Simplifier une Fraction
Cours 6e – 5e · Fraction irréductible, PGCD, critères de divisibilité · Méthode pas à pas
📌 Pourquoi simplifier ? Une fraction simplifiée est plus lisible et obligatoire au brevet. Simplifier = diviser numérateur ET dénominateur par un même entier sans changer la valeur de la fraction.
1. Principe de la simplification
📐 Règle fondamentale
(a × k) / (b × k) = a/b
On peut diviser numérateur et dénominateur par un même nombre k sans changer la valeur.
Exemples
6/8 → ÷2 → 3/4
15/25 → ÷5 → 3/5
12/18 → ÷6 → 2/3
⚠️ On ne divise que si le diviseur divise exactement numérateur ET dénominateur (sans reste).
2. Fraction irréductible
Une fraction est irréductible quand on ne peut plus la simplifier : le PGCD du numérateur et du dénominateur est égal à 1.
📐 Définition
a/b est irréductible si PGCD(a, b) = 1
PGCD = Plus Grand Commun Diviseur. Si PGCD = 1, aucun simplification possible.
Vérification
3/4 → diviseurs de 3 : 1,3 · de 4 : 1,2,4 → PGCD=1 → irréductible ✓
6/9 → PGCD(6,9)=3 → 6÷3=2, 9÷3=3 → 2/3 (irréductible)
3. Méthode avec le PGCD
📋 Méthode en 3 étapes
1
Calculer le PGCD du numérateur et du dénominateur.
2
Diviser numérateur ET dénominateur par ce PGCD.
3
Vérifier que la fraction obtenue est irréductible (PGCD = 1).
Exemple complet — Simplifier 24/36
Diviseurs de 24 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Diviseurs de 36 : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
PGCD(24, 36) = 12
24÷12 = 2 | 36÷12 = 3
PGCD(2,3) = 1 ✓ → 24/36 = 2/3
Simplification par étapes successives
Sans calculer le PGCD, on peut simplifier plusieurs fois par de petits diviseurs.
Exemple — 48/72 par étapes
48/72 → ÷2 → 24/36 → ÷2 → 12/18 → ÷2 → 6/9 → ÷3 → 2/3
Ou directement : PGCD(48,72)=24 → 2/3 en une étape
4. Critères de divisibilité
÷2
Divisible par 2
dernier chiffre pair (0,2,4,6,8)
÷3
Divisible par 3
somme des chiffres divisible par 3
÷5
Divisible par 5
dernier chiffre 0 ou 5
÷4
Divisible par 4
2 derniers chiffres divisibles par 4
÷9
Divisible par 9
somme des chiffres divisible par 9
÷10
Divisible par 10
dernier chiffre est 0
Application — Simplifier 45/75
45 et 75 → dernier chiffre 5 → tous deux divisibles par 5
45÷5=9, 75÷5=15 → 9/15
9 et 15 → divisibles par 3 → 9÷3=3, 15÷3=5 → 3/5
5. Tableau — Fractions courantes simplifiées
| Fraction | PGCD | Forme irréductible |
|---|
| 2/4 | 2 | 1/2 |
| 4/6 | 2 | 2/3 |
| 6/8 | 2 | 3/4 |
| 6/9 | 3 | 2/3 |
| 10/15 | 5 | 2/3 |
| 12/16 | 4 | 3/4 |
| 15/20 | 5 | 3/4 |
| 24/36 | 12 | 2/3 |
6. Erreurs classiques
❌ Faux
6/8 = 3/6
On a divisé le numérateur par 2 mais pas le dénominateur correctement (8÷2=4, pas 6).
✅ Correct
6/8 = 3/4
6÷2=3 ET 8÷2=4. On divise les deux par le même nombre.
❌ Faux
5/8 simplifiée = 1/3
PGCD(5,8)=1 : cette fraction est déjà irréductible.
✅ Correct
5/8 est irréductible
5 et 8 n’ont aucun diviseur commun > 1. Rien à simplifier.
7. Exercices corrigés
Exercice 1 — Simplification (6e)
Simplifier : a) 4/6 b) 9/12 c) 15/25 d) 8/20
a) PGCD(4,6)=2 → 2/3
b) PGCD(9,12)=3 → 3/4
c) PGCD(15,25)=5 → 3/5
d) PGCD(8,20)=4 → 2/5
Exercice 2 — Irréductible ou pas ? (6e)
a) 3/7 b) 6/10 c) 11/13 d) 14/21
a) PGCD(3,7)=1 → irréductible ✓
b) PGCD(6,10)=2 → 6/10 = 3/5
c) PGCD(11,13)=1 → irréductible ✓
d) PGCD(14,21)=7 → 14/21 = 2/3
Exercice 3 — Grands nombres (5e)
Simplifier : a) 36/48 b) 45/60 c) 84/126
a) PGCD(36,48)=12 → 3/4
b) PGCD(45,60)=15 → 3/4
c) PGCD(84,126)=42 → 2/3
Questions fréquentes
Comment simplifier une fraction ?
On divise numérateur ET dénominateur par leur PGCD. Ex : 12/18 → PGCD=6 → 2/3.
C’est quoi une fraction irréductible ?
Une fraction dont PGCD(numérateur, dénominateur) = 1. On ne peut plus la simplifier. Ex : 3/4, 5/7.
Comment savoir si une fraction est simplifiable ?
Si numérateur et dénominateur ont un diviseur commun > 1. Les critères de divisibilité (÷2, ÷3, ÷5) aident à le repérer.
Comment calculer le PGCD ?
On liste les diviseurs des deux nombres et on prend le plus grand commun. Ou algorithme d’Euclide : diviser le grand par le petit, prendre le reste, recommencer jusqu’à 0.
Peut-on diviser numérateur et dénominateur par des nombres différents ?
Non. On doit toujours diviser par le même nombre pour ne pas changer la valeur de la fraction.
