Le Logarithme Népérien : Cours Complet

Terminale spécialité maths — Propriétés de ln, dérivée, limites, équations et croissances comparées

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📋 Sommaire

1. Définition de ln
7. Croissances comparées
2. Relation fondamentale ln / exp
8. Étude complète de ln
3. Propriétés algébriques
9. Équations et inéquations
4. Dérivée de ln
10. Logarithme décimal (log)
5. Primitives avec ln
11. Exercices types bac
6. Limites de ln
12. Questions fréquentes

SECTION 01

Définition de ln

📌 Définition

Le logarithme népérien (ou logarithme naturel), noté ln, est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Pour tout x > 0 :

y = ln(x) ⟺ e^y = x

Autrement dit : ln(x) est l'exposant qu'il faut mettre à e pour obtenir x.

📌 Domaine de définition

ln(x) n'est défini que pour x > 0. On ne peut pas calculer le logarithme d'un nombre négatif ou nul.

x	1/e²	1/e	1	e	e²	10
ln(x)	−2	−1	0	1	2	≈ 2,303

✅ Valeurs à connaître :
• ln(1) = 0 (car e⁰ = 1)
• ln(e) = 1 (car e¹ = e)
• ln(e²) = 2, ln(eⁿ) = n
• ln(x) < 0 si 0 < x < 1, ln(x) > 0 si x > 1

SECTION 02

Relation fondamentale ln / exp

📌 Les deux identités

e^ln(x) = x pour tout x > 0

ln(eˣ) = x pour tout x ∈ ℝ

L'exponentielle et le logarithme « s'annulent » mutuellement.

📘 Graphiquement : Les courbes de eˣ et ln(x) sont symétriques par rapport à la droite y = x (la première bissectrice). C'est la propriété géométrique caractéristique des fonctions réciproques.

📝 Exemples d'application

e^ln(5) = 5

ln(e^π) = π

e^2ln(3) = e^ln(3²) = e^ln(9) = 9

ln(e⁻⁴) = −4

🎯 Application clé : Pour résoudre une équation de la forme a^x = b, on passe au ln des deux côtés : x ln(a) = ln(b), donc x = ln(b)/ln(a). Exemple : 2ˣ = 8 → x = ln(8)/ln(2) = 3ln(2)/ln(2) = 3. ✓

SECTION 03

Propriétés algébriques

Le logarithme transforme les produits en sommes et les quotients en différences. C'est le miroir des propriétés de l'exponentielle.

Propriété	Formule	Exemple
Produit → somme	ln(ab) = ln(a) + ln(b)	ln(6) = ln(2) + ln(3)
Quotient → différence	ln(a/b) = ln(a) − ln(b)	ln(5/3) = ln(5) − ln(3)
Puissance → produit	ln(aⁿ) = n × ln(a)	ln(8) = ln(2³) = 3ln(2)
Inverse	ln(1/a) = −ln(a)	ln(1/7) = −ln(7)
Racine	ln(√a) = (1/2)ln(a)	ln(√5) = ln(5)/2
ln(1) = 0	ln(1) = 0	Toujours vrai

⚠️ Erreurs fatales :
• ln(a + b) ≠ ln(a) + ln(b). Le logarithme transforme les produits, PAS les sommes.
• ln(a × b) ≠ ln(a) × ln(b). C'est ln(a) + ln(b).
• (ln(a))ⁿ ≠ n ln(a). La formule ln(aⁿ) = n ln(a) concerne la puissance à l'intérieur du ln, pas à l'extérieur.

📝 Exemple : simplifier ln(48) − ln(6)

ln(48) − ln(6) = ln(48/6) = ln(8) = ln(2³) = 3 ln(2).

📝 Exemple : exprimer en fonction de ln(2) et ln(3)

ln(72) = ln(8 × 9) = ln(8) + ln(9) = ln(2³) + ln(3²) = 3 ln(2) + 2 ln(3).

SECTION 04

Dérivée de ln

📌 Formules

(ln(x))' = 1/x pour x > 0

(ln(u(x)))' = u'(x) / u(x) pour u(x) > 0

📝 Exemples de dérivées

f(x) = ln(x) → f'(x) = 1/x

f(x) = ln(3x + 1) → u = 3x+1, u' = 3. f'(x) = 3/(3x + 1)

f(x) = ln(x²) → u = x², u' = 2x. f'(x) = 2x/x² = 2/x

f(x) = x ln(x) → Produit : f'(x) = 1 × ln(x) + x × (1/x) = ln(x) + 1

f(x) = ln(x)/x → Quotient : f'(x) = [(1/x)×x − ln(x)×1] / x² = (1 − ln(x)) / x²

💡 La dérivée de ln(x²) : On peut aussi simplifier d'abord : ln(x²) = 2 ln|x|. Sur ]0;+∞[ : (2 ln(x))' = 2/x. Sur ]−∞;0[ : (2 ln(−x))' = 2 × (−1)/(−x) = 2/x. Dans les deux cas : 2/x. Mais au bac, on travaille presque toujours sur ]0;+∞[.

✅ Reconnaître la forme u'/u : Quand on voit une fraction avec u' au numérateur et u au dénominateur, c'est la dérivée de ln(u). C'est aussi une forme de primitive très utile : la primitive de u'/u est ln|u| + C.

SECTION 05

Primitives avec ln

Fonction	Primitive	Domaine
1/x	ln\|x\| + C	]0;+∞[ ou ]−∞;0[
u'(x)/u(x)	ln\|u(x)\| + C	u(x) ≠ 0
ln(x)	x ln(x) − x + C	]0;+∞[ (par IPP)

📝 Exemple : ∫₁^e 1/x dx

= [ln(x)]₁^e = ln(e) − ln(1) = 1 − 0 = 1.

📝 Exemple : ∫₁³ (2x)/(x² + 1) dx

Forme u'/u avec u = x² + 1, u' = 2x.

= [ln(x² + 1)]₁³ = ln(10) − ln(2) = ln(5) ≈ 1,609.

📝 Exemple : ∫₁^e ln(x) dx (par IPP)

= [x ln(x) − x]₁^e = (e × 1 − e) − (1 × 0 − 1) = 0 − (−1) = 1.

📘 Résultat à connaître : La primitive de ln(x) est x ln(x) − x. On l'obtient par IPP (v = ln(x), u' = 1). C'est un classique du bac, souvent demandé ou utilisé.

SECTION 06

Limites de ln

Limite	Résultat	Interprétation
lim_x→+∞ ln(x)	+∞	ln croît, mais très lentement
lim_x→0⁺ ln(x)	−∞	Asymptote verticale x = 0

📊 Limites utiles pour le bac

Limite	Résultat	Technique
lim_x→+∞ ln(x)/x	0	Croissances comparées
lim_x→+∞ ln(x)/√x	0	Croissances comparées
lim_x→+∞ (ln(x))²/x	0	Croissances comparées
lim_x→0⁺ x ln(x)	0	Croissances comparées
lim_x→0⁺ x² ln(x)	0	Croissances comparées
lim_x→0 ln(1+x)/x	1	Taux de variation de ln en 1

✅ La limite la plus importante : lim_x→0⁺ x ln(x) = 0. C'est une forme indéterminée 0 × (−∞). Le x « l'emporte » sur le ln(x) : la fonction x ln(x) tend vers 0 en 0⁺. C'est un résultat de cours, utilisable directement au bac.

SECTION 07

Croissances comparées

📌 Les puissances dominent le logarithme

Pour tout n ≥ 1 et tout α > 0 :

lim_x→+∞ ln(x) / xᵅ = 0 et lim_x→0⁺ xᵅ ln(x) = 0

Le logarithme croît infiniment plus lentement que n'importe quelle puissance de x.

🎯 Hiérarchie complète (rappel) :
ln ≪ puissances ≪ exponentielle
En cas de « compétition » en +∞ : le ln perd toujours contre une puissance, et la puissance perd toujours contre l'exponentielle. C'est la règle d'or pour lever les formes indéterminées.

📝 Exemple : lim_x→+∞ (ln(x))³ / x

On pose X = ln(x), donc x = e^X et X → +∞.

(ln(x))³/x = X³/e^X → 0 par croissances comparées (eˣ domine les puissances).

📝 Exemple : lim_x→0⁺ √x ln(x)

Forme 0 × (−∞). Par croissances comparées : lim_x→0⁺ xᵅ ln(x) = 0 avec α = 1/2.

Donc √x ln(x) → 0.

📝 Exemple : lim_x→+∞ x − 3 ln(x)

On factorise par x : x(1 − 3 ln(x)/x). Or ln(x)/x → 0.

Donc x(1 − 0) = x → +∞.

SECTION 08

Étude complète de f(x) = ln(x)

📊 Carte d'identité

Domaine : ]0 ; +∞[

Dérivée : f'(x) = 1/x > 0 pour tout x > 0 → f est strictement croissante

Limites : lim_x→0⁺ ln(x) = −∞, lim_x→+∞ ln(x) = +∞

Image : ℝ (ln prend toutes les valeurs réelles)

Convexité : f »(x) = −1/x² < 0 → courbe concave (tournée vers le bas)

Points remarquables : f(1) = 0, f(e) = 1

Asymptote : x = 0 est asymptote verticale

📊 Tableau de variations

x	0		+∞
f'(x) = 1/x		+
f(x) = ln(x)	−∞ (AV)	↗	+∞

💡 Concavité : La courbe de ln est concave (f » < 0), donc elle est toujours sous ses tangentes. C'est l'opposé de eˣ qui est convexe. Cela implique l'inégalité : ln(x) ≤ x − 1 pour tout x > 0, avec égalité en x = 1.

SECTION 09

Équations et inéquations logarithmiques

📌 Règles clés

Comme ln est strictement croissante sur ]0 ; +∞[ :

Propriété	Formule	Condition
Égalité	ln(a) = ln(b) ⟺ a = b	a > 0 et b > 0
Inéquation	ln(a) > ln(b) ⟺ a > b	a > 0 et b > 0
Passage à l'exp	ln(x) = k ⟺ x = eᵏ	x > 0

📝 Exemple : résoudre ln(2x − 1) = 3

Condition : 2x − 1 > 0 → x > 1/2.

ln(2x − 1) = 3 ⟺ 2x − 1 = e³ ⟺ x = (e³ + 1)/2 ≈ 10,54.

Vérification : x > 1/2. ✓

📝 Exemple : résoudre ln(x) + ln(x − 2) = ln(3)

Conditions : x > 0 et x − 2 > 0, donc x > 2.

ln(x(x−2)) = ln(3) → x(x − 2) = 3 → x² − 2x − 3 = 0.

Δ = 16. x₁ = −1 (rejeté car x > 2), x₂ = 3. ✓

📝 Exemple : résoudre ln(x²) ≥ 4

2 ln|x| ≥ 4 → ln|x| ≥ 2 → |x| ≥ e².

S = ]−∞ ; −e²] ∪ [e² ; +∞[.

⚠️ Erreur classique : Oublier les conditions d'existence. Avant de résoudre, toujours vérifier que l'argument du ln est strictement positif. Puis vérifier que les solutions trouvées satisfont ces conditions. Des solutions parasites peuvent apparaître (comme x = −1 dans l'exemple ci-dessus).

SECTION 10

Logarithme décimal (log)

📌 Définition

Le logarithme décimal (ou log base 10), noté log, est défini par :

log(x) = ln(x) / ln(10) ≈ ln(x) / 2,303

log(x) répond à la question : « à quelle puissance faut-il élever 10 pour obtenir x ? »

x	0,01	0,1	1	10	100	1000
log(x)	−2	−1	0	1	2	3

📘 Utilité : Le log décimal est utilisé dans les échelles logarithmiques : décibels (son), Richter (séismes), pH (chimie). Au bac, on l'utilise surtout pour résoudre des équations du type 10ˣ = k ou pour convertir entre ln et log.

📝 Exemple : résoudre 10ˣ = 500

x = log(500) = log(5 × 100) = log(5) + log(100) = log(5) + 2 ≈ 0,699 + 2 = 2,699.

SECTION 11

Exercices types bac

Type 1 — Étude de fonction f(x) = x ln(x) ou ln(x)/x

Dériver, étudier le signe, dresser le tableau de variations, calculer les limites (x ln(x) en 0⁺, ln(x)/x en +∞).

🧠 f(x) = x ln(x) − x sur ]0;+∞[. Dérivée ?

f'(x) = ln(x) + x×(1/x) − 1 = ln(x) + 1 − 1 = ln(x). f'(x) = 0 ⟺ x = 1. f' < 0 sur ]0;1[, f' > 0 sur ]1;+∞[. Minimum en x = 1.

Type 2 — Résoudre des équations logarithmiques

Vérifier les conditions d'existence, utiliser les propriétés de ln, résoudre.

🧠 Résoudre ln(x + 3) = 2.

x + 3 > 0 → x > −3. x + 3 = e² → x = e² − 3 ≈ 4,389.

Type 3 — Limites avec croissances comparées

Utiliser ln ≪ xⁿ et x ln(x) → 0 en 0⁺.

🧠 lim_x→+∞ (2x − ln(x)) = ?

On factorise par x : x(2 − ln(x)/x). Or ln(x)/x → 0. Donc x × 2 → +∞.

Type 4 — Calcul d'intégrales avec ln

Reconnaître la forme u'/u → ln|u|. Ou IPP pour ∫ ln(x) dx.

Type 5 — Simplification d'expressions logarithmiques

Utiliser les propriétés algébriques pour simplifier ou exprimer en fonction de ln(2), ln(3), etc.

🧠 Simplifier 2ln(6) − ln(9) + ln(1/4).

= ln(36) − ln(9) + ln(1/4) = ln(36/9 × 1/4) = ln(4/4) = ln(1) = 0.

SECTION 12

Questions fréquentes

Quelle est la dérivée de ln(x) ?

(ln(x))' = 1/x pour x > 0. Pour ln(u(x)) : u'(x)/u(x). C'est la forme u'/u, très utile aussi pour les primitives.

Quelle est la différence entre ln et log ?

ln = logarithme base e (≈ 2,718). log = logarithme base 10. Relation : log(x) = ln(x)/ln(10). Au lycée, on utilise principalement ln.

Peut-on calculer ln d'un nombre négatif ?

Non. ln(x) n'existe que pour x > 0. ln(0) et ln(−3) ne sont pas définis dans ℝ. Toujours vérifier les conditions d'existence.

Est-ce que ln(a + b) = ln(a) + ln(b) ?

Non, jamais ! C'est l'erreur la plus courante. La vraie formule est ln(a × b) = ln(a) + ln(b). Le ln transforme les produits en sommes, pas les sommes.

Combien vaut ln(1) ?

ln(1) = 0 (car e⁰ = 1). Et ln(e) = 1 (car e¹ = e). Les deux valeurs de référence essentielles.

Quelle est la limite de x ln(x) en 0 ?

lim_x→0⁺ x ln(x) = 0. Forme 0 × (−∞), résolue par croissances comparées. Résultat de cours utilisable directement au bac.

Comment résoudre une équation avec ln ?

1. Conditions d'existence (arguments > 0). 2. Simplifier avec les propriétés. 3. ln(A) = k → A = eᵏ. ln(A) = ln(B) → A = B. 4. Vérifier les solutions.

Quelle est la primitive de 1/x ?

ln|x| + C. Sur ]0;+∞[ : ln(x) + C. C'est le lien fondamental entre dérivation et logarithme.

Le logarithme tombe-t-il au bac ?

Systématiquement. Études de fonctions (x ln(x), ln(x)/x), intégrales (forme u'/u), équations. Souvent couplé avec l'exponentielle dans un même exercice.

Comment simplifier une expression avec ln ?

Trois propriétés : ln(ab) = ln(a)+ln(b), ln(a/b) = ln(a)−ln(b), ln(aⁿ) = n ln(a). Décomposer en facteurs premiers si besoin : ln(72) = 3ln(2)+2ln(3).

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