Fonction Exponentielle : Cours Complet Terminale Spé Maths

Terminale spécialité maths — e^x, propriétés algébriques, dérivée, limites, équations

Term

Niveau

Spé maths

Matière

Sections

2026

Programme

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🏠 Hub Maths Lycée
ln Logarithme
📐 Dérivées (1ère)
♾️ Limites
📋 Formulaire maths

📋 Sommaire

1. Définition et nombre e
8. Croissances comparées
2. Propriétés algébriques
9. Fonction exponentielle de base a
3. Dérivée de e^x
10. Équations et inéquations
4. Dérivée de e^u(x)
11. Étude complète d’une fonction
5. Tableau de variations de e^x
12. Exercices types bac
6. Limites de e^x
7. Lien avec le logarithme népérien
13. Questions fréquentes

Section 01

Définition et nombre e

Définition : La fonction exponentielle, notée exp ou e^x, est l’unique fonction f définie sur ℝ vérifiant simultanément :
— f est dérivable sur ℝ et f ‘ = f (elle est égale à sa propre dérivée)
— f(0) = 1

📘 Le nombre e : e = exp(1) ≈ 2,71828… C’est un nombre irrationnel et transcendant, découvert par Euler. On a e^x = exp(x) pour tout réel x. Les notations exp(x) et e^x sont strictement équivalentes.

📝 Valeurs remarquables

x	−∞	−2	−1	0	1	2	3	+∞
e^x	→ 0⁺	≈ 0,135	≈ 0,368	1	e ≈ 2,718	e² ≈ 7,389	e³ ≈ 20,09	→ +∞

Section 02

Propriétés algébriques

Pour tous réels a et b :

Propriété	Formule	Exemple
Produit	e^a × e^b = e^a+b	e² × e³ = e⁵
Quotient	e^a / e^b = e^a−b	e⁵ / e² = e³
Puissance	(e^a)ⁿ = e^na	(e²)³ = e⁶
Inverse	1 / e^a = e^−a	1/e² = e⁻²
Valeur en 0	e⁰ = 1	e⁰ = 1 (toujours)
Stricte positivité	e^x > 0 pour tout x ∈ ℝ	e⁻¹⁰⁰⁰ > 0

✅ Conséquence importante : e^x ne s’annule jamais. On peut donc toujours diviser par e^x ou factoriser par e^x sans condition.

📝 Simplifications classiques

e^2x × e^−x = e^2x+(−x) = e^x

(e^x + 1) / e^x = 1 + e^−x (diviser chaque terme par e^x)

e^3x − e^x = e^x(e^2x − 1) (factoriser par e^x, terme de plus faible exposant)

√(e^x) = e^x/2

Section 03

Dérivée de e^x

(e^x)’ = e^x

📘 Propriété fondamentale : La fonction exponentielle est sa propre dérivée. C’est la seule fonction (à une constante multiplicative près) avec cette propriété. Elle est donc dérivable sur ℝ, de classe C∞ (infiniment dérivable), et toutes ses dérivées successives valent e^x.

📝 Dérivées avec les règles usuelles

f(x) = 3e^x : f'(x) = 3e^x.

f(x) = x·e^x : règle du produit → f'(x) = e^x + x·e^x = e^x(1 + x).

f(x) = e^x / x : règle du quotient → f'(x) = (e^x·x − e^x·1) / x² = e^x(x−1)/x².

f(x) = (e^x + 1)² : règle de la chaîne → f'(x) = 2(e^x+1)·e^x.

Section 04

Dérivée de e^u(x)

(e^u(x))’ = u'(x) · e^u(x)

C’est la règle de dérivation des fonctions composées appliquée à l’exponentielle.

📝 Exemples — dérivées de fonctions composées

f(x)	u(x)	u'(x)	f'(x) = u’·e^u
e^2x	2x	2	2e^2x
e^−x	−x	−1	−e^−x
e^x²	x²	2x	2x·e^x²
e^3x+1	3x+1	3	3e^3x+1
e^sin(x)	sin(x)	cos(x)	cos(x)·e^sin(x)
e^1/x	1/x	−1/x²	−(1/x²)·e^1/x
e^√x	√x	1/(2√x)	e^√x/(2√x)

💡 Méthode : Identifier u(x) (l’exposant), calculer u'(x), puis multiplier e^u(x) par u'(x). Ne jamais oublier le facteur u'(x) — c’est l’erreur la plus fréquente.

Section 05

Tableau de variations de e^x

x	−∞		+∞
f'(x) = e^x		+ (toujours positif)
f(x) = e^x	0⁺ ↗	↗	↗ +∞

Propriétés de la courbe :
— Strictement croissante sur ℝ (car e^x > 0 donc f’ > 0)
— Passe par (0 ; 1) : e⁰ = 1
— Tangente en 0 : y = x + 1 (car f'(0) = 1 et f(0) = 1)
— Courbe toujours au-dessus de l’axe des abscisses (e^x > 0)
— Courbe convexe (f » = e^x > 0) — courbure toujours tournée vers le haut

📘 Inégalité fondamentale : Pour tout réel x : e^x ≥ 1 + x (la courbe est au-dessus de sa tangente en 0). Égalité seulement en x = 0.

Section 06

Limites de e^x

Limite	Résultat	Interprétation
lim_x→+∞ e^x	+∞	Croissance vers +∞ plus rapide que tout polynôme
lim_x→−∞ e^x	0⁺	Asymptote horizontale y = 0 en −∞
lim_x→+∞ e^x/xⁿ	+∞	e^x l’emporte sur xⁿ (croissances comparées)
lim_x→−∞ xⁿ·e^x	0	e^x « écrase » xⁿ en −∞
lim_x→0 (e^x − 1)/x	1	Définition du nombre dérivé en 0 (f'(0) = 1)

📝 Formes indéterminées avec e^x

lim_x→+∞ (e^x − x²) :
Forme ∞ − ∞. Factoriser : e^x(1 − x²/e^x). Or x²/e^x → 0 (croissances comparées). Donc limite = +∞.

lim_x→−∞ (2x + 3)·e^x :
Forme −∞ × 0. Or xⁿ·e^x → 0 en −∞ quel que soit n → limite = 0.

lim_x→0 (e^3x − 1)/x :
= 3·(e^3x−1)/(3x) → 3 × 1 = 3 (car (e^u−1)/u → 1 quand u → 0).

Section 07

Lien avec le logarithme népérien

Fonctions réciproques : exp et ln sont des fonctions réciproques l’une de l’autre. Pour tout réel x et pour tout réel y > 0 :

e^ln(x) = x (x > 0) ln(e^x) = x (x ∈ ℝ)

📘 Symétrie graphique : Les courbes de exp et ln sont symétriques par rapport à la droite y = x (droite d’équation y = x). C’est la propriété géométrique des fonctions réciproques.

Propriété de ln	Propriété correspondante de exp
ln(ab) = ln a + ln b	e^a+b = e^a × e^b
ln(a/b) = ln a − ln b	e^a−b = e^a / e^b
ln(aⁿ) = n·ln a	(e^a)ⁿ = e^na
ln(1) = 0	e⁰ = 1
ln(e) = 1	e¹ = e

✅ Stricte croissance et bijectivité : e^x est strictement croissante sur ℝ et réalise une bijection de ℝ vers ]0 ; +∞[. Ainsi :
e^a = e^b ⟺ a = b e^a < e^b ⟺ a < b

Section 08

Croissances comparées

Théorèmes de croissances comparées : Pour tout entier n ≥ 1 :

lim_x→+∞ e^x / xⁿ = +∞ lim_x→−∞ xⁿ · e^x = 0

📘 Traduction : En +∞, l’exponentielle « l’emporte » sur toute puissance de x (elle croît plus vite). En −∞, l’exponentielle « écrase » toute puissance de x (elle converge vers 0 plus vite que xⁿ diverge).

📝 Applications

lim_x→+∞ x³/e^x : = lim e^x/x³ inversé → 1/(+∞) = 0.

lim_x→+∞ (x² + 3x)·e^−x : = lim (x²+3x)/e^x. Croissances comparées → 0.

lim_x→+∞ e^2x/x⁵ : Poser X = 2x → lim e^X/(X/2)⁵ = 32·lim e^X/X⁵ = +∞.

lim_x→−∞ (x² − x + 1)·e^x : Forme 0×∞ mais e^x écrase → 0.

Section 09

Fonction exponentielle de base a

Définition : Pour tout réel a > 0, la fonction exponentielle de base a est :
a^x = e^x·ln(a)

Base a	Comportement	Dérivée
a > 1	Strictement croissante (ex : 2^x, 10^x)	(a^x)’ = ln(a)·a^x
a = 1	Constante égale à 1	0
0 < a < 1	Strictement décroissante (ex : (1/2)^x)	(a^x)’ = ln(a)·a^x < 0

📝 Exemples

2^x = e^{x·ln 2}. Dérivée : ln(2)·2^x ≈ 0,693·2^x.

10^x = e^{x·ln 10}. Dérivée : ln(10)·10^x ≈ 2,303·10^x.

(1/2)^x = e^x·ln(1/2) = e^{−x·ln 2}. Décroissante car ln(1/2) < 0.

💡 Cas particulier important : (e^a)^x = e^ax. La base e est le cas a = e, pour lequel ln(a) = 1, ce qui explique que la dérivée de e^x soit e^x sans facteur multiplicatif.

Section 10

Équations et inéquations

Règle clé : e^x est strictement croissante et bijective, donc :
e^f(x) = e^g(x) ⟺ f(x) = g(x)
e^f(x) < e^g(x) ⟺ f(x) < g(x) (le sens de l’inégalité se conserve)

📝 Équations

e^2x−1 = e^x+3 :
⟺ 2x − 1 = x + 3 ⟺ x = 4.

e^x = 5 :
⟺ x = ln(5) ≈ 1,609.

e^2x − 3e^x + 2 = 0 :
Poser X = e^x (X > 0) : X² − 3X + 2 = 0 → (X−1)(X−2) = 0.
X = 1 → e^x = 1 → x = 0. X = 2 → e^x = 2 → x = ln 2.
Solutions : x = 0 ou x = ln 2.

e^x + e^−x = 3 :
Multiplier par e^x : (e^x)² − 3e^x + 1 = 0. X = (3±√5)/2. e^x > 0 → les deux valeurs sont positives.
x = ln((3+√5)/2) ou x = ln((3−√5)/2) = ±ln((3+√5)/2).

📝 Inéquations

e^3x−1 ≤ e² :
⟺ 3x − 1 ≤ 2 ⟺ 3x ≤ 3 ⟺ x ≤ 1.

e^x > 2x + 1 : (utiliser l’inégalité e^x ≥ 1+x n’est pas suffisant — étudier f(x) = e^x−2x−1)
f'(x) = e^x − 2. f'(x) = 0 → x = ln 2. f(ln 2) = 2 − 2ln 2 − 1 = 1 − 2ln 2 ≈ −0,386 < 0.
f admet un minimum négatif → l’inéquation n’est pas toujours vraie.

Section 11

Étude complète d’une fonction avec e^x

📝 Exemple complet — f(x) = (x−1)·e^x

1. Domaine : ℝ (exp et polynôme définis partout).

2. Dérivée :
f'(x) = 1·e^x + (x−1)·e^x = e^x(1 + x − 1) = x·e^x.

3. Signe de f'(x) :
e^x > 0 toujours. Donc signe de f'(x) = signe de x.
f'(x) < 0 sur ]−∞ ; 0[ et f'(x) > 0 sur ]0 ; +∞[.

4. Tableau de variations :

x	−∞		0		+∞
f'(x)		−	0	+
f(x)	0 ↘	↘	−1 (min)	↗	↗ +∞

f(0) = (0−1)·e⁰ = −1. Minimum global en x=0, valeur −1.

5. Limites :
lim_x→+∞ f(x) = +∞ (croissances comparées : xe^x → +∞).
lim_x→−∞ f(x) = lim (x−1)·e^x = 0 (croissances comparées). Asymptote y=0 en −∞.

6. Zéros : f(x) = 0 ⟺ (x−1)·e^x = 0 ⟺ x−1 = 0 (car e^x ≠ 0) ⟺ x = 1.

Section 12

Exercices types bac

📝 Exercice 1 — simplifier des expressions

Simplifier : A = e^3x × e^−x / e^x+2.
A = e^{3x+(−x)−(x+2)} = e^{3x−x−x−2} = e^x−2.

📝 Exercice 2 — équation du second degré en e^x

Résoudre e^2x − 5e^x + 6 = 0.
Poser X = e^x > 0 : X² − 5X + 6 = 0 → (X−2)(X−3) = 0.
X = 2 → x = ln 2. X = 3 → x = ln 3.
Solutions : x = ln 2 ou x = ln 3.

📝 Exercice 3 — étude de f(x) = e^−x²

Dérivée : u = −x², u’ = −2x → f'(x) = −2x·e^−x².
Signe : f'(x) > 0 si x < 0, f'(x) < 0 si x > 0.
Maximum en x = 0 : f(0) = e⁰ = 1.
lim_x→±∞ e^−x² = 0 (asymptote y=0 des deux côtés).
Fonction paire (f(−x) = e^−x² = f(x)) — courbe symétrique par rapport à Oy.

📝 Exercice 4 — limite avec forme indéterminée

Calculer lim_x→+∞ (e^x − x²) / e^x.
= lim (1 − x²/e^x) = 1 − 0 = 1 (croissances comparées : x²/e^x → 0).

📝 Exercice 5 — intégrale

Calculer ∫₀¹ (2x+1)·e^x²+x dx.
u = x²+x, u’ = 2x+1 → forme u’·e^u.
Primitive : e^x²+x. [e^x²+x]₀¹ = e² − e⁰ = e² − 1.

Section 13

Questions fréquentes

Pourquoi e^x ne s’annule-t-il jamais ?

Parce que e^x est définie comme la réciproque de ln, qui est définie uniquement sur ]0 ; +∞[. Formellement, e^x est la valeur de ln⁻¹(x), et ln n’est défini que pour des valeurs positives — son image réciproque ne peut donc être nulle. On peut aussi le voir ainsi : e^x × e^−x = e⁰ = 1 > 0, donc e^x et e^−x sont tous deux non nuls et de même signe. Comme e⁰ = 1 > 0 et que la fonction est continue, elle reste strictement positive sur tout ℝ.

Comment résoudre une équation du type e^2x + e^x − 6 = 0 ?

On remarque que e^2x = (e^x)², donc l’équation est un polynôme du second degré en e^x. On pose le changement de variable X = e^x (avec la contrainte X > 0). Ici : X² + X − 6 = 0 → (X+3)(X−2) = 0. X = −3 est rejeté car e^x > 0. X = 2 → e^x = 2 → x = ln 2. Cette technique fonctionne pour toute équation de la forme ae^2x + be^x + c = 0.

Quelle est la différence entre e^x et exp(x) ?

Aucune — ce sont deux notations strictement équivalentes pour la même fonction. exp(x) est la notation fonctionnelle, utile quand l’exposant est une expression complexe (par exemple exp(x²+2x−1) est plus lisible que e^x²+2x−1). e^x est la notation puissance, plus courante au lycée. Dans les deux cas, on désigne la même fonction exponentielle népérienne de base e ≈ 2,718.

Comment démontrer que e^x ≥ 1 + x pour tout réel x ?

On pose f(x) = e^x − 1 − x et on cherche à montrer f(x) ≥ 0. f'(x) = e^x − 1. f'(x) = 0 ⟺ x = 0. f'(x) < 0 sur ]−∞ ; 0[ et f'(x) > 0 sur ]0 ; +∞[, donc f admet un minimum en x = 0. f(0) = e⁰ − 1 − 0 = 0. Conclusion : f(x) ≥ f(0) = 0 pour tout x ∈ ℝ, soit e^x ≥ 1 + x, avec égalité uniquement en x = 0. Cette inégalité est très utile pour démontrer des encadrements ou résoudre des problèmes d’optimisation.

Pourquoi dit-on que l’exponentielle « l’emporte » sur les polynômes en +∞ ?

Cela signifie que e^x croît plus vite que xⁿ pour n’importe quel entier n, si grand soit-il. Formellement : lim_x→+∞ e^x/xⁿ = +∞. On peut le démontrer par récurrence en utilisant la règle de L’Hôpital, ou en observant que le développement en série de e^x = 1 + x + x²/2! + … + xⁿ/n! + … contient xⁿ/n! comme terme, donc e^x > xⁿ/n!, d’où e^x/xⁿ > 1/n! → +∞. En pratique au bac, on l’applique sans démonstration en citant le théorème des croissances comparées.

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