Puissances de 10 et
Notation Scientifique
Cours 4e · Très grands et très petits nombres · Règles de calcul · Conversion · Exercices corrigés
1. Puissances de 10
Une puissance de 10 s’écrit 10ⁿ où n est un entier (positif, négatif ou nul).
10⁰ = 1
10⁻ⁿ = 1/10ⁿ (si n > 0)
| Puissance | Valeur | Nom | Exemple |
|---|---|---|---|
| 10⁶ | 1 000 000 | million | 1 million d’habitants |
| 10³ | 1 000 | millier | 1 km = 10³ m |
| 10² | 100 | centaine | 1 m² = 10⁴ cm² |
| 10¹ | 10 | dizaine | — |
| 10⁰ | 1 | unité | tout nombre à la puissance 0 vaut 1 |
| 10⁻¹ | 0,1 | dixième | 1 dm = 10⁻¹ m |
| 10⁻² | 0,01 | centième | 1 cm = 10⁻² m |
| 10⁻³ | 0,001 | millième | 1 mm = 10⁻³ m |
| 10⁻⁶ | 0,000 001 | millionième | 1 µm = 10⁻⁶ m |
| 10⁻⁹ | 0,000 000 001 | milliardième | 1 nm = 10⁻⁹ m |
2. Règles de calcul avec les puissances de 10
10ᵃ ÷ 10ᵇ = 10^(a−b) (division → on soustrait les exposants)
(10ᵃ)ᵇ = 10^(a×b) (puissance → on multiplie les exposants)
10³ × 10⁴ = 10^(3+4) = 10⁷
10⁵ × 10⁻² = 10^(5+(−2)) = 10³
10⁻³ × 10⁻⁴ = 10^(−3+(−4)) = 10⁻⁷
10⁶ ÷ 10² = 10^(6−2) = 10⁴
10³ ÷ 10⁵ = 10^(3−5) = 10⁻²
10⁻¹ ÷ 10⁻⁴ = 10^(−1−(−4)) = 10^(3) = 10³
(10²)³ = 10^(2×3) = 10⁶
(10⁻²)⁴ = 10^(−2×4) = 10⁻⁸
3. Notation scientifique
Un nombre est écrit en notation scientifique quand il s’écrit sous la forme a × 10ⁿ où 1 ≤ a < 10 et n est un entier relatif.
3,5 × 10⁴ ✓ (3,5 est entre 1 et 10)
1,07 × 10⁻³ ✓
9,99 × 10⁶ ✓
Formes NON valides :
35 × 10³ ✗ (35 > 10 → écrire 3,5 × 10⁴)
0,5 × 10² ✗ (0,5 < 1 → écrire 5 × 10¹)
4. Convertir en notation scientifique
Grand nombre → notation scientifique
456 000
Virgule après 4 → 4,56 · déplacée de 5 rangs vers la gauche → 4,56 × 10⁵
3 000 000 000
→ 3,0 · déplacée de 9 rangs → 3 × 10⁹
78 400
→ 7,84 · déplacée de 4 rangs → 7,84 × 10⁴
Petit nombre (décimal) → notation scientifique
0,000 45
Premier chiffre significatif : 4 → 4,5 · virgule déplacée de 4 rangs vers la droite → 4,5 × 10⁻⁴
0,003 7
→ 3,7 · déplacée de 3 rangs → 3,7 × 10⁻³
0,000 000 8
→ 8,0 · déplacée de 7 rangs → 8 × 10⁻⁷
Grand nombre → virgule va à gauche → exposant positif
Petit nombre → virgule va à droite → exposant négatif
5. Calculer en notation scientifique
(3 × 10⁴) × (2 × 10³)
= (3×2) × 10^(4+3) = 6 × 10⁷ → 6 × 10⁷
(4 × 10⁵) × (3 × 10⁻²)
= 12 × 10^(5+(−2)) = 12 × 10³
12 > 10 → ajuster : 12 = 1,2 × 10¹ → 1,2 × 10¹ × 10³ = 1,2 × 10⁴
(8 × 10⁶) ÷ (2 × 10²)
= (8÷2) × 10^(6−2) = 4 × 10⁴
(5 × 10³) + (3 × 10³)
= (5+3) × 10³ = 8 × 10³
(Addition possible car même exposant)
6. Exemples concrets — Sciences
| Grandeur | Valeur | Notation scientifique |
|---|---|---|
| Vitesse de la lumière | 300 000 000 m/s | 3 × 10⁸ m/s |
| Distance Terre-Soleil | 150 000 000 km | 1,5 × 10⁸ km |
| Masse de la Terre | 5 970 000 000 000 000 000 000 000 kg | 5,97 × 10²⁴ kg |
| Taille d’un globule rouge | 0,000 008 m | 8 × 10⁻⁶ m |
| Taille d’un atome d’hydrogène | 0,000 000 000 1 m | 10⁻¹⁰ m |
| Masse d’un électron | 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 91 kg | 9,1 × 10⁻³¹ kg |
7. Erreurs classiques
45 000 = 45 × 10³
45 > 10 → le significande doit être entre 1 et 10.
45 000 = 4,5 × 10⁴
4,5 est bien entre 1 et 10.
0,003 = 3 × 10³
Petit nombre → exposant négatif, pas positif.
0,003 = 3 × 10⁻³
Virgule déplacée de 3 rangs vers la droite → exposant −3.
10³ × 10⁴ = 10¹²
On a multiplié les exposants au lieu de les additionner.
10³ × 10⁴ = 10⁷
Multiplication → on additionne : 3+4=7.
8. Exercices corrigés
b) 10^(6−(−2)) = 10^8 = 10⁸
c) 10^(3×2) = 10⁶
d) 10^(−5+5) = 10⁰ = 1
b) 4,2 × 10⁻⁵
c) 8,5 × 10⁹
d) 7 × 10⁻⁷
a) (2 × 10³) × (4 × 10⁵) b) (6 × 10⁸) ÷ (3 × 10³) c) (5 × 10⁴)²
b) 2 × 10^(8−3) = 2 × 10⁵
c) 5² × 10^(4×2) = 25 × 10⁸ = 2,5 × 10¹ × 10⁸ = 2,5 × 10⁹
= (3,84 ÷ 3) × 10^(8−8)
= 1,28 × 10⁰ = 1,28 secondes