Les Dérivées : Cours Complet 1ère Spé Maths

Première spécialité maths — définition, règles, applications aux variations et extrema

1ère

Niveau

Spé maths

Matière

Sections

2026

Programme

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📋 Sommaire

1. Nombre dérivé — définition
8. Dérivée d’une fonction composée
2. Tangente à une courbe
9. Signe de f’ et variations de f
3. Fonction dérivée
10. Extrema — maximum et minimum
4. Dérivées des fonctions usuelles
11. Équation de la tangente
5. Dérivée d’une somme et d’un produit par k
12. Exercices types bac
6. Dérivée d’un produit (u·v)’
13. Questions fréquentes
7. Dérivée d’un quotient (u/v)’
14. Erreurs fréquentes

Section 01

Nombre dérivé — définition

Nombre dérivé en a : Le nombre dérivé de f en a, noté f'(a), est la limite du taux d’accroissement de f entre a et a+h quand h tend vers 0 :

f'(a) = lim_h→0 [f(a+h) − f(a)] / h

Géométriquement, f'(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a.

📝 Exemple — nombre dérivé de f(x) = x² en a = 3

[f(3+h) − f(3)] / h = [(3+h)² − 9] / h = [9 + 6h + h² − 9] / h = [6h + h²] / h = 6 + h
Quand h → 0 : f'(3) = 6.
La tangente en x = 3 a un coefficient directeur de 6.

📘 Interprétation : f'(a) mesure le taux de variation instantané de f en a. Si f'(a) > 0, f est localement croissante en a. Si f'(a) < 0, f est localement décroissante en a. Si f'(a) = 0, la tangente est horizontale (candidat extremum).

Section 02

Tangente à une courbe

Équation de la tangente en x = a : y = f'(a)(x − a) + f(a)

La tangente à la courbe de f au point A(a ; f(a)) est la droite passant par A avec le coefficient directeur f'(a).

📝 Exemple — tangente à f(x) = x² en x = 2

f(2) = 4. f'(x) = 2x donc f'(2) = 4.
Tangente : y = 4(x − 2) + 4 = 4x − 4.

📝 Exemple — tangente à f(x) = x³ − x en x = 1

f(1) = 1 − 1 = 0. f'(x) = 3x² − 1 donc f'(1) = 2.
Tangente : y = 2(x − 1) + 0 = 2x − 2.

💡 Tangente horizontale : Si f'(a) = 0, la tangente est horizontale : y = f(a). C’est une condition nécessaire (mais pas suffisante) pour que x = a soit un extremum local.

Section 03

Fonction dérivée

Fonction dérivée : La fonction dérivée de f, notée f’, associe à chaque réel a (où f est dérivable) le nombre dérivé f'(a). On dit que f est dérivable en a si la limite du taux d’accroissement existe et est finie.

En pratique, on calcule f’ en appliquant les règles de dérivation sans repasser par la définition limite — sauf si l’exercice le demande explicitement.

📘 Notations : La dérivée de f se note f’, y’, df/dx ou Df selon les contextes. Au lycée, on utilise principalement f'(x).

Section 04

Dérivées des fonctions usuelles

Ce tableau est à connaître par cœur — il est la base de tout calcul de dérivée.

Fonction f(x)	Dérivée f'(x)	Domaine de dérivabilité
k (constante)	0	ℝ
x	1	ℝ
xⁿ (n entier ≥ 1)	n·xⁿ⁻¹	ℝ
1/x = x⁻¹	−1/x²	ℝ*
√x = x^(1/2)	1 / (2√x)	]0 ; +∞[
eˣ	eˣ	ℝ
ln(x)	1/x	]0 ; +∞[
sin(x)	cos(x)	ℝ
cos(x)	−sin(x)	ℝ

✅ Cas particuliers importants :
(x²)’ = 2x · (x³)’ = 3x² · (x⁴)’ = 4x³ · (x⁻²)’ = −2x⁻³ = −2/x³

Section 05

Dérivée d’une somme et d’un produit par constante

(f + g)’ = f’ + g’ (k·f)’ = k·f’

Ces règles permettent de dériver terme à terme un polynôme ou toute combinaison linéaire de fonctions.

📝 Exemples

f(x) = 3x⁴ − 5x² + 7x − 2
f'(x) = 3·4x³ − 5·2x + 7·1 − 0 = 12x³ − 10x + 7

g(x) = 4√x − 3/x + 2eˣ
g'(x) = 4·(1/2√x) − 3·(−1/x²) + 2eˣ = 2/√x + 3/x² + 2eˣ

h(x) = 5sin(x) + 3cos(x)
h'(x) = 5cos(x) − 3sin(x)

Section 06

Dérivée d’un produit (u·v)’

(u·v)’ = u’·v + u·v’

💡 Mémo : « prime-normal + normal-prime ». On dérive le premier facteur (en laissant le second intact), puis on dérive le second (en laissant le premier intact), et on additionne.

📝 Exemple 1 — f(x) = (2x + 1)(x² − 3)

u = 2x + 1, u’ = 2 ; v = x² − 3, v’ = 2x.
f'(x) = 2(x² − 3) + (2x + 1)(2x)
= 2x² − 6 + 4x² + 2x = 6x² + 2x − 6
Vérification : f(x) = 2x³ − 6x + x² − 3 = 2x³ + x² − 6x − 3. f'(x) = 6x² + 2x − 6 ✓

📝 Exemple 2 — f(x) = x²·eˣ

u = x², u’ = 2x ; v = eˣ, v’ = eˣ.
f'(x) = 2x·eˣ + x²·eˣ = eˣ(2x + x²) = eˣ·x(x + 2)

📝 Exemple 3 — f(x) = (3x − 1)·ln(x) (x > 0)

u = 3x − 1, u’ = 3 ; v = ln(x), v’ = 1/x.
f'(x) = 3·ln(x) + (3x − 1)·(1/x) = 3ln(x) + (3x−1)/x

Section 07

Dérivée d’un quotient (u/v)’

(u/v)’ = (u’·v − u·v’) / v²

⚠️ Attention à l’ordre : c’est u’v moins uv’ (et non u’v + uv’). Le dénominateur est toujours v² (toujours positif). Valable là où v(x) ≠ 0.

📝 Exemple 1 — f(x) = (x² + 1) / (2x − 3)

u = x² + 1, u’ = 2x ; v = 2x − 3, v’ = 2.
f'(x) = [2x(2x − 3) − (x² + 1)·2] / (2x − 3)²
= [4x² − 6x − 2x² − 2] / (2x − 3)²
= (2x² − 6x − 2) / (2x − 3)²

📝 Exemple 2 — f(x) = eˣ / x (x ≠ 0)

u = eˣ, u’ = eˣ ; v = x, v’ = 1.
f'(x) = [eˣ·x − eˣ·1] / x² = eˣ(x − 1) / x² = eˣ(x−1) / x²

📝 Exemple 3 — retrouver (1/x)’ par la règle du quotient

f(x) = 1/x = 1/v avec u = 1, u’ = 0, v = x, v’ = 1.
f'(x) = (0·x − 1·1) / x² = −1/x² ✓

Section 08

Dérivée d’une fonction composée

Règle de la chaîne : Si h(x) = f(g(x)), alors h'(x) = g'(x) · f'(g(x)).
En pratique : on dérive « la fonction externe » évaluée en g(x), puis on multiplie par la dérivée de « la fonction interne » g(x).

Les cas les plus courants au lycée :

Forme	Dérivée
[u(x)]ⁿ	n·u'(x)·[u(x)]ⁿ⁻¹
√u(x)	u'(x) / (2√u(x))
e^u(x)	u'(x)·e^u(x)
ln(u(x))	u'(x) / u(x)
sin(u(x))	u'(x)·cos(u(x))
cos(u(x))	−u'(x)·sin(u(x))

📝 Exemples

f(x) = (3x² + 1)⁵ → u = 3x² + 1, u’ = 6x.
f'(x) = 5·6x·(3x² + 1)⁴ = 30x(3x² + 1)⁴

g(x) = √(2x + 5) → u = 2x + 5, u’ = 2.
g'(x) = 2 / (2√(2x + 5)) = 1 / √(2x + 5)

h(x) = e^(3x−1) → u = 3x − 1, u’ = 3.
h'(x) = 3e^(3x−1)

k(x) = ln(x² + 4) → u = x² + 4, u’ = 2x.
k'(x) = 2x / (x² + 4) = 2x/(x²+4)

Section 09

Signe de f’ et variations de f

Théorème fondamental : Soit f dérivable sur un intervalle I.
— Si f'(x) > 0 sur I, alors f est strictement croissante sur I.
— Si f'(x) < 0 sur I, alors f est strictement décroissante sur I.
— Si f'(x) = 0 sur I, alors f est constante sur I.

Méthode : dresser le tableau de variations

1. Calculer f'(x)
2. Étudier le signe de f'(x) (résoudre f'(x) = 0, puis faire un tableau de signes)
3. En déduire les variations de f
4. Calculer f aux valeurs remarquables (annulations de f’)

📝 Exemple complet — f(x) = x³ − 3x² + 1 sur ℝ

f'(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2)
f'(x) = 0 ⟺ x = 0 ou x = 2

Tableau de signes de f'(x) = 3x(x−2) :
— Sur ]−∞ ; 0[ : 3x < 0, (x−2) < 0 → f'(x) > 0
— Sur ]0 ; 2[ : 3x > 0, (x−2) < 0 → f'(x) < 0
— Sur ]2 ; +∞[ : 3x > 0, (x−2) > 0 → f'(x) > 0

f(0) = 1 ; f(2) = 8 − 12 + 1 = −3

x	−∞		0		2		+∞
f'(x)		+	0	−	0	+
f(x)		↗	1	↘	−3	↗

Conclusion : f admet un maximum local de 1 en x = 0, et un minimum local de −3 en x = 2.

Section 10

Extrema — maximum et minimum

Extremum local : f admet un maximum local en a si f(x) ≤ f(a) pour x au voisinage de a. f admet un minimum local en a si f(x) ≥ f(a) pour x au voisinage de a.

Comportement de f’ autour de a	Nature de f(a)
f’ change de + à − en a (f’ s’annule et change de signe)	Maximum local
f’ change de − à + en a (f’ s’annule et change de signe)	Minimum local
f’ s’annule en a mais ne change pas de signe	Ni max, ni min (point d’inflexion à tangente horizontale)

📝 Exemple — f(x) = x³ (extremum ou non ?)

f'(x) = 3x². f'(0) = 0 mais 3x² ≥ 0 pour tout x : f’ ne change pas de signe en 0.
x = 0 n’est pas un extremum — c’est un point d’inflexion à tangente horizontale (la courbe « passe à travers » la tangente).

📘 Extremum global sur [a;b] : sur un intervalle fermé borné, comparer les valeurs aux extrema locaux ET aux bornes f(a) et f(b). Le maximum global est la plus grande de toutes ces valeurs.

Section 11

Équation de la tangente — méthode complète

Rappel de la formule

Tangente en x = a : y = f'(a)·(x − a) + f(a)

📝 Exemple 1 — f(x) = x³ − 2x + 1, tangente en x = −1

f(−1) = −1 + 2 + 1 = 2.
f'(x) = 3x² − 2. f'(−1) = 3 − 2 = 1.
Tangente : y = 1·(x + 1) + 2 = x + 3.

📝 Exemple 2 — trouver le point de tangente de coefficient directeur 5 pour f(x) = x²+2x

f'(x) = 2x + 2. On cherche f'(a) = 5 ⟺ 2a + 2 = 5 ⟺ a = 3/2.
f(3/2) = 9/4 + 3 = 21/4.
Tangente : y = 5(x − 3/2) + 21/4 = 5x − 15/2 + 21/4 = 5x − 9/4.

📝 Exemple 3 — tangentes parallèles

f(x) = x³ et g(x) = 3x − 1 sont-elles parallèles quelque part ?
f'(x) = 3x² = pente de g = 3 ⟺ x² = 1 ⟺ x = 1 ou x = −1.
En x = 1 : tangente y = 3(x−1) + 1 = 3x − 2.
En x = −1 : tangente y = 3(x+1) − 1 = 3x + 2.

Section 12

Exercices types bac

📝 Exercice 1 — dériver f(x) = (x² − 3x + 2) / (x + 1)

u = x² − 3x + 2, u’ = 2x − 3 ; v = x + 1, v’ = 1.
f'(x) = [(2x−3)(x+1) − (x²−3x+2)·1] / (x+1)²
= [2x² + 2x − 3x − 3 − x² + 3x − 2] / (x+1)²
= [2x² − x − 3 − x² + 3x − 2] / (x+1)²
= (x² + 2x − 5) / (x+1)²

📝 Exercice 2 — étudier les variations de f(x) = 2x³ − 9x² + 12x − 3

f'(x) = 6x² − 18x + 12 = 6(x² − 3x + 2) = 6(x−1)(x−2).
f'(x) = 0 ⟺ x = 1 ou x = 2.
Signe : a = 6 > 0 → f'(x) > 0 sur ]−∞;1[, f'(x) < 0 sur ]1;2[, f'(x) > 0 sur ]2;+∞[.
f(1) = 2 − 9 + 12 − 3 = 2. f(2) = 16 − 36 + 24 − 3 = 1.
Maximum local : f(1) = 2. Minimum local : f(2) = 1.

📝 Exercice 3 — dériver f(x) = (2x+3)⁴

u = 2x + 3, u’ = 2. Forme [u]⁴ : f'(x) = 4·2·(2x+3)³ = 8(2x+3)³.

📝 Exercice 4 — dériver f(x) = x·e^(−x)

u = x, u’ = 1 ; v = e^(−x), v’ = −e^(−x).
f'(x) = 1·e^(−x) + x·(−e^(−x)) = e^(−x)(1 − x) = (1−x)e^(−x).
f'(x) = 0 ⟺ x = 1. f'(x) > 0 sur ]−∞;1[, f'(x) < 0 sur ]1;+∞[.
Maximum en x = 1 : f(1) = e^(−1) = 1/e.

📝 Exercice 5 — dériver f(x) = ln(x² + 1)

u = x² + 1, u’ = 2x. Forme ln(u) : f'(x) = 2x / (x² + 1) = 2x/(x²+1).
f'(x) = 0 ⟺ x = 0. f'(x) < 0 sur ]−∞;0[, f'(x) > 0 sur ]0;+∞[ → minimum en x=0 : f(0) = ln(1) = 0.

Section 13

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre nombre dérivé et fonction dérivée ?

Le nombre dérivé f'(a) est un nombre réel : c’est la valeur de la pente de la tangente en un point précis x = a. La fonction dérivée f’ est une fonction qui, à chaque x du domaine, associe ce nombre dérivé. On calcule d’abord f’ (la fonction), puis on évalue en un point particulier pour obtenir un nombre dérivé. Exemple : si f(x) = x², alors f'(x) = 2x est la fonction dérivée, et f'(3) = 6 est le nombre dérivé en x = 3.

Pourquoi utilise-t-on les dérivées pour étudier les variations ?

La dérivée mesure le taux de variation instantané de la fonction. Si f'(x) > 0, cela signifie que la fonction augmente localement (pente positive). Si f'(x) < 0, elle diminue (pente négative). Ce lien entre signe de f’ et monotonie de f est le théorème fondamental qui fait des dérivées l’outil principal pour étudier les variations de toute fonction dérivable.

f'(a) = 0 implique-t-il que f a un extremum en a ?

Non, f'(a) = 0 est une condition nécessaire mais pas suffisante. Si f’ s’annule en a et change de signe (de + à − ou de − à +), alors f a bien un extremum. Mais si f’ s’annule sans changer de signe (exemple : f(x) = x³ en x = 0), il s’agit d’un point d’inflexion à tangente horizontale — pas d’extremum.

Comment choisir entre la règle du produit et la règle de la composée ?

La règle du produit (u·v)’ = u’v + uv’ s’applique quand on a deux fonctions multipliées ensemble, chacune dépendant de x indépendamment. La règle de la composée (chaîne) s’applique quand une fonction est « imbriquée » dans une autre — f(g(x)). Exemple : x²·eˣ → produit. e^(x²) → composée (eˣ avec u = x²). Dans le doute, identifier quelle est la « fonction externe » et quelle est la « fonction interne ».

Peut-on toujours dériver une fonction continue ?

Non. Une fonction peut être continue sans être dérivable. L’exemple classique est f(x) = |x| en x = 0 : la courbe forme un angle (un « coin »), et la limite du taux d’accroissement donne +1 par la droite et −1 par la gauche — les deux limites sont différentes, donc f n’est pas dérivable en 0. En revanche, toute fonction dérivable est nécessairement continue.

Section 14

Erreurs fréquentes

Erreur	Correct
(u·v)’ = u’·v’	(u·v)’ = u’v + uv’ — ne pas oublier les deux termes
(u/v)’ = u’/v’	(u/v)’ = (u’v − uv’) / v²
Dériver (2x+1)⁵ → 5(2x+1)⁴ (oubli de la dérivée interne)	5 × 2 × (2x+1)⁴ = 10(2x+1)⁴ — toujours multiplier par u’
(eˣ²)’ = eˣ²	(e^(x²))’ = 2x·e^(x²) — multiplier par la dérivée de x²
(ln(3x))’ = 1/(3x)	(ln(3x))’ = 3/(3x) = 1/x — multiplier par 3 (dérivée de 3x)
f'(a) = 0 → f a un extremum en a	Nécessaire mais pas suffisant : vérifier le changement de signe de f’
Confondre la dérivée de x^n et de n^x	(xⁿ)’ = n·xⁿ⁻¹ (règle puissance) ≠ (nˣ)’ = ln(n)·nˣ (règle exponentielle)

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