | Signes différents : 7,3 − 2,5 = 4,8, signe du − car 7,3 > 2,5 | −4,8 |
Pour aller plus loin : consultez notre cours dédié à l’addition et soustraction de nombres relatifs.
5. Soustraction de nombres relatifs
✅ Règle fondamentale : soustraire un nombre, c’est additionner son opposé.
a − b = a + (−b)
a − b = a + (−b)
| Calcul | Transformation | Résultat |
|---|---|---|
| (+5) − (+8) | (+5) + (−8) → signes différents, 8−5=3, signe − | −3 |
| (+3) − (−4) | (+3) + (+4) → mêmes signes, 3+4=7 | +7 |
| (−6) − (−2) | (−6) + (+2) → signes différents, 6−2=4, signe − | −4 |
| (−7) − (+3) | (−7) + (−3) → mêmes signes, 7+3=10, signe − | −10 |
📖 Moyen mnémotechnique : quand deux signes se suivent, on les « fusionne ». Deux signes identiques (++ ou −−) donnent +. Deux signes différents (+− ou −+) donnent −.
6. Multiplication et division
La règle des signes est la même pour la multiplication et la division :
| Signe du 1er | Signe du 2e | Signe du résultat | Exemple |
|---|---|---|---|
| + | + | + | (+3) × (+4) = +12 |
| + | − | − | (+3) × (−4) = −12 |
| − | + | − | (−3) × (+4) = −12 |
| − | − | + | (−3) × (−4) = +12 |
✅ Résumé : même signe → résultat positif. Signes différents → résultat négatif.
⚠️ Pour un produit de plusieurs facteurs : si le nombre de facteurs négatifs est pair, le résultat est positif. S’il est impair, le résultat est négatif. Par exemple, (−2) × (−3) × (−4) : 3 facteurs négatifs (impair) → résultat négatif : −24.
7. Exercices corrigés
Exercice 1 — Ranger des relatifs
Énoncé : Ranger dans l’ordre croissant : −7 ; +3 ; −1,5 ; 0 ; +0,5 ; −12.
Correction
−12 < −7 < −1,5 < 0 < +0,5 < +3
Exercice 2 — Additions
Énoncé : Calculer : a) (+8) + (−13) b) (−6) + (−9) c) (−4,5) + (+7,5)
Correction
a) Signes différents : 13 − 8 = 5, signe − → −5.
b) Mêmes signes : 6 + 9 = 15, signe − → −15.
c) Signes différents : 7,5 − 4,5 = 3, signe + → +3.
b) Mêmes signes : 6 + 9 = 15, signe − → −15.
c) Signes différents : 7,5 − 4,5 = 3, signe + → +3.
Exercice 3 — Soustractions
Énoncé : Calculer : a) (+5) − (+9) b) (−3) − (−8) c) (+4) − (−6)
Correction
a) (+5) + (−9) = −4.
b) (−3) + (+8) = +5.
c) (+4) + (+6) = +10.
b) (−3) + (+8) = +5.
c) (+4) + (+6) = +10.
Exercice 4 — Multiplications
Énoncé : Calculer : a) (−5) × (+4) b) (−3) × (−7) c) (−2) × (−3) × (−4)
Correction
a) Signes différents → −20.
b) Mêmes signes → +21.
c) 3 facteurs négatifs (impair) → négatif : 2 × 3 × 4 = 24 → −24.
b) Mêmes signes → +21.
c) 3 facteurs négatifs (impair) → négatif : 2 × 3 × 4 = 24 → −24.
Exercice 5 — Problème concret
Énoncé : La température à Moscou est de −15°C le matin. Elle monte de 8°C à midi, puis baisse de 5°C le soir. Quelle est la température le soir ?
Correction
Midi : (−15) + (+8) = −7°C.
Soir : (−7) + (−5) = −12°C.
Soir : (−7) + (−5) = −12°C.
8. Erreurs fréquentes à éviter
| Erreur | Pourquoi c’est faux | Bonne méthode |
|---|---|---|
| −3 < −8 car « 3 < 8 » | En négatif c’est l’inverse : plus la distance à zéro est grande, plus c’est petit | −3 > −8 |
| (+5) + (−3) = −8 | Signes différents : on soustrait, pas on additionne | (+5) + (−3) = +2 |
| (−3) − (−5) = −8 | Soustraire un négatif = additionner le positif | (−3) + (+5) = +2 |
| (−4) × (−3) = −12 | Deux négatifs multipliés donnent un positif | (−4) × (−3) = +12 |
| 0 est un nombre négatif | 0 n’est ni positif ni négatif | 0 est neutre |
9. L’essentiel à retenir
| Notion | Règle |
|---|---|
| Addition (mêmes signes) | Additionner les distances à zéro, garder le signe commun |
| Addition (signes différents) | Soustraire les distances à zéro, prendre le signe du plus grand |
| Soustraction | a − b = a + (opposé de b) |
| Multiplication / Division | Même signe → +, signes différents → − |
| Comparer deux négatifs | Le plus grand est celui le plus proche de zéro |
| Opposés | a + (−a) = 0 toujours |
Questions fréquentes sur les nombres relatifs
Pourquoi moins fois moins égale plus ?
C’est la règle qui garantit la cohérence des calculs. Si on accepte que (−3) × 0 = 0, et que 0 = (+5) + (−5), alors (−3) × [(+5) + (−5)] = 0, ce qui donne (−15) + (−3) × (−5) = 0, donc (−3) × (−5) = +15. C’est une conséquence logique de la distributivité.
Est-ce que zéro est positif ou négatif ?
Zéro n’est ni positif, ni négatif. C’est le seul nombre qui est à la fois son propre opposé et qui n’a pas de signe.
Quelle est la différence entre nombre relatif et nombre entier ?
Un nombre entier n’a pas de virgule : …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … Un nombre relatif peut aussi avoir des décimales : −3,5 ou +2,7. Tout nombre entier est un nombre relatif, mais pas l’inverse. Voir aussi le cours sur les nombres décimaux.
Comment calculer une somme de plusieurs nombres relatifs ?
Regrouper les positifs d’un côté et les négatifs de l’autre. Exemple : (+3) + (−5) + (+7) + (−2) = (3+7) + (−5−2) = (+10) + (−7) = +3.
Pourquoi soustraire un négatif revient à additionner ?
Soustraire (−5), c’est enlever une dette de 5. Enlever une dette, c’est gagner. Donc (−3) − (−5) = (−3) + (+5) = +2. Si votre compte est à −3 € et qu’on vous retire une dette de 5 €, vous passez à +2 €.
Qu’est-ce que la valeur absolue ?
La valeur absolue d’un nombre relatif est sa distance à zéro, toujours positive. |+7| = 7 et |−7| = 7. Deux nombres opposés ont la même valeur absolue.