Racines Carrées
Cours 3e · Définition, propriétés, simplification, calculs · Lien avec Pythagore · Exercices corrigés
1. Définition — qu’est-ce qu’une racine carrée ?
La racine carrée d’un nombre positif a, notée √a, est le nombre positif dont le carré vaut a.
√9 = 3 car 3² = 9
√25 = 5 car 5² = 25
√0 = 0 car 0² = 0
√1 = 1 car 1² = 1
√2 ≈ 1,414… (irrationnel, valeur approchée)
√3 ≈ 1,732… (irrationnel)
2. Carrés parfaits — à connaître par cœur
Un carré parfait est un entier qui est le carré d’un autre entier. Leur racine carrée est un entier exact.
3. Propriétés des racines carrées
√36 = 6 ✓
√4 = 2 ✓
(√13)² = 13
√((-3)²) = √9 = 3
Exemple : √(9+16) = √25 = 5, mais √9 + √16 = 3 + 4 = 7 ≠ 5.
La racine ne se distribue pas sur l’addition !
4. Simplifier une racine carrée
On cherche à extraire les carrés parfaits qui sont des facteurs du nombre sous le radical.
√12 = √(4×3) = √4 × √3 = 2√3
√18 = √(9×2) = √9 × √2 = 3√2
√50 = √(25×2) = √25 × √2 = 5√2
√75 = √(25×3) = √25 × √3 = 5√3
√48 = √(16×3) = √16 × √3 = 4√3
5. Calculs avec les racines carrées
Multiplication et division
√3 × √3 = (√3)² = 3
√2 × √8 = √(2×8) = √16 = 4
√6 × √6 = 6
√20 ÷ √5 = √(20÷5) = √4 = 2
3√2 × 2√2 = (3×2) × (√2×√2) = 6 × 2 = 12
Addition et soustraction de racines
On ne peut additionner des racines que si elles ont le même radicande (même nombre sous le radical) — comme des termes semblables en calcul littéral.
3√2 + 5√2 = (3+5)√2 = 8√2
7√3 − 2√3 = (7−2)√3 = 5√3
√12 + √3 = 2√3 + √3 = 3√3 (après simplification de √12)
√50 − √18 = 5√2 − 3√2 = 2√2
6. Lien avec le théorème de Pythagore
En 3e, les racines carrées sont indissociables de Pythagore. Quand on calcule la longueur de l’hypoténuse ou d’un côté, on obtient souvent une racine carrée.
Triangle ABC rectangle en B, AB = 3 cm, BC = 4 cm. Calculer AC.
AC² = AB² + BC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
AC = √25 = 5 cm (carré parfait, résultat exact)
Triangle DEF rectangle en E, DE = 1 cm, EF = 1 cm. Calculer DF.
DF² = 1² + 1² = 2
DF = √2 ≈ 1,41 cm (valeur approchée au centième)
Triangle rectangle, hypoténuse = 10, un côté = 6. Trouver l’autre côté.
6² + x² = 10²
36 + x² = 100
x² = 64
x = √64 = 8
7. Tableau récapitulatif
| Propriété | Formule | Exemple |
|---|---|---|
| Définition | √a = b si b² = a et b ≥ 0 | √49 = 7 car 7²=49 |
| Carré d’une racine | (√a)² = a | (√5)² = 5 |
| Produit | √(ab) = √a × √b | √12 = 2√3 |
| Quotient | √(a/b) = √a/√b | √(9/4) = 3/2 |
| Addition | √a + √b ≠ √(a+b) | √9+√16 = 7 ≠ √25 = 5 |
| Termes semblables | k√a + m√a = (k+m)√a | 3√2+5√2 = 8√2 |
8. Erreurs classiques
√(9+16) = √9 + √16 = 7
La racine ne se distribue pas sur l’addition.
√(9+16) = √25 = 5
On calcule d’abord la somme sous le radical.
√2 + √3 = √5
On ne peut pas additionner des racines avec des radicandes différents.
√2 + √3 reste √2 + √3
Ce n’est pas simplifiable. On laisse tel quel ou on donne des valeurs approchées.
√(-4) = -2
La racine carrée d’un négatif n’existe pas dans les réels.
√(-4) n’existe pas dans ℝ
On ne peut prendre la racine carrée que d’un nombre positif ou nul.
9. Exercices corrigés
b) √225 = 15 (car 15²=225)
c) √(49/4) = √49/√4 = 7/2
d) (√11)² = 11
b) √45 = √(9×5) = 3√5
c) √98 = √(49×2) = 7√2
d) √200 = √(100×2) = 10√2
b) √(3×27) = √81 = 9
c) (2×3)(√6×√6) = 6×6 = 36
d) 5√2 − 3√2 = 2√2
h = √74
74 = 2 × 37 (pas de carré parfait) → √74 ne se simplifie pas
√74 ≈ 8,6 cm (valeur approchée au dixième)