Les Fractions en 6ème : Cours Complet

Q: Pourquoi ne peut-on pas diviser par zéro ?

La division par zéro n'a pas de sens en mathématiques. Si on divise 6 en 0 parts, la question est absurde — on ne peut pas répartir quelque chose en aucune part. C'est pourquoi le dénominateur d'une fraction ne peut jamais être 0.

Q: Comment passer d'une fraction à un nombre décimal ?

Il suffit de diviser le numérateur par le dénominateur. Par exemple, 3/8 = 3 ÷ 8 = 0,375. Certaines fractions donnent un résultat infini périodique : 1/3 = 0,333… Ces fractions ne sont pas des nombres décimaux.

Q: Quelle est la différence entre fraction et écriture fractionnaire ?

Une fraction a un numérateur et un dénominateur qui sont des nombres entiers (ex : 3/4). Une écriture fractionnaire peut contenir des nombres décimaux (ex : 3,5/2,1). En 6ème, on travaille surtout avec les fractions.

Q: Comment savoir si une fraction est irréductible ?

Une fraction est irréductible si le numérateur et le dénominateur n'ont aucun diviseur commun autre que 1. Par exemple, 7/13 est irréductible car 7 et 13 sont premiers entre eux. Pour vérifier, cherchez le PGCD : s'il vaut 1, la fraction est irréductible.

Q: Pourquoi faut-il mettre au même dénominateur pour additionner des fractions ?

Parce qu'on ne peut additionner que des quantités de même nature. 1/3 et 1/4 représentent des parts de tailles différentes (des tiers et des quarts). Il faut d'abord les convertir en parts de même taille (des douzièmes) pour pouvoir les compter ensemble.

Q: Qu'est-ce qu'une fraction impropre ?

C'est une fraction dont le numérateur est supérieur au dénominateur, par exemple 7/4. Sa valeur est supérieure à 1. On peut l'écrire en nombre mixte : 7/4 = 1 + 3/4 (un et trois quarts).

Q: Comment additionner un entier et une fraction ?

On écrit l'entier sous forme de fraction avec le même dénominateur. Par exemple : 2 + 3/5 = 10/5 + 3/5 = 13/5. Plus simplement, 2 + 3/5 est déjà une écriture valide appelée nombre mixte.

Q: Quelle est la différence entre fraction et ratio ?

Une fraction exprime une partie d'un tout (3/4 d'une pizza = 3 parts sur 4). Un ratio compare deux quantités entre elles (3 garçons pour 4 filles = ratio 3:4). L'écriture est similaire, mais le sens est différent.

Définition · Simplification · Calculs · Droite graduée — Programme de mathématiques 6ème / 5ème

Notions clés

Exercices corrigés

Niveau principal

⭐⭐⭐

Fréquence brevet

📌 Les fractions sont l’un des chapitres les plus importants du programme de maths en 6ème. Elles permettent de représenter des parts, des divisions et des proportions. Ce cours couvre toutes les notions au programme : vocabulaire, fractions égales, simplification, comparaison, addition, soustraction, multiplication, placement sur la droite graduée, avec des exercices corrigés et les erreurs fréquentes à éviter.

📋 Sommaire du cours

Définition et vocabulaire
Fractions égales
Comparer
Addition / Soustraction
Multiplication
Fraction d’un nombre
Droite graduée
Encadrement
Exercices corrigés
Erreurs fréquentes
L’essentiel
FAQ

1. Définition et vocabulaire

Une fraction est une écriture de la forme a/b (lire « a sur b ») où a est le numérateur et b le dénominateur. Le dénominateur ne peut jamais être égal à 0.

Terme	Position	Rôle	Exemple (3/4)
Numérateur	Au-dessus de la barre	Indique combien de parts on prend	3
Dénominateur	En dessous de la barre	Indique en combien de parts égales on divise	4
Barre de fraction	Entre les deux	Signifie « divisé par »	Le trait horizontal

Concrètement, la fraction 3/4 signifie qu’on a divisé un tout en 4 parts égales et qu’on en prend 3. Par exemple : manger 3/4 d’une pizza, c’est la couper en 4 parts et en manger 3.

Vocabulaire courant

Dans la vie quotidienne, certaines fractions ont un nom spécifique qu’il faut connaître.

Fraction	Nom courant	Valeur décimale	Exemple concret
1/2	La moitié (un demi)	0,5	La moitié d’une tablette de chocolat
1/3	Un tiers	0,333…	Un tiers des élèves de la classe
1/4	Un quart	0,25	Un quart d’heure = 15 minutes
3/4	Trois quarts	0,75	Les trois quarts d’un match (75 min sur 90)
1/10	Un dixième	0,1	Un dixième de seconde au sprint

✅ À retenir : une fraction est aussi un quotient. Écrire 3/4, c’est exactement la même chose qu’écrire 3 ÷ 4 = 0,75. Tout nombre entier peut s’écrire comme une fraction : 5 = 5/1.

2. Fractions égales et simplification

Deux fractions sont égales si l’on passe de l’une à l’autre en multipliant (ou divisant) le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul.

Par exemple : 2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12. On a multiplié numérateur et dénominateur par 2, puis par 3, puis par 4.

Opération	Exemple	Explication
Amplifier (× par le même nombre)	3/5 = (3×4)/(5×4) = 12/20	On multiplie haut et bas par 4
Simplifier (÷ par le même nombre)	12/18 = (12÷6)/(18÷6) = 2/3	On divise haut et bas par 6 (le PGCD)

Simplifier une fraction, c’est trouver une fraction égale avec des nombres plus petits. Pour simplifier au maximum, on divise le numérateur et le dénominateur par leur plus grand diviseur commun (PGCD). La fraction obtenue est dite irréductible : on ne peut plus la simplifier.

📖 Astuce : si les deux nombres sont pairs → diviser par 2. S’ils finissent par 0 ou 5 → diviser par 5. Si la somme de leurs chiffres est divisible par 3 → diviser par 3.

Fraction de départ	Diviseur commun	Fraction simplifiée	Irréductible ?
8/12	÷ 4 (PGCD)	2/3	Oui ✓
15/25	÷ 5 (PGCD)	3/5	Oui ✓
24/36	÷ 12 (PGCD)	2/3	Oui ✓
18/24	÷ 2 → 9/12, puis ÷ 3	3/4	Oui ✓
7/13	Aucun (premiers entre eux)	7/13	Déjà irréductible ✓

Pour aller plus loin : consultez notre cours dédié à la simplification de fractions.

3. Comparer des fractions

Comparer deux fractions, c’est déterminer laquelle est la plus grande (ou si elles sont égales). La méthode dépend de la situation.

Cas	Méthode	Exemple
Même dénominateur	Comparer les numérateurs directement	3/7 < 5/7 car 3 < 5
Même numérateur	Le plus grand dénominateur → la plus petite fraction	3/5 > 3/8 car on divise en moins de parts
Dénominateurs différents	Mettre au même dénominateur (PPCM ou produit en croix)	3/4 vs 5/6 → 9/12 vs 10/12 → 3/4 < 5/6
Comparer à 1	Si numérateur > dénominateur → fraction > 1	7/5 > 1 et 3/8 < 1

✅ Le produit en croix est une technique rapide pour comparer a/b et c/d : on calcule a × d et c × b. Si a × d > c × b, alors a/b > c/d. Par exemple, pour comparer 3/4 et 5/7 : 3 × 7 = 21 et 5 × 4 = 20. Comme 21 > 20, on a 3/4 > 5/7.

4. Addition et soustraction de fractions

Règle fondamentale : on ne peut additionner ou soustraire des fractions que si elles ont le même dénominateur. On additionne alors les numérateurs et on garde le dénominateur.

Addition

a/c + b/c = (a + b) / c

→ Même dénominateur obligatoire

Soustraction

a/c − b/c = (a − b) / c

→ Même dénominateur obligatoire

Si les dénominateurs sont différents, il faut d’abord réduire au même dénominateur.

Calcul	Étapes détaillées	Résultat
2/5 + 1/5	Même dénominateur → (2+1)/5	3/5
1/3 + 1/4	PPCM(3,4) = 12 → 4/12 + 3/12 = 7/12	7/12
5/6 − 1/3	PPCM(6,3) = 6 → 5/6 − 2/6 = 3/6 = 1/2	1/2
3/4 + 2/5	PPCM(4,5) = 20 → 15/20 + 8/20 = 23/20	23/20
7/8 − 3/8	Même dénominateur → (7−3)/8 = 4/8 = 1/2	1/2

📖 Trouver le dénominateur commun : le moyen le plus sûr est de multiplier les deux dénominateurs entre eux (4 × 5 = 20), mais si l’un est un multiple de l’autre (ex : 3 et 6), on prend directement le plus grand (6). Le PPCM (plus petit commun multiple) donne le dénominateur le plus petit possible.

Pour aller plus loin : consultez notre cours dédié à l’addition et soustraction de fractions.

5. Multiplication de fractions

La multiplication de fractions est plus simple que l’addition : on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

✅ Formule : a/b × c/d = (a × c) / (b × d)

Calcul	Étapes	Résultat
2/3 × 4/5	(2×4) / (3×5)	8/15
3/7 × 7/9	(3×7) / (7×9) = 21/63 → simplifier par 21	1/3
5 × 2/3	5/1 × 2/3 = (5×2) / (1×3)	10/3

⚠️ Astuce : il est souvent plus rapide de simplifier avant de multiplier. Pour 3/7 × 7/9, on peut simplifier le 7 du numérateur avec le 7 du dénominateur et le 3 avec le 9 (car 9 = 3 × 3), ce qui donne directement 1/3 sans passer par 21/63.

6. Prendre la fraction d’un nombre

Prendre la fraction d’un nombre, c’est multiplier ce nombre par la fraction. C’est l’une des applications les plus concrètes des fractions dans la vie quotidienne.

✅ Formule : Prendre a/b d’un nombre N = N × a/b = (N × a) / b

Problème	Calcul	Résultat
Les 3/4 de 60 élèves	60 × 3/4 = (60 × 3) / 4 = 180/4	45 élèves
Les 2/5 de 35 bonbons	35 × 2/5 = (35 × 2) / 5 = 70/5	14 bonbons
Le 1/3 de 90 minutes	90 × 1/3 = 90/3	30 minutes
Les 5/8 de 120 €	120 × 5/8 = 600/8	75 €

📖 Méthode rapide (calcul mental) : on peut aussi diviser d’abord par le dénominateur, puis multiplier par le numérateur. Pour les 3/4 de 60 : 60 ÷ 4 = 15, puis 15 × 3 = 45.

7. Fractions sur la droite graduée

Pour placer une fraction sur une droite graduée, on divise chaque segment unité en autant de parts que l’indique le dénominateur, puis on compte le nombre de parts indiqué par le numérateur.

Exemple : pour placer 5/3, on divise chaque segment unité en 3 parts. 5/3 = 1 + 2/3, donc le point est entre 1 et 2, à 2/3 du chemin après la graduation 1.

Fraction	Décomposition	Position sur la droite
3/4	0 + 3/4 (fraction < 1)	Entre 0 et 1, aux 3/4 du segment
7/4	1 + 3/4 (partie entière = 1)	Entre 1 et 2, aux 3/4 après 1
13/5	2 + 3/5 (13 ÷ 5 = 2 reste 3)	Entre 2 et 3, aux 3/5 après 2

✅ Méthode : pour décomposer une fraction supérieure à 1, on effectue la division euclidienne du numérateur par le dénominateur. Le quotient donne la partie entière, et le reste donne le numérateur de la partie fractionnaire.

8. Encadrer une fraction par deux entiers consécutifs

Encadrer une fraction, c’est trouver les deux entiers consécutifs entre lesquels elle se situe. Cela revient à trouver la partie entière de la fraction.

Méthode : on effectue la division euclidienne du numérateur par le dénominateur. Si le quotient est q, alors : q ≤ a/b < q + 1.

Fraction	Division euclidienne	Encadrement
17/5	17 ÷ 5 = 3 reste 2	3 ≤ 17/5 < 4
23/7	23 ÷ 7 = 3 reste 2	3 ≤ 23/7 < 4
11/4	11 ÷ 4 = 2 reste 3	2 ≤ 11/4 < 3

9. Exercices corrigés

Voici 5 exercices progressifs pour vérifier que vous maîtrisez les fractions.

Exercice 1 — Simplifier une fraction

Énoncé : Simplifier la fraction 36/48 jusqu’à la rendre irréductible.

Correction

Le PGCD de 36 et 48 est 12. On divise numérateur et dénominateur par 12 : 36/48 = (36 ÷ 12) / (48 ÷ 12) = 3/4. La fraction 3/4 est irréductible car 3 et 4 n’ont aucun diviseur commun autre que 1.

Exercice 2 — Comparer deux fractions

Énoncé : Comparer 5/8 et 7/12.

Correction

On met au même dénominateur. PPCM(8, 12) = 24. On a 5/8 = 15/24 et 7/12 = 14/24. Comme 15 > 14, on conclut : 5/8 > 7/12.

Exercice 3 — Additionner des fractions

Énoncé : Calculer 2/3 + 3/5.

Correction

PPCM(3, 5) = 15. On a 2/3 = 10/15 et 3/5 = 9/15. Donc 2/3 + 3/5 = 10/15 + 9/15 = 19/15.

Exercice 4 — Prendre la fraction d’un nombre

Énoncé : Un collège compte 720 élèves. Les 5/8 sont demi-pensionnaires. Combien d’élèves mangent à la cantine ?

Correction

On calcule les 5/8 de 720 : 720 × 5/8 = 720 ÷ 8 × 5 = 90 × 5 = 450 élèves.

Exercice 5 — Encadrement et droite graduée

Énoncé : Encadrer 29/6 par deux entiers consécutifs.

Correction

29 ÷ 6 = 4 reste 5. Donc 29/6 = 4 + 5/6. L’encadrement est : 4 ≤ 29/6 < 5. Sur la droite graduée, 29/6 se situe entre 4 et 5, aux 5/6 du segment.

10. Erreurs fréquentes à éviter

Voici les erreurs les plus courantes sur les fractions. Les repérer, c’est déjà les éviter.

Erreur	Pourquoi c’est faux	Bonne méthode
1/3 + 1/4 = 2/7	On ne peut PAS additionner numérateurs et dénominateurs séparément	1/3 + 1/4 = 4/12 + 3/12 = 7/12
Simplifier (3+5)/(3+8) en 5/8	On ne peut simplifier que des facteurs (×), pas des termes (+)	8/11 ne se simplifie pas
3/5 > 3/4 car 5 > 4	C’est l’inverse ! Plus le dénominateur est grand, plus les parts sont petites	3/4 > 3/5
2/3 × 4/5 = 8/3	On multiplie numérateur × numérateur ET dénominateur × dénominateur	2/3 × 4/5 = 8/15
Les 3/4 de 60 = 60/4 × 60/3	Il faut multiplier 60 par la fraction, pas diviser 60 par chaque terme	60 × 3/4 = 60 ÷ 4 × 3 = 45

11. L’essentiel à retenir

Notion	Formule / Règle
Fraction = division	a/b = a ÷ b
Fractions égales	Multiplier ou diviser numérateur et dénominateur par le même nombre
Addition / Soustraction	Même dénominateur obligatoire → additionner les numérateurs
Multiplication	a/b × c/d = (a×c) / (b×d)
Fraction d’un nombre	a/b de N = N × a ÷ b
Simplification	Diviser numérateur et dénominateur par leur PGCD → fraction irréductible
Encadrement	Division euclidienne du numérateur par le dénominateur → q ≤ a/b < q+1
Produit en croix	Pour comparer a/b et c/d : comparer a×d et c×b

Questions fréquentes sur les fractions

Pourquoi ne peut-on pas diviser par zéro ?

La division par zéro n’a pas de sens en mathématiques. Si on divise 6 en 0 parts, la question elle-même est absurde — on ne peut pas répartir quelque chose en aucune part. C’est pourquoi le dénominateur d’une fraction ne peut jamais être 0.

Comment passer d’une fraction à un nombre décimal ?

Il suffit de diviser le numérateur par le dénominateur. Par exemple, 3/8 = 3 ÷ 8 = 0,375. Certaines fractions donnent un résultat infini périodique : 1/3 = 0,333… et 1/7 = 0,142857142857… Ces fractions ne sont pas des nombres décimaux.

Quelle est la différence entre fraction et écriture fractionnaire ?

Une fraction a un numérateur et un dénominateur qui sont des nombres entiers (ex : 3/4). Une écriture fractionnaire peut contenir des nombres décimaux (ex : 3,5/2,1). En 6ème, on travaille surtout avec les fractions.

Quelle est la différence entre fraction et ratio ?

Une fraction exprime une partie d’un tout (3/4 d’une pizza = 3 parts sur 4). Un ratio compare deux quantités entre elles (3 garçons pour 4 filles = ratio 3:4). L’écriture est similaire, mais le sens est différent.

Comment savoir si une fraction est irréductible ?

Une fraction est irréductible si le numérateur et le dénominateur n’ont aucun diviseur commun autre que 1. Par exemple, 7/13 est irréductible (7 et 13 sont premiers entre eux). Pour vérifier, cherchez le PGCD : s’il vaut 1, la fraction est irréductible.

Pourquoi faut-il mettre au même dénominateur pour additionner ?

Parce qu’on ne peut additionner que des quantités de même nature. 1/3 et 1/4 représentent des parts de tailles différentes (des tiers et des quarts). Il faut d’abord les convertir en parts de même taille (des douzièmes) pour pouvoir les compter ensemble.

Qu’est-ce qu’une fraction impropre ?

C’est une fraction dont le numérateur est supérieur au dénominateur, par exemple 7/4. Sa valeur est supérieure à 1. On peut l’écrire en nombre mixte : 7/4 = 1 + 3/4 (« un et trois quarts »).

Comment additionner un entier et une fraction ?

On écrit l’entier sous forme de fraction avec le même dénominateur. Par exemple : 2 + 3/5 = 10/5 + 3/5 = 13/5. Plus simplement, 2 + 3/5 est déjà une écriture valide (nombre mixte).

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