Les Nombres Décimaux en 6ème : Cours Complet

Q: Quelle est la différence entre un nombre décimal et un nombre entier ?

Un nombre entier n'a pas de partie décimale (ex : 7, 42, 300). Un nombre décimal a une partie décimale avec un nombre fini de chiffres après la virgule (ex : 3,25). Tout nombre entier est un nombre décimal (7 = 7,0), mais l'inverse n'est pas vrai.

Q: Est-ce que 1/3 est un nombre décimal ?

Non. 1/3 = 0,333… avec un nombre infini de chiffres après la virgule. Ce n'est pas un nombre décimal car un nombre décimal doit avoir un nombre fini de décimales. On dit que c'est un nombre rationnel non décimal.

Q: Pourquoi 3,7 est plus grand que 3,12 ?

Parce qu'on compare les dixièmes : 7 dixièmes est supérieur à 1 dixième. Il ne faut pas comparer 7 et 12. Le bon réflexe est d'écrire 3,70 et 3,12 : 70 centièmes est supérieur à 12 centièmes.

Q: Comment multiplier un décimal par 0,1 ?

Multiplier par 0,1 revient à diviser par 10. On décale la virgule d'un rang vers la gauche. Par exemple : 45,3 × 0,1 = 4,53. De même, multiplier par 0,01 revient à diviser par 100 et multiplier par 0,001 revient à diviser par 1 000.

Q: Comment savoir si un nombre est divisible par 3 ?

On additionne tous ses chiffres. Si la somme est divisible par 3, le nombre l'est aussi. Exemple : 246 → 2 + 4 + 6 = 12 → 12 est divisible par 3 → 246 est divisible par 3. Cela fonctionne aussi pour la divisibilité par 9 (la somme doit être divisible par 9).

Q: Qu'est-ce qu'un ordre de grandeur ?

C'est une estimation rapide du résultat d'un calcul. On arrondit les nombres pour obtenir un calcul simple. Par exemple, l'ordre de grandeur de 49,7 × 3,2 est environ 50 × 3 = 150. Le résultat exact est 159,04. C'est utile pour vérifier qu'on n'a pas fait d'erreur de virgule.

Q: Peut-on ajouter des zéros après la virgule sans changer la valeur ?

Oui. 3,5 = 3,50 = 3,500. Ajouter des zéros à la fin de la partie décimale ne change rien à la valeur du nombre. C'est la technique utilisée pour comparer des nombres décimaux et pour poser les opérations.

Écriture · Comparaison · Arrondis · Les 4 opérations — Programme de mathématiques 6ème

Notions clés

Exercices corrigés

Niveau

⭐⭐⭐

Fréquence brevet

📌 Les nombres décimaux sont les nombres à virgule que nous utilisons au quotidien : prix en euros, mesures, notes sur 20… Savoir les écrire, les comparer et effectuer les quatre opérations (addition, soustraction, multiplication, division) est une compétence essentielle du programme de maths en 6ème. Ce cours couvre toutes les notions avec des exercices corrigés et les erreurs fréquentes à éviter.

📋 Sommaire du cours

Écriture et vocabulaire
Comparer et ranger
Arrondir et encadrer
Addition / Soustraction
Multiplication
Division
× et ÷ par 10, 100, 1000
Exercices corrigés
Erreurs fréquentes
L’essentiel
FAQ

1. Écriture et vocabulaire

Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule. Il se compose d’une partie entière (avant la virgule) et d’une partie décimale (après la virgule).

Position	Centaines	Dizaines	Unités	,	Dixièmes	Centièmes	Millièmes
Valeur	100	10	1	,	0,1	0,01	0,001
Exemple : 254,738	2	5	4	,	7	3	8

Le nombre 254,738 se lit « deux cent cinquante-quatre virgule sept cent trente-huit millièmes ». Sa partie entière est 254 et sa partie décimale est 0,738.

Plusieurs écritures possibles

Tout nombre décimal peut s’écrire en écriture décimale, en écriture fractionnaire, ou en décomposition.

Écriture décimale	Écriture fractionnaire	Décomposition
0,7	7/10	7 dixièmes
2,35	235/100 = 47/20	2 + 3/10 + 5/100
0,125	125/1000 = 1/8	1/10 + 2/100 + 5/1000
14,5	145/10 = 29/2	14 + 5/10

✅ Lien avec les fractions : tout nombre décimal peut s’écrire comme une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10 (10, 100, 1000…). Inversement, certaines fractions ne sont pas des nombres décimaux (comme 1/3 = 0,333…).

2. Comparer et ranger des nombres décimaux

Pour comparer deux nombres décimaux, on procède chiffre par chiffre, de gauche à droite, en commençant par la partie entière.

Méthode en 3 étapes

1. On compare d’abord les parties entières. Si elles sont différentes, le plus grand nombre a la plus grande partie entière.

2. Si les parties entières sont égales, on compare les dixièmes, puis les centièmes, puis les millièmes, etc.

3. Si un nombre a moins de chiffres après la virgule, on complète avec des zéros : 3,5 = 3,500.

Comparaison	Raisonnement	Résultat
3,7 et 3,12	Même partie entière (3). Dixièmes : 7 > 1	3,7 > 3,12
0,45 et 0,5	0,5 = 0,50. Dixièmes : 4 < 5	0,45 < 0,5
12,305 et 12,35	12,35 = 12,350. Centièmes : 0 < 5	12,305 < 12,35
7,8 et 7,80	Ajouter un 0 ne change rien	7,8 = 7,80

⚠️ Piège classique : 3,7 est plus grand que 3,12 ! Il ne faut pas comparer « 7 » et « 12 ». On compare les dixièmes : 7 dixièmes > 1 dixième. Écrivez 3,70 et 3,12 pour vous en convaincre : 70 centièmes > 12 centièmes.

3. Arrondir et encadrer

Arrondir un nombre, c’est le remplacer par une valeur approchée plus simple. On arrondit à l’unité, au dixième, au centième, etc.

Règle : on regarde le chiffre juste après la position d’arrondi. S’il est inférieur à 5, on arrondit par défaut (on garde). S’il est supérieur ou égal à 5, on arrondit par excès (on ajoute 1).

Nombre	Arrondi à l’unité	Arrondi au dixième	Arrondi au centième
3,746	4 (7 ≥ 5)	3,7 (4 < 5)	3,75 (6 ≥ 5)
12,453	12 (4 < 5)	12,5 (5 ≥ 5)	12,45 (3 < 5)
9,995	10 (9 ≥ 5)	10,0 (9 ≥ 5)	10,00 (5 ≥ 5)

📖 Encadrer un nombre, c’est trouver deux valeurs entre lesquelles il se situe. Par exemple, 3,746 encadré à l’unité : 3 < 3,746 < 4. Encadré au dixième : 3,7 < 3,746 < 3,8.

4. Addition et soustraction posées

Pour additionner ou soustraire des nombres décimaux, on pose l’opération en alignant les virgules. On complète avec des zéros si les nombres n’ont pas le même nombre de décimales.

Étape	Exemple : 12,45 + 3,7	Exemple : 25,3 − 8,47
1. Aligner les virgules	12,45 + 3,70	25,30 − 8,47
2. Calculer colonne par colonne	5+0=5, 4+7=11 (retenue), 2+3+1=6, 1+0=1	0−7 → retenue, 3−4 → retenue…
3. Placer la virgule	16,15	16,83

✅ Ordre de grandeur : avant de calculer, estimez le résultat pour vérifier. 12,45 + 3,7 ≈ 12 + 4 = 16 → le résultat 16,15 est cohérent. L’ordre de grandeur permet de détecter rapidement les erreurs de virgule.

5. Multiplication de nombres décimaux

Pour multiplier deux nombres décimaux, on ignore les virgules pendant le calcul, puis on replace la virgule dans le résultat.

Règle : le nombre total de chiffres après la virgule dans le résultat = la somme des chiffres après la virgule des deux facteurs.

Calcul	Étapes	Résultat
2,3 × 4,5	23 × 45 = 1035. Décimales : 1 + 1 = 2	10,35
0,12 × 0,3	12 × 3 = 36. Décimales : 2 + 1 = 3	0,036
7,25 × 6	725 × 6 = 4350. Décimales : 2 + 0 = 2	43,50

6. Division euclidienne et décimale

Il existe deux types de division au programme de 6ème :

Division euclidienne

Division entre entiers qui donne un quotient entier et un reste.

→ 17 ÷ 5 = 3 reste 2 (car 5 × 3 + 2 = 17)

Division décimale

Division qui continue après la virgule pour obtenir un résultat exact ou approché.

→ 17 ÷ 5 = 3,4 (résultat exact)

📖 Vocabulaire : dans la division 17 ÷ 5 = 3 reste 2, on appelle 17 le dividende, 5 le diviseur, 3 le quotient et 2 le reste. La relation fondamentale est : dividende = diviseur × quotient + reste.

Critères de divisibilité

Les critères de divisibilité sont très utiles en 6ème et reviennent régulièrement jusqu’au brevet.

Diviseur	Critère	Exemple
Par 2	Le dernier chiffre est pair (0, 2, 4, 6, 8)	246 → oui (6 est pair)
Par 3	La somme des chiffres est divisible par 3	246 → 2+4+6 = 12 → oui
Par 4	Les deux derniers chiffres forment un nombre divisible par 4	1 324 → 24 ÷ 4 = 6 → oui
Par 5	Le dernier chiffre est 0 ou 5	735 → oui (finit par 5)
Par 9	La somme des chiffres est divisible par 9	738 → 7+3+8 = 18 → oui
Par 10	Le dernier chiffre est 0	450 → oui

Pour approfondir : consultez le cours sur les multiples, diviseurs et PGCD.

7. Multiplier et diviser par 10, 100, 1 000

C’est l’une des règles les plus simples mais aussi les plus utiles en maths.

Opération	Règle	Exemple
× 10	Décaler la virgule d’1 rang vers la droite	3,45 × 10 = 34,5
× 100	Décaler la virgule de 2 rangs vers la droite	3,45 × 100 = 345
× 1 000	Décaler la virgule de 3 rangs vers la droite	3,45 × 1 000 = 3 450
÷ 10	Décaler la virgule d’1 rang vers la gauche	345 ÷ 10 = 34,5
÷ 100	Décaler la virgule de 2 rangs vers la gauche	345 ÷ 100 = 3,45

⚠️ « Décaler la virgule » est un raccourci pratique, mais en réalité c’est le nombre qui devient 10 fois plus grand ou plus petit. Les chiffres changent de rang dans le tableau de numération. Multiplier par 0,1 revient à diviser par 10, et multiplier par 0,01 revient à diviser par 100.

8. Exercices corrigés

Exercice 1 — Comparer des nombres décimaux

Énoncé : Ranger dans l’ordre croissant : 3,08 ; 3,8 ; 3,108 ; 3,18.

Correction

On écrit avec le même nombre de décimales : 3,080 ; 3,800 ; 3,108 ; 3,180. En comparant les dixièmes : 3,080 et 3,108 ont 0 dixième, 3,180 a 1 dixième, 3,800 a 8 dixièmes. Puis on compare les centièmes : 3,080 < 3,108. Ordre croissant : 3,08 < 3,108 < 3,18 < 3,8.

Exercice 2 — Arrondir

Énoncé : Arrondir 47,6538 au dixième, au centième et à l’unité.

Correction

Au dixième : on regarde le centième (5 ≥ 5) → 47,7. Au centième : on regarde le millième (3 < 5) → 47,65. À l’unité : on regarde le dixième (6 ≥ 5) → 48.

Exercice 3 — Multiplication

Énoncé : Calculer 3,14 × 2,5.

Correction

314 × 25 = 7 850. Nombre de décimales : 2 + 1 = 3. Résultat : 7,850 = 7,85.

Exercice 4 — Division euclidienne

Énoncé : Effectuer la division euclidienne de 253 par 7.

Correction

253 ÷ 7 = 36 reste 1, car 7 × 36 = 252 et 253 − 252 = 1. Vérification : 7 × 36 + 1 = 253 ✓.

Exercice 5 — Problème concret

Énoncé : Un article coûte 24,90 €. Avec une réduction de 3,75 €, quel est le prix final ? Si on achète 3 exemplaires au prix réduit, combien paie-t-on ?

Correction

Prix réduit : 24,90 − 3,75 = 21,15 €. Pour 3 exemplaires : 21,15 × 3 = 63,45 €.

9. Erreurs fréquentes à éviter

Erreur	Pourquoi c’est faux	Bonne méthode
3,12 > 3,9 car 12 > 9	On compare les dixièmes : 1 < 9	3,12 < 3,9 (car 3,12 < 3,90)
2,3 + 4,15 = 6,18	Virgules non alignées : 2,30 + 4,15	2,30 + 4,15 = 6,45
1,5 × 2,3 = 3,15	Mauvais comptage des décimales : 1+1 = 2	15 × 23 = 345, 2 décimales → 3,45
3,5 × 10 = 3,50	On décale la virgule vers la droite	3,5 × 10 = 35
0,5 > 0,45 car « 5 < 45 »	0,5 = 0,50. On compare 50 centièmes à 45	0,5 > 0,45 (bonne conclusion, mauvaise raison)

10. L’essentiel à retenir

Notion	Règle
Comparer	Chiffre par chiffre de gauche à droite, compléter avec des 0
Arrondir	Regarder le chiffre suivant : < 5 on garde, ≥ 5 on ajoute 1
Addition / Soustraction	Aligner les virgules, compléter avec des 0
Multiplication	Ignorer les virgules, puis compter le total de décimales
Division euclidienne	dividende = diviseur × quotient + reste
× 10 / ÷ 10	Décaler la virgule d’un rang vers la droite / la gauche

Questions fréquentes sur les nombres décimaux

Quelle est la différence entre un nombre décimal et un nombre entier ?

Un nombre entier n’a pas de partie décimale (ex : 7, 42, 300). Un nombre décimal a une partie décimale avec un nombre fini de chiffres après la virgule (ex : 3,25). Tout nombre entier est un nombre décimal (7 = 7,0), mais l’inverse n’est pas vrai.

Est-ce que 1/3 est un nombre décimal ?

Non. 1/3 = 0,333… avec un nombre infini de chiffres après la virgule. Ce n’est pas un nombre décimal (qui doit avoir un nombre fini de décimales). On dit que c’est un nombre rationnel non décimal. Voir le cours sur les fractions pour mieux comprendre cette distinction.

Pourquoi 3,7 est plus grand que 3,12 ?

Parce qu’on compare d’abord les dixièmes : 7 dixièmes > 1 dixième. Il ne faut surtout pas comparer « 7 » et « 12 ». Le bon réflexe est d’écrire 3,70 et 3,12 : alors 70 centièmes > 12 centièmes.

Comment multiplier un décimal par 0,1 ?

Multiplier par 0,1 revient à diviser par 10. On décale la virgule d’un rang vers la gauche. Par exemple : 45,3 × 0,1 = 4,53. De même, × 0,01 = ÷ 100 et × 0,001 = ÷ 1 000.

Comment savoir si un nombre est divisible par 3 ?

On additionne tous ses chiffres. Si la somme est divisible par 3, le nombre l’est aussi. Exemple : 246 → 2 + 4 + 6 = 12 → 12 est divisible par 3 → 246 est divisible par 3. Cela fonctionne aussi pour 9 (la somme doit être divisible par 9). Voir aussi le cours sur les multiples et diviseurs.

Qu’est-ce qu’un ordre de grandeur ?

C’est une estimation rapide du résultat d’un calcul. On arrondit les nombres pour obtenir un calcul simple. Par exemple, l’ordre de grandeur de 49,7 × 3,2 est environ 50 × 3 = 150. Le résultat exact est 159,04 — l’estimation était proche. C’est utile pour vérifier qu’on n’a pas fait d’erreur de virgule.

Peut-on ajouter des zéros après la virgule sans changer la valeur ?

Oui. 3,5 = 3,50 = 3,500. Ajouter des zéros à la fin de la partie décimale ne change rien à la valeur du nombre. C’est d’ailleurs la technique utilisée pour comparer et pour poser les opérations.

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