Second Degré : Cours Complet 1ère Spé Maths

Première spécialité maths — trinôme, discriminant, racines, forme canonique, signe

1ère

Niveau

Spé maths

Matière

Sections

2026

Programme

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📋 Sommaire

1. Définition et vocabulaire
8. Signe du trinôme
2. Forme développée et discriminant
9. Inéquations du second degré
3. Racines du trinôme
10. Relations racines-coefficients
4. Forme factorisée
11. Parabole et étude graphique
5. Forme canonique
12. Exercices types bac
6. Tableau de variations
13. Questions fréquentes
7. Les trois formes : récapitulatif
14. Erreurs fréquentes

Section 01

Définition et vocabulaire

Trinôme du second degré : Expression de la forme ax² + bx + c avec a, b, c des réels et a ≠ 0. Le terme « second degré » vient du fait que la plus haute puissance de x est 2.

Terme	Rôle	Exemple dans 3x² − 5x + 2
a	Coefficient dominant (devant x²)	a = 3
b	Coefficient de x	b = −5
c	Terme constant (sans x)	c = 2

📘 Equation du second degré : ax² + bx + c = 0. Résoudre cette équation revient à chercher les valeurs de x pour lesquelles le trinôme s’annule — on appelle ces valeurs les racines du trinôme.

Section 02

Discriminant

Δ = b² − 4ac

Le discriminant Δ (delta) est le nombre clé du second degré. Son signe détermine le nombre de racines réelles de ax² + bx + c = 0.

Signe de Δ	Nombre de racines réelles	Nature des racines
Δ > 0	2 racines distinctes	x₁ = (−b − √Δ) / (2a) et x₂ = (−b + √Δ) / (2a)
Δ = 0	1 racine double	x₀ = −b / (2a)
Δ < 0	0 racine réelle	Pas de solution dans ℝ (solutions complexes en Term)

💡 Moyen mémo : Δ > 0 → Deux racines. Δ = 0 → Une racine double. Δ < 0 → Zéro racine réelle. (D–U–Z)

📝 Exemple — calculer Δ

f(x) = 2x² − 5x + 3. Identifier : a = 2, b = −5, c = 3.
Δ = (−5)² − 4 × 2 × 3 = 25 − 24 = 1 > 0 → deux racines distinctes.

Section 03

Racines du trinôme

Quand Δ ≥ 0, les racines de ax² + bx + c = 0 sont :

x₁ = (−b − √Δ) / (2a) x₂ = (−b + √Δ) / (2a)

Si Δ = 0 : x₁ = x₂ = −b / (2a) (racine double).

📝 Exemple complet — 2x² − 5x + 3 = 0

a = 2, b = −5, c = 3. On a calculé Δ = 1.
x₁ = (5 − √1) / (2×2) = (5 − 1) / 4 = 4/4 = 1
x₂ = (5 + √1) / (2×2) = (5 + 1) / 4 = 6/4 = 3/2
Vérification : 2(1)² − 5(1) + 3 = 2 − 5 + 3 = 0 ✓ 2(3/2)² − 5(3/2) + 3 = 9/2 − 15/2 + 3 = 0 ✓

📝 Exemple — Δ = 0 : x² − 6x + 9 = 0

a = 1, b = −6, c = 9. Δ = 36 − 36 = 0.
Racine double : x₀ = 6 / 2 = 3.
Vérification : (x − 3)² = x² − 6x + 9 ✓ → la racine 3 est double.

📝 Exemple — Δ < 0 : x² + x + 1 = 0

a = 1, b = 1, c = 1. Δ = 1 − 4 = −3 < 0.
Pas de solution réelle. Le trinôme ne s’annule jamais — il est du signe de a = 1 > 0, donc toujours positif.

Section 04

Forme factorisée

Forme factorisée : Quand Δ ≥ 0, le trinôme ax² + bx + c peut s’écrire :
ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂)
où x₁ et x₂ sont les racines. Si Δ = 0 (racine double) : a(x − x₀)².

ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂)

📝 Exemple — factoriser 2x² − 5x + 3

On a x₁ = 1 et x₂ = 3/2 (calculés section 3).
2x² − 5x + 3 = 2(x − 1)(x − 3/2)
ou encore = (x − 1)(2x − 3) en multipliant le second facteur par 2.

📝 Exemple — factoriser x² − 6x + 9

Racine double x₀ = 3, a = 1.
x² − 6x + 9 = (x − 3)².

⚠️ Si Δ < 0 : le trinôme n’admet pas de forme factorisée dans ℝ. Il reste sous la forme ax² + bx + c.

Section 05

Forme canonique

Forme canonique : Toujours valide (même si Δ < 0). Elle met en évidence le sommet de la parabole :
ax² + bx + c = a(x − α)² + β
où α = −b/(2a) est l’abscisse du sommet et β = f(α) = −Δ/(4a) est l’ordonnée du sommet.

α = −b / (2a) β = −Δ / (4a) = f(α)

Méthode : complétion du carré

📝 Exemple — forme canonique de 2x² − 5x + 3

a = 2, b = −5, c = 3.
α = −(−5) / (2×2) = 5/4
β = f(5/4) = 2(5/4)² − 5(5/4) + 3 = 2(25/16) − 25/4 + 3 = 25/8 − 50/8 + 24/8 = −1/8
Forme canonique : 2(x − 5/4)² − 1/8

Vérification : 2(x − 5/4)² − 1/8 = 2(x² − 5x/2 + 25/16) − 1/8 = 2x² − 5x + 25/8 − 1/8 = 2x² − 5x + 3 ✓

📝 Exemple — forme canonique de x² + 4x + 7

a = 1, b = 4, c = 7.
α = −4/2 = −2 ; β = (−2)² + 4(−2) + 7 = 4 − 8 + 7 = 3
Forme canonique : (x + 2)² + 3
Δ = 16 − 28 = −12 < 0 : minimum de f vaut β = 3 > 0 → f toujours positive ✓

✅ Lien avec le sommet S : Le sommet de la parabole est S(α ; β). Si a > 0, β est le minimum de f. Si a < 0, β est le maximum.

Section 06

Tableau de variations

Le tableau de variations dépend du signe de a et de la position du sommet α = −b/(2a).

Cas a > 0 (parabole ouverte vers le haut)

x	−∞		α		+∞
f(x)		↘	β (min)	↗

Cas a < 0 (parabole ouverte vers le bas)

x	−∞		α		+∞
f(x)		↗	β (max)	↘

📘 Dans les deux cas, α = −b/(2a) est l’axe de symétrie de la parabole. Le trinôme est monotone de chaque côté de α.

Section 07

Les trois formes : récapitulatif

Forme	Expression	Utilité principale	Disponible si
Développée	ax² + bx + c	Calculer Δ, identifier a, b, c	Toujours
Canonique	a(x − α)² + β	Trouver le sommet, min/max	Toujours
Factorisée	a(x − x₁)(x − x₂)	Étudier le signe, résoudre	Δ ≥ 0 seulement

💡 Stratégie au bac : on utilise la forme développée pour calculer Δ, la forme factorisée pour le signe et les inéquations, la forme canonique pour le sommet et les variations.

Section 08

Signe du trinôme

Le signe de ax² + bx + c dépend du signe de a et du discriminant Δ.

Cas Δ > 0 : deux racines x₁ < x₂

x	−∞		x₁		x₂		+∞
Signe de ax²+bx+c (a > 0)		+	0	−	0	+
Signe de ax²+bx+c (a < 0)		−	0	+	0	−

✅ Règle : quand Δ > 0 et a > 0 : le trinôme est négatif entre les racines, positif à l’extérieur.
Quand Δ > 0 et a < 0 : le trinôme est positif entre les racines, négatif à l’extérieur.

Cas Δ = 0 : racine double x₀

Le trinôme a(x − x₀)² a le signe de a pour tout x ≠ x₀, et vaut 0 en x₀.

Cas Δ < 0 : pas de racine réelle

Le trinôme est du signe de a pour tout x ∈ ℝ (toujours positif si a > 0, toujours négatif si a < 0).

Section 09

Inéquations du second degré

Méthode en 4 étapes

1. Mettre tout d’un côté (obtenir ax² + bx + c ≥ 0 ou ≤ 0)
2. Calculer Δ
3. Si Δ > 0, trouver x₁ et x₂
4. Lire le signe sur le tableau et écrire l’ensemble solution

📝 Exemple — résoudre 2x² − 5x + 3 ≤ 0

On a Δ = 1 > 0, x₁ = 1, x₂ = 3/2, a = 2 > 0.
Signe : le trinôme est ≤ 0 entre les racines.
Solution : x ∈ [1 ; 3/2].

📝 Exemple — résoudre x² − 3x + 4 > 0

Δ = 9 − 16 = −7 < 0. a = 1 > 0 → trinôme toujours positif.
Solution : x ∈ ℝ (l’inéquation est vraie pour tout réel).

📝 Exemple — résoudre x² − 4 > 0

x² − 4 = (x−2)(x+2). Racines : x₁ = −2, x₂ = 2. a = 1 > 0.
Positif à l’extérieur des racines.
Solution : x ∈ ]−∞ ; −2[ ∪ ]2 ; +∞[.

Section 10

Relations racines-coefficients (Viète)

Quand le trinôme ax² + bx + c admet deux racines x₁ et x₂ (Δ ≥ 0) :

x₁ + x₂ = −b/a x₁ × x₂ = c/a

📘 Ces formules permettent de vérifier rapidement des racines ou de construire un trinôme à partir de ses racines : si on veut un trinôme de racines 2 et 5, on peut écrire (x−2)(x−5) = x² − 7x + 10.

📝 Exemple — vérification avec 2x² − 5x + 3

x₁ = 1, x₂ = 3/2, a = 2, b = −5, c = 3.
x₁ + x₂ = 1 + 3/2 = 5/2 = −(−5)/2 = −b/a ✓
x₁ × x₂ = 1 × 3/2 = 3/2 = 3/2 = c/a ✓

📝 Exemple — construire un trinôme de racines −3 et 7

Somme = −3 + 7 = 4 = −b/a → avec a = 1 : b = −4.
Produit = −3 × 7 = −21 = c/a → c = −21.
Trinôme : x² − 4x − 21 = (x + 3)(x − 7).

Section 11

Parabole et étude graphique

La courbe représentative d’un trinôme du second degré est une parabole.

Élément	a > 0	a < 0
Ouverture	Vers le haut (sourit 😊)	Vers le bas (fronce 🙁)
Sommet S	Point le plus bas	Point le plus haut
Coordonnées du sommet	S(α ; β) avec α = −b/(2a), β = f(α)
Axe de symétrie	Droite verticale d’équation x = α
Intersection avec Ox	Les racines x₁, x₂ (si elles existent)
Intersection avec Oy	Le point (0 ; c) car f(0) = c

📝 Exemple — tracer f(x) = x² − 2x − 3

a = 1 > 0, b = −2, c = −3.
Δ = 4 + 12 = 16 > 0. x₁ = (2−4)/2 = −1. x₂ = (2+4)/2 = 3.
Sommet : α = −(−2)/(2) = 1. β = f(1) = 1 − 2 − 3 = −4. Sommet S(1 ; −4).
Intersection Oy : (0 ; −3).
Parabole ouverte vers le haut, sommet (1;−4), coupe Ox en −1 et 3.

Section 12

Exercices types bac

📝 Exercice 1 — équation : 3x² + 2x − 1 = 0

Δ = 4 + 12 = 16. √Δ = 4.
x₁ = (−2 − 4)/6 = −6/6 = −1 x₂ = (−2 + 4)/6 = 2/6 = 1/3

📝 Exercice 2 — inéquation : x² + x − 6 ≥ 0

Δ = 1 + 24 = 25. x₁ = (−1−5)/2 = −3. x₂ = (−1+5)/2 = 2. a = 1 > 0.
Positif à l’extérieur des racines.
Solution : x ∈ ]−∞ ; −3] ∪ [2 ; +∞[.

📝 Exercice 3 — forme canonique de −x² + 4x − 1

a = −1, b = 4, c = −1.
α = −4/(−2) = 2. β = f(2) = −4 + 8 − 1 = 3.
Forme canonique : −(x − 2)² + 3.
Maximum de f : 3, atteint en x = 2.

📝 Exercice 4 — construire le trinôme de racines 1+√2 et 1−√2

Somme = (1+√2) + (1−√2) = 2. Produit = (1+√2)(1−√2) = 1 − 2 = −1.
Avec a = 1 : b = −2, c = −1.
Trinôme : x² − 2x − 1.
Vérification : Δ = 4 + 4 = 8. √Δ = 2√2. x = (2 ± 2√2)/2 = 1 ± √2 ✓

📝 Exercice 5 — résoudre (x² − 4)(x + 1) > 0

Racines : x² − 4 = 0 → x = ±2 ; x + 1 = 0 → x = −1.
Tableau de signes avec les valeurs −2, −1, 2 classées :
]−∞;−2[ : (−)(−)(−) = − ; ]−2;−1[ : (+)(−)(−) = + ; ]−1;2[ : (+)(−)(+) = − ; ]2;+∞[ : (+)(+)(+) = +
Solution : x ∈ ]−2 ; −1[ ∪ ]2 ; +∞[.

Section 13

Questions fréquentes

Pourquoi a ne peut pas être égal à 0 dans un trinôme du second degré ?

Si a = 0, l’expression ax² + bx + c devient bx + c, qui est une fonction du premier degré (affine). Pour qu’une fonction soit du second degré, le terme en x² doit exister, ce qui impose a ≠ 0. C’est le coefficient dominant qui détermine la forme de la parabole.

Quelle est la différence entre racine simple et racine double ?

Une racine simple est un point où la parabole coupe l’axe Ox en le traversant (le trinôme change de signe). Une racine double (Δ = 0) est un point où la parabole est tangente à l’axe Ox — elle le touche sans le traverser, et le trinôme ne change pas de signe autour de x₀ (il garde le signe de a).

Comment choisir entre forme factorisée et forme canonique ?

La forme factorisée a(x−x₁)(x−x₂) est idéale pour étudier le signe du trinôme et résoudre des inéquations — on lit directement les annulations. La forme canonique a(x−α)²+β est idéale pour trouver le sommet, le minimum ou le maximum, et dresser le tableau de variations. Au bac, on passe souvent d’une forme à l’autre selon la question posée.

Peut-on avoir un trinôme sans terme en x ou sans terme constant ?

Oui. Si b = 0, le trinôme devient ax² + c (pas de terme en x) — c’est une parabole symétrique par rapport à Oy. Si c = 0, le trinôme devient ax² + bx = x(ax + b) — l’une des racines est toujours 0. Ces cas particuliers simplifient souvent les calculs.

Comment résoudre une équation du second degré sans discriminant ?

Dans certains cas, on peut factoriser directement. Si c = 0 : ax² + bx = x(ax+b) → racines 0 et −b/a. Si le trinôme est un carré parfait : x² − 10x + 25 = (x−5)² → racine double 5. Si le trinôme est une différence de carrés : x² − 9 = (x−3)(x+3). Ces cas permettent d’éviter le calcul du discriminant.

Section 14

Erreurs fréquentes

Erreur	Correct
Oublier le ± dans la formule : x = (−b + √Δ)/(2a)	x₁ = (−b − √Δ)/(2a) ET x₂ = (−b + √Δ)/(2a)
Calculer Δ = b² − ac (oubli du 4)	Δ = b² − 4ac
Diviser par 2 au lieu de 2a : (−b ± √Δ)/2	Toujours diviser par 2a, pas juste 2
Signe du signe : si a < 0 et Δ > 0, croire que le trinôme est positif entre les racines	Si a < 0, le trinôme est positif ENTRE les racines et négatif à l’extérieur
Forme factorisée quand Δ < 0	La forme factorisée n’existe pas dans ℝ si Δ < 0
Confondre sommet S(α;β) et racines x₁,x₂	α = axe de symétrie (abscisse du sommet), x₁ et x₂ = zéros du trinôme
Écrire l’ensemble solution avec des parenthèses sur les racines d’une inéquation ≤ ou ≥	Inclure les racines avec des crochets [ ] pour ≤ et ≥

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