Suites Numériques : Cours Complet Terminale Spé Maths

Terminale spécialité maths — suites arithmétiques, géométriques, récurrentes, convergence, récurrence

Term
Niveau
Spé maths
Matière
14
Sections
2026
Programme
📚 Navigation
🏠 Hub Maths Lycée
♾️ Limites
e Exponentielle
🎲 Probabilités
📋 Formulaire maths
📋 Sommaire

1. Définitions et modes de définition
8. Suites et fonctions — lien
2. Suites arithmétiques
9. Convergence et limite d’une suite
3. Suites géométriques
10. Suites monotones et bornées
4. Somme des termes — arithmétique
11. Suites récurrentes — point fixe
5. Somme des termes — géométrique
12. Raisonnement par récurrence
6. Suites arithmético-géométriques
13. Exercices types bac
7. Suites récurrentes un+1 = f(un)
14. Questions fréquentes

Section 01

Définitions et modes de définition

Suite numérique : Une suite (un) est une fonction de ℕ (ou d’une partie de ℕ) vers ℝ. On note un le terme d’indice n (le n-ième terme). L’indice de départ est souvent 0 ou 1.

📋 Forme explicite

un est directement exprimé en fonction de n.

Exemples :
un = 2n + 3
un = n²
un = (−1)ⁿ/n
un = 3ⁿ

🔄 Forme par récurrence

un+1 est exprimé en fonction de un (et d’une condition initiale).

Exemples :
u0=1 ; un+1 = un + 5
u1=2 ; un+1 = 3un
u0=0 ; un+1 = un² + 1

📘 Sens de variation :
— Suite croissante : un+1 − un > 0 pour tout n, ou un+1/un > 1 si suite positive
— Suite décroissante : un+1 − un < 0 pour tout n, ou un+1/un < 1 si suite positive
— Suite bornée : ∃ M > 0 tel que |un| ≤ M pour tout n

Section 02

Suites arithmétiques

Définition : Une suite (un) est arithmétique de raison r si pour tout n : un+1 = un + r. La raison r est la différence constante entre deux termes consécutifs : r = un+1 − un.
PropriétéFormule
Terme généralun = u0 + n·r   ou   un = up + (n−p)·r
Somme de p+1 termes consécutifsu0 + u1 + … + up = (p+1) × (u0+up)/2
Sens de variationCroissante si r > 0 ; décroissante si r < 0 ; constante si r = 0
LimiteSi r > 0 : lim un = +∞ ; si r < 0 : lim un = −∞
📝 Exemples

u0 = 3, r = 5 : un = 3 + 5n. u10 = 53. Somme u0+…+u9 = 10×(3+48)/2 = 255.

Reconnaître une suite arithmétique : un = 4n − 1. un+1 − un = 4(n+1)−1 − (4n−1) = 4. Raison r = 4.

Trouver u1 sachant u5 = 17 et r = −2 : u5 = u1 + 4r → 17 = u1 − 8 → u1 = 25.

Section 03

Suites géométriques

Définition : Une suite (un) est géométrique de raison q (q ≠ 0) si pour tout n : un+1 = q·un. Le rapport de deux termes consécutifs est constant : q = un+1/un.
PropriétéFormule
Terme généralun = u0 × qⁿ   ou   un = up × qⁿ⁻ᵖ
Somme de n+1 termes (q ≠ 1)u0 + u1 + … + un = u0 × (1−qⁿ⁺¹)/(1−q)
Cas q = 1Somme = (n+1)·u0
Limite si |q| < 1lim un = 0
Limite si |q| > 1lim |un| = +∞
Limite si q = 1lim un = u0 (constante)
Limite si q = −1Pas de limite (oscillation)
📝 Exemples

u0 = 2, q = 3 : un = 2×3ⁿ. u4 = 2×81 = 162.

Somme u0+…+u5 avec u0=1, q=2 :
S = 1×(1−2⁶)/(1−2) = (1−64)/(−1) = 63.

Suite géométrique avec u2=12 et u5=96 :
u5/u2 = q³ = 96/12 = 8 → q = 2. u0 = u2/q² = 12/4 = 3.

Section 04

Somme des termes — suite arithmétique

S = up + up+1 + … + un = (n−p+1) × (up + un) / 2
📘 Mémo : nombre de termes × moyenne du premier et du dernier terme.
Nombre de termes de up à un = n − p + 1 (attention : ne pas oublier le +1).
📝 Exemples

Somme 1 + 2 + 3 + … + n :
Suite arithmétique uk = k, r=1, de u1 à un. S = n×(1+n)/2 = n(n+1)/2.
Pour n=100 : S = 100×101/2 = 5 050.

Somme 5 + 8 + 11 + … + 50 :
u0=5, r=3. un=5+3n=50 → n=15. Nombre de termes = 16.
S = 16×(5+50)/2 = 16×27,5 = 440.

Somme des entiers pairs de 2 à 2n :
S = 2+4+…+2n = 2(1+2+…+n) = 2×n(n+1)/2 = n(n+1).

Section 05

Somme des termes — suite géométrique

S = u0(1 + q + q² + … + qⁿ) = u0 × (1 − qⁿ⁺¹) / (1 − q)   (q ≠ 1)
📘 Formule clé à mémoriser : 1 + q + q² + … + qⁿ = (1 − qⁿ⁺¹)/(1 − q)
Astuce mnémotechnique : « un moins le terme suivant, sur un moins la raison ».
📝 Exemples

S = 1 + 2 + 4 + … + 2¹⁰ :
q=2, n=10. S = (1−2¹¹)/(1−2) = (1−2048)/(−1) = 2 047.

S = 3 + 3×0,9 + 3×0,9² + … + 3×0,9⁹ :
u0=3, q=0,9, n=9. S = 3×(1−0,9¹⁰)/(1−0,9) = 3×(1−0,9¹⁰)/0,1 ≈ 3×6,513 ≈ 19,54.

Somme infinie (|q| < 1) :
1 + 1/2 + 1/4 + … = lim (1−(1/2)ⁿ⁺¹)/(1−1/2) = 1/(1/2) = 2.

Section 06

Suites arithmético-géométriques

Définition : Suite de la forme un+1 = a·un + b avec a ≠ 0, a ≠ 1 et b ≠ 0. Elle combine une composante géométrique et une composante constante.
✅ Méthode de résolution — point fixe :
1. Trouver le point fixe l tel que l = al + b → l = b/(1−a)
2. Poser vn = un − l
3. Montrer que vn+1 = a·vn → (vn) est géométrique de raison a
4. En déduire vn = v0·aⁿ puis un = vn + l
📝 Exemple — un+1 = 2un + 3, u0 = 1

1. Point fixe : l = 2l + 3 → −l = 3 → l = −3.
2. Changement : vn = un − (−3) = un + 3.
3. Vérification : vn+1 = un+1+3 = 2un+3+3 = 2(un+3) = 2vn. Suite géométrique de raison 2.
4. Terme général : v0 = u0+3 = 4. vn = 4×2ⁿ.
un = vn − 3 = 4×2ⁿ − 3 = 2ⁿ⁺² − 3.
Vérification : u1 = 8−3 = 5 = 2×1+3 ✓.

Section 07

Suites récurrentes un+1 = f(un)

📘 Représentation graphique : Pour étudier un+1 = f(un), on trace la courbe de f et la droite y = x. La suite se lit par la méthode de la « toile d’araignée » : depuis (u0, 0), monter verticalement jusqu’à la courbe, puis horizontalement jusqu’à la droite y=x, ce qui donne u1 sur l’axe des abscisses, et ainsi de suite.
📝 Exemple — un+1 = √un, u0 = 4

f(x) = √x. Points fixes : x = √x → x = 0 ou x = 1.
u0=4, u1=2, u2=√2≈1,41, u3≈1,19, u4≈1,09… → suite décroissante convergeant vers 1.

📝 Exemple — un+1 = un² − 1, u0 = 0,5

u0=0,5, u1=−0,75, u2=−0,4375, u3≈−0,809…
La suite oscille — comportement à analyser graphiquement.

Section 08

Suites et fonctions — lien

Méthode : Si un = f(n) pour une fonction f dérivable, le sens de variation de (un) se déduit du signe de f ‘(x) sur [0 ; +∞[, et la limite de (un) se déduit de limx→+∞ f(x).
📝 Exemples

un = n/(n+1) :
f(x) = x/(x+1). f'(x) = 1/(x+1)² > 0 → suite croissante.
lim f(x) = 1 → lim un = 1.

un = ne⁻ⁿ :
f(x) = xe⁻ˣ. f'(x) = e⁻ˣ(1−x). f'(x) < 0 pour x > 1 → suite décroissante pour n ≥ 2.
Croissances comparées : lim ne⁻ⁿ = 0.

un = ln(n)/n :
f'(x) = (1−ln x)/x² < 0 pour x > e → suite décroissante pour n ≥ 3.
lim ln(x)/x = 0 (croissances comparées) → lim un = 0.

Section 09

Convergence et limite d’une suite

Convergence : Une suite (un) converge vers L ∈ ℝ si limn→+∞ un = L. On dit que la suite est convergente et que L est sa limite.
Une suite qui n’est pas convergente est divergente (elle tend vers ±∞ ou oscille sans limite).
ThéorèmeÉnoncé
Suite croissante et majoréeConverge (vers un réel ≤ borne supérieure)
Suite décroissante et minoréeConverge (vers un réel ≥ borne inférieure)
GendarmesSi un ≤ wn ≤ vn et un, vn → L, alors wn → L
Suite géométrique|q| < 1 → un → 0  ;  |q| > 1 → diverge  ;  q=1 → un=u0
📝 Exemple — convergence par monotonie + borne

u0=2, un+1=√(un+2). Montrer que (un) converge.
Étape 1 — Borne : Montrons par récurrence que un ≤ 2 pour tout n.
u0=2 ✓. Si un ≤ 2 : un+1=√(un+2) ≤ √(2+2)=2 ✓.
Étape 2 — Monotonie : un+1−un = √(un+2)−un. f(x)=√(x+2)−x. f'(x)=1/(2√(x+2))−1 < 0 pour x > … montrer que f(x) > 0 sur [0;2] : f(0)=√2>0, f(2)=0. Pour x∈[0;2[ : f(x)>0 → un+1>un. Suite croissante et majorée par 2 → converge.
Étape 3 — Limite : Si L=lim un, alors L=√(L+2) → L²=L+2 → L²−L−2=0 → (L−2)(L+1)=0. L=2 (car L≥0). Limite = 2.

Section 10

Suites monotones et bornées

✅ Méthodes pour montrer la monotonie :
Méthode 1 — Différence : Calculer un+1 − un et étudier son signe.
Méthode 2 — Rapport : Si un > 0, calculer un+1/un et comparer à 1.
Méthode 3 — Fonction : Si un=f(n), étudier le signe de f'(x) sur [0;+∞[.
📝 Exemple — méthode différence

un = n² − 3n + 1. Étudier la monotonie.
un+1 − un = (n+1)²−3(n+1)+1 − (n²−3n+1) = n²+2n+1−3n−3+1−n²+3n−1 = 2n−2 = 2(n−1).
Ce signe est négatif pour n=0 (−2<0), nul pour n=1, positif pour n≥2. Suite décroissante puis croissante — minimum en n=1.

📝 Exemple — méthode rapport

un = 3ⁿ/n! (un > 0). Étudier la monotonie pour n ≥ 3.
un+1/un = [3ⁿ⁺¹/(n+1)!] / [3ⁿ/n!] = 3/(n+1).
Pour n ≥ 3 : 3/(n+1) ≤ 3/4 < 1 → un+1 < un → suite décroissante pour n ≥ 3.

Section 11

Suites récurrentes — point fixe et limite

Point fixe de f : Un réel L est un point fixe de f si f(L) = L. Si la suite un+1=f(un) converge vers L, alors L est nécessairement un point fixe de f (par passage à la limite dans la relation de récurrence).
💡 Attention : Trouver le point fixe ne suffit pas à prouver la convergence. Il faut aussi montrer la monotonie et le bornage (ou utiliser le théorème des suites monotones bornées).
📝 Méthode complète — u0=0, un+1=(un+4)/3

Point fixe : L=(L+4)/3 → 3L=L+4 → L=2.
Changement vn=un−2 : vn+1=un+1−2=(un+4)/3−2=(un−2)/3=vn/3.
Suite géométrique de raison 1/3 : vn=v0×(1/3)ⁿ=(0−2)×(1/3)ⁿ=−2×(1/3)ⁿ.
un=vn+2=2−2×(1/3)ⁿ. Limite : lim un=2 (car (1/3)ⁿ→0).

Section 12

Raisonnement par récurrence

Principe : Pour démontrer qu’une propriété P(n) est vraie pour tout n ≥ n₀, on procède en deux étapes :
1. Initialisation : Vérifier que P(n₀) est vraie.
2. Hérédité : Supposer P(n) vraie (hypothèse de récurrence) et démontrer que P(n+1) est alors vraie.
Conclusion : Par le principe de récurrence, P(n) est vraie pour tout n ≥ n₀.
📝 Exemple 1 — formule explicite

Démontrer que un = 2n+1 pour la suite u0=1, un+1=un+2.
Initialisation : P(0) : u0=1=2×0+1 ✓.
Hérédité : Supposons un=2n+1. Alors un+1=un+2=(2n+1)+2=2(n+1)+1. P(n+1) vraie ✓.
Conclusion : un=2n+1 pour tout n∈ℕ.

📝 Exemple 2 — inégalité

Démontrer que 2ⁿ ≥ n+1 pour tout n ≥ 0.
Initialisation : n=0 : 2⁰=1 ≥ 1 ✓.
Hérédité : Supposons 2ⁿ ≥ n+1.
2ⁿ⁺¹ = 2×2ⁿ ≥ 2(n+1) = 2n+2 = (n+1)+n+1 ≥ (n+1)+1 = n+2. ✓
Conclusion : 2ⁿ ≥ n+1 pour tout n∈ℕ.

📝 Exemple 3 — bornage dans une récurrence

Démontrer que 0 ≤ un ≤ 1 pour tout n, avec u0=0,5 et un+1=un².
Initialisation : 0 ≤ 0,5 ≤ 1 ✓.
Hérédité : Supposons 0 ≤ un ≤ 1. Alors un+1=un² ≥ 0 ✓. Et un+1=un² ≤ 1²=1 ✓.
Conclusion : 0 ≤ un ≤ 1 pour tout n∈ℕ.

Section 13

Exercices types bac

📝 Exercice 1 — suite géométrique et somme

Un capital de 1 000 € est placé à 2 % d’intérêts annuels. Quelle somme obtient-on après 10 ans ?
un = 1000 × 1,02ⁿ. u10 = 1000 × 1,02¹⁰ ≈ 1000 × 1,2190 = 1 219 €.

📝 Exercice 2 — suite arithmético-géométrique

u0=5, un+1=0,5un+3. Trouver la limite.
Point fixe : L=0,5L+3 → 0,5L=3 → L=6.
vn=un−6 : vn+1=0,5vn. Suite géom. raison 0,5. v0=−1.
vn=−(0,5)ⁿ → un=6−(0,5)ⁿ. lim un = 6.

📝 Exercice 3 — récurrence et convergence

u0=0, un+1=√(2un+3). Montrer que (un) est croissante, majorée par 3, et trouver sa limite.
Initialisation borne : u0=0≤3 ✓. Si un≤3 : un+1=√(2un+3)≤√(9)=3 ✓.
Monotonie : un+1²−un² = 2un+3−un² = −(un²−2un−3) = −(un−3)(un+1). Pour un∈[0;3] : (un−3)≤0 et (un+1)>0 → produit ≤ 0 → un+1²≥un² → un+1≥un ✓.
Croissante, majorée → converge. Point fixe : L=√(2L+3) → L²=2L+3 → (L−3)(L+1)=0. L=3 (L≥0).
Limite = 3.

📝 Exercice 4 — raisonnement par récurrence

Montrer que pour tout n ≥ 1 : 1 + 3 + 5 + … + (2n−1) = n².
Init : n=1 : 1 = 1² ✓.
Hérédité : Supposons 1+3+…+(2n−1)=n². Alors 1+3+…+(2n−1)+(2(n+1)−1) = n²+(2n+1) = (n+1)² ✓.
La somme des n premiers entiers impairs vaut n².

Section 14

Questions fréquentes

Comment distinguer suite arithmétique et suite géométrique ?
La distinction clé : dans une suite arithmétique, on ajoute une constante (la raison r) à chaque terme : un+1 = un + r. La différence un+1−un est constante. Dans une suite géométrique, on multiplie par une constante (la raison q) : un+1 = q·un. Le rapport un+1/un est constant. Pour reconnaître le type d’une suite donnée explicitement, calculer u1−u0 et u2−u1 (arithmétique si égaux), ou u1/u0 et u2/u1 (géométrique si égaux).

Pourquoi la formule de la somme géométrique est-elle (1−qⁿ⁺¹)/(1−q) et non (1−qⁿ)/(1−q) ?
La formule S = 1 + q + q² + … + qⁿ contient n+1 termes (de q⁰ à qⁿ inclus). Le dernier exposant est n, donc le numérateur contient qⁿ⁺¹ (la puissance suivant le dernier terme). La démonstration : poser S et qS, puis qS−S = qⁿ⁺¹−1, d’où S(q−1) = qⁿ⁺¹−1, soit S = (qⁿ⁺¹−1)/(q−1) = (1−qⁿ⁺¹)/(1−q). L’erreur fréquente est de mettre qⁿ au lieu de qⁿ⁺¹ — toujours vérifier le nombre de termes : de 1 à qⁿ, il y a n+1 termes.

Comment trouver la limite d’une suite récurrente un+1 = f(un) ?
La méthode comporte trois étapes. D’abord, montrer que la suite converge (monotone bornée, ou autre théorème). Ensuite, passer à la limite dans la relation de récurrence : si lim un = L, alors lim un+1 = L aussi, donc L = f(L). Enfin, résoudre f(L) = L pour trouver les points fixes candidats, et sélectionner celui qui est cohérent avec les valeurs initiales et le domaine. Attention : ne pas sauter l’étape de convergence — on ne peut passer à la limite que si on sait que la limite existe.

Quelle est la structure d’une démonstration par récurrence au bac ?
Une récurrence au bac doit obligatoirement comporter quatre éléments clairement identifiés : (1) Énoncé de la propriété P(n) à démontrer ; (2) Initialisation : vérifier P(n₀) explicitement (souvent n₀=0 ou 1) ; (3) Hérédité : écrire « supposons P(n) vraie pour un certain n ≥ n₀ » (hypothèse de récurrence), puis démontrer P(n+1) en utilisant cette hypothèse ; (4) Conclusion : « Par le principe de récurrence, P(n) est vraie pour tout n ≥ n₀ ». Chaque étape manquante coûte des points — la rigueur de la rédaction est évaluée.

Une suite bornée est-elle nécessairement convergente ?
Non — une suite bornée n’est pas nécessairement convergente. Contre-exemple classique : un = (−1)ⁿ est bornée (|un| = 1) mais oscille entre 1 et −1 sans jamais converger. Le théorème exact est : toute suite monotone ET bornée est convergente. La monotonie est indispensable. Sans monotonie, la suite peut osciller indéfiniment dans son intervalle de bornage.

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