Limites de Fonctions : Cours Complet Terminale Spé Maths

Terminale spécialité maths — limites finies et infinies, formes indéterminées, asymptotes, continuité

Term

Niveau

Spé maths

Matière

Sections

2026

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📋 Sommaire

1. Limite finie en un point
8. Lever les formes indéterminées
2. Limite infinie en un point
9. Asymptotes obliques
3. Limites en l’infini
10. Continuité et prolongement
4. Opérations sur les limites
11. Théorème des valeurs intermédiaires
5. Formes indéterminées
12. Théorème des gendarmes
6. Limites des fonctions usuelles
13. Exercices types bac
7. Limites et comparaison
14. Questions fréquentes

Section 01

Limite finie en un point

Définition intuitive : On dit que f(x) tend vers L quand x tend vers a, et on note lim_x→a f(x) = L, si les valeurs de f(x) se rapprochent arbitrairement de L lorsque x se rapproche de a (sans nécessairement atteindre a).

📘 Limite à gauche et à droite :
— lim_x→a⁻ f(x) : limite de f quand x tend vers a par valeurs inférieures (x < a)
— lim_x→a⁺ f(x) : limite de f quand x tend vers a par valeurs supérieures (x > a)
La limite en a existe si et seulement si les limites à gauche et à droite existent et sont égales.

📝 Exemples

f(x) = x² + 1, lim_x→2 f(x) : f est continue en 2 → lim = f(2) = 5.

f(x) = (x²−4)/(x−2) pour x ≠ 2, lim_x→2 f(x) :
f(x) = (x−2)(x+2)/(x−2) = x+2 pour x ≠ 2. Donc lim_x→2 f(x) = 2+2 = 4.

f(x) = |x|/x, limites en 0 :
lim_x→0⁺ f(x) = 1 et lim_x→0⁻ f(x) = −1 → la limite en 0 n’existe pas.

Section 02

Limite infinie en un point — Asymptote verticale

Limite infinie en a : lim_x→a f(x) = +∞ signifie que f(x) devient arbitrairement grand lorsque x se rapproche de a. De même pour −∞. Dans ce cas, la droite d’équation x = a est une asymptote verticale à la courbe de f.

📝 Exemples d’asymptotes verticales

f(x) = 1/x : lim_x→0⁺ 1/x = +∞ et lim_x→0⁻ 1/x = −∞. Asymptote verticale x = 0.

f(x) = 1/(x−3)² : lim_x→3 f(x) = +∞ (des deux côtés). Asymptote verticale x = 3.

f(x) = ln(x) : lim_x→0⁺ ln(x) = −∞. Asymptote verticale x = 0.

f(x) = 1/(x²−1) : asymptotes verticales en x = 1 et x = −1 (annulateurs du dénominateur).

💡 Méthode : Pour trouver les asymptotes verticales d’une fraction, chercher les valeurs de x qui annulent le dénominateur (sans annuler le numérateur en même temps — si les deux s’annulent, il y a peut-être simplification et pas d’asymptote).

Section 03

Limites en l’infini — Asymptotes horizontales

Limite en +∞ ou −∞ : lim_x→+∞ f(x) = L signifie que f(x) se rapproche de L quand x devient arbitrairement grand. Dans ce cas, la droite y = L est une asymptote horizontale en +∞.

Limites des fonctions usuelles en l’infini

Fonction	lim en +∞	lim en −∞
xⁿ (n ≥ 1)	+∞	±∞ (signe de (−1)ⁿ × ∞)
1/xⁿ (n ≥ 1)	0	0
√x	+∞	non défini
eˣ	+∞	0
e⁻ˣ	0	+∞
ln(x)	+∞	non défini (défini sur ]0;+∞[)
sin(x), cos(x)	pas de limite (oscillation)	pas de limite

📝 Exemples

lim_x→+∞ (3x² − 2x + 5) : terme dominant 3x² → +∞.

lim_x→+∞ (2x+1)/(x−3) : diviser par x → (2 + 1/x)/(1 − 3/x) → 2/1 = 2. Asymptote y=2.

lim_x→−∞ (x³ − x) : terme dominant x³ → −∞.

Section 04

Opérations sur les limites

Opération	Résultat (si les limites de f→ℓ et g→m)
Somme f + g	ℓ + m (si ℓ et m finis)
+∞ + (+∞)	+∞
+∞ + (−∞)	⚠️ FI (forme indéterminée)
Produit f × g	ℓ × m (si ℓ et m finis)
+∞ × (+∞)	+∞
+∞ × (−∞)	−∞
0 × (±∞)	⚠️ FI (forme indéterminée)
Quotient f/g	ℓ/m si m ≠ 0
ℓ / 0⁺	+∞ ou −∞ selon signe de ℓ
+∞ / +∞	⚠️ FI (forme indéterminée)
Composée f∘g	lim f(g(x)) = f(lim g(x)) si f continue

Section 05

Les formes indéterminées

Une forme indéterminée (FI) est une expression dont on ne peut pas déterminer la limite par les seules règles d’opérations — un calcul supplémentaire est nécessaire.

+∞ − ∞Somme indéterminée

0 × ∞Produit indéterminé

∞ / ∞Quotient indéterminé

0 / 0Quotient indéterminé

1^∞Puissance indéterminée

0⁰Puissance indéterminée

⚠️ Important : Ces formes ne sont pas des résultats — elles signalent qu’on doit travailler davantage. La limite peut être n’importe quel réel, +∞, −∞, ou ne pas exister.

Section 06

Limites des fonctions usuelles — récapitulatif

Limite	Résultat	Remarque
lim_x→0 sin(x)/x	1	Fondamentale en trigonométrie
lim_x→0 (eˣ−1)/x	1	Nombre dérivé de eˣ en 0
lim_x→0 ln(1+x)/x	1	Nombre dérivé de ln en 1
lim_x→+∞ eˣ/xⁿ	+∞	Croissances comparées
lim_x→−∞ xⁿ·eˣ	0	Croissances comparées
lim_x→+∞ ln(x)/xⁿ	0	ln croît moins vite que xⁿ
lim_x→0⁺ x·ln(x)	0	Croissances comparées ln/polynôme
lim_x→+∞ (1 + 1/x)ˣ	e	Définition de e comme limite

Section 07

Limites et comparaison

Théorème de comparaison : Si f(x) ≤ g(x) au voisinage de a et lim_x→a f(x) = +∞, alors lim_x→a g(x) = +∞. Si lim_x→a g(x) = −∞, alors lim_x→a f(x) = −∞.

Théorème des gendarmes (sandwich) : Si f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) au voisinage de a et lim_x→a f(x) = lim_x→a g(x) = L, alors lim_x→a h(x) = L.

📝 Exemple — théorème des gendarmes

Montrer que lim_x→+∞ sin(x)/x = 0.
On sait que −1 ≤ sin(x) ≤ 1. En divisant par x > 0 : −1/x ≤ sin(x)/x ≤ 1/x.
lim_x→+∞ (−1/x) = 0 et lim_x→+∞ 1/x = 0.
Par le théorème des gendarmes : lim_x→+∞ sin(x)/x = 0.

Section 08

Lever les formes indéterminées

FI de type 0/0 ou ∞/∞ — polynômes et fractions rationnelles

✅ Méthode pour 0/0 : Factoriser numérateur et dénominateur puis simplifier.
✅ Méthode pour ∞/∞ : Diviser par le terme dominant (plus haute puissance de x).

📝 Exemples — fractions rationnelles

lim_x→3 (x²−9)/(x−3) : FI 0/0. Factoriser : (x−3)(x+3)/(x−3) = x+3 → 6.

lim_x→+∞ (3x²−2x+1)/(5x²+x) : FI ∞/∞. Diviser par x² : (3−2/x+1/x²)/(5+1/x) → 3/5.

lim_x→+∞ (2x+1)/(x²−3) : Diviser par x² : (2/x+1/x²)/(1−3/x²) → 0.

lim_x→+∞ (x³−1)/(x+2) : Diviser par x : (x²−1/x)/(1+2/x) → +∞.

FI de type ∞ − ∞

✅ Méthode : Factoriser par le terme dominant ou conjuguer (si racines carrées).

📝 Exemples — ∞ − ∞

lim_x→+∞ (x² − 3x + 1) : Factoriser par x² : x²(1 − 3/x + 1/x²) → +∞.

lim_x→+∞ (√(x+1) − √x) : Conjugué : × (√(x+1)+√x)/(√(x+1)+√x)
= (x+1−x)/(√(x+1)+√x) = 1/(√(x+1)+√x) → 0.

lim_x→+∞ (√(x²+x) − x) : = x(√(1+1/x) − 1) → x × (1/(2x)) = 1/2 (DL √(1+u) ≈ 1+u/2).

FI de type 0 × ∞

✅ Méthode : Transformer en quotient 0/0 ou ∞/∞, puis appliquer la méthode précédente.

📝 Exemples — 0 × ∞

lim_x→+∞ x·e⁻ˣ : = x/eˣ → 0 (croissances comparées).

lim_x→0⁺ x·ln(x) : = ln(x)/(1/x). FI −∞/+∞. Croissances comparées → 0.

lim_x→1 (x−1)·ln(x) : poser t = x−1 → t→0, ln(x) = ln(1+t) ≈ t → t² → 0.

Section 09

Asymptotes obliques

Asymptote oblique : La droite y = ax + b est asymptote oblique à la courbe de f en +∞ (ou −∞) si lim_x→+∞ [f(x) − (ax+b)] = 0.

✅ Méthode :
1. Calculer a = lim_x→+∞ f(x)/x
2. Calculer b = lim_x→+∞ [f(x) − ax] 3. Si a et b sont finis, y = ax + b est asymptote oblique

📝 Exemple — f(x) = (x² + 2x − 1)/(x + 1)

a = lim_x→+∞ f(x)/x = lim (x²+2x−1)/(x²+x) = lim (1+2/x−1/x²)/(1+1/x) = 1.
b = lim [f(x) − x] = lim [(x²+2x−1)/(x+1) − x] = lim [(x²+2x−1−x²−x)/(x+1)] = lim (x−1)/(x+1) = 1.
Asymptote oblique : y = x + 1.
Vérification par division euclidienne : x²+2x−1 = (x+1)·x + (x−1) = (x+1)(x+1) − 2 → f(x) = x+1 − 2/(x+1). Reste −2/(x+1) → 0 ✓.

📘 Trois types d’asymptotes en résumé :
— Asymptote verticale x = a : lim_x→a f(x) = ±∞
— Asymptote horizontale y = L : lim_x→±∞ f(x) = L
— Asymptote oblique y = ax+b : lim_x→±∞ [f(x)−ax−b] = 0 avec a ≠ 0

Section 10

Continuité et prolongement par continuité

Continuité en un point : f est continue en a si lim_x→a f(x) = f(a). Cela requiert trois conditions : f est définie en a, la limite existe, et la limite est égale à la valeur.

📘 Fonctions continues : Toutes les fonctions usuelles (polynômes, fractions rationnelles sur leur domaine, eˣ, ln, sin, cos, √x) sont continues sur leur domaine de définition. La somme, le produit, le quotient (dénominateur ≠ 0) et la composée de fonctions continues sont continus.

Prolongement par continuité : Si f est définie sur un intervalle sauf en a, et si lim_x→a f(x) = L (finie), alors on peut prolonger f en a en posant f(a) = L. La fonction prolongée est continue en a.

📝 Exemple — prolongement par continuité

f(x) = (e^x−1)/x pour x ≠ 0. Peut-on prolonger f en 0 ?
lim_x→0 (eˣ−1)/x = 1 (limite fondamentale).
On pose f(0) = 1 → la fonction prolongée g(x) = f(x) si x≠0, g(0)=1 est continue en 0. ✓

Section 11

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Si f est continue sur [a ; b] et si f(a) et f(b) sont de signes opposés, alors il existe au moins un réel c ∈ ]a ; b[ tel que f(c) = 0.

✅ Corollaire (bijectivité) : Si f est continue et strictement monotone sur [a ; b], alors pour tout k compris entre f(a) et f(b), il existe un unique c ∈ [a ; b] tel que f(c) = k.

📝 Exemple — existence d’une solution

Montrer que f(x) = x³ + x − 1 admet au moins une racine sur [0 ; 1].
f est continue sur [0;1] (polynôme).
f(0) = −1 < 0 et f(1) = 1 > 0.
f(0) et f(1) sont de signes opposés → par le TVI, il existe c ∈ ]0;1[ tel que f(c) = 0. ✓
De plus f est strictement croissante (f'(x) = 3x²+1 > 0), donc cette racine est unique.

📝 Exemple — encadrement de la solution par balayage

f(0,5) = 0,125 + 0,5 − 1 = −0,375 < 0. Donc c ∈ ]0,5 ; 1[.
f(0,7) = 0,343 + 0,7 − 1 = 0,043 > 0. Donc c ∈ ]0,5 ; 0,7[.
f(0,68) ≈ −0,002 < 0. Donc c ∈ ]0,68 ; 0,70[. La racine est ≈ 0,6824.

Section 12

Théorème des gendarmes — applications

Rappel : Si g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) au voisinage de a et lim g(x) = lim h(x) = L, alors lim f(x) = L.
Valable pour a ∈ ℝ ou a = ±∞, et L ∈ ℝ (fini) ou L = ±∞ (comparaison simple).

📝 Exemples d’application

lim_x→+∞ cos(x)/x² :
−1 ≤ cos(x) ≤ 1 → −1/x² ≤ cos(x)/x² ≤ 1/x². Les deux gendarmes → 0. Limite = 0.

lim_x→0 x²·sin(1/x) :
|sin(1/x)| ≤ 1 → −x² ≤ x²sin(1/x) ≤ x². Les deux gendarmes → 0. Limite = 0.

lim_x→+∞ (2 + sin(x))·e⁻ˣ :
1 ≤ 2+sin(x) ≤ 3 → e⁻ˣ ≤ (2+sin(x))e⁻ˣ ≤ 3e⁻ˣ. Les deux → 0. Limite = 0.

Section 13

Exercices types bac

📝 Exercice 1 — limites d’une fraction rationnelle

f(x) = (2x²−3x+1)/(x²−1). Étudier les limites en ±∞ et en ±1.
En ±∞ : diviser par x² → (2−3/x+1/x²)/(1−1/x²) → 2. Asymptote y=2.
En 1 : num. = 2−3+1 = 0 et dén. = 0. Factoriser : num = (2x−1)(x−1), dén = (x−1)(x+1).
f(x) = (2x−1)/(x+1) pour x ≠ 1. lim_x→1 = 1/2. Pas d’asymptote en x=1 (trou).
En −1 : num.(−1) = 2+3+1 = 6 ≠ 0, dén. = 0. lim_x→−1⁺ = 6/0⁺ = +∞, lim_x→−1⁻ = 6/0⁻ = −∞. Asymptote x=−1.

📝 Exercice 2 — asymptote oblique

g(x) = (x²+x+1)/(x+2). Trouver une asymptote oblique en +∞.
Division euclidienne : x²+x+1 = (x+2)(x−1) + 3 → g(x) = x−1 + 3/(x+2).
lim_x→+∞ 3/(x+2) = 0 → asymptote oblique : y = x − 1.

📝 Exercice 3 — TVI et unicité

Montrer que h(x) = eˣ − 2x admet une unique solution sur [0 ; 1].
h est continue (somme de fonctions continues). h'(x) = eˣ − 2. Sur [0;1] : h'(x) = 0 ↔ eˣ = 2 ↔ x = ln 2 ≈ 0,693 ∈ [0;1].
h(0) = 1 > 0. h(ln 2) = 2 − 2ln2 ≈ 0,614 > 0. h(1) = e−2 ≈ 0,718 > 0.
h > 0 sur [0;1]. Chercher sur [1;+∞[ : h(1) ≈ 0,718 > 0 et lim_x→+∞ h(x) = +∞ (eˣ domine).
Sur ]−∞ ; ln 2[ : h décroissante. Sur ]ln 2 ; +∞[ : h croissante. h(ln 2) ≈ 0,614 > 0.
Vérifier h(−1) = e⁻¹ + 2 ≈ 2,37 > 0. h(−∞) → +∞. Donc h > 0 partout → pas de solution réelle.
Note : si l’exercice portait sur eˣ = 2x, les solutions sont les intersections de eˣ et 2x — il y en a bien deux (une ≈ −0,767 et une ≈ 1,256) vérifiables graphiquement.

📝 Exercice 4 — gendarmes

Calculer lim_x→+∞ (x+sin x)/x.
sin x ∈ [−1;1] → −1/x ≤ sin(x)/x ≤ 1/x. Donc (x−1)/x ≤ (x+sin x)/x ≤ (x+1)/x.
(x±1)/x = 1 ± 1/x → 1. Gendarmes → limite = 1.

Section 14

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre une limite qui n’existe pas et une limite infinie ?

Une limite infinie (+∞ ou −∞) existe bien en tant que limite — elle indique que la fonction diverge dans une direction. Par convention, on dit que la fonction « tend vers +∞ ». Une limite qui n’existe pas (notée « pas de limite ») correspond à une oscillation ou à des limites latérales différentes et finies. Par exemple, sin(x) n’a pas de limite en +∞ car elle oscille entre −1 et 1 indéfiniment. Et |x|/x n’a pas de limite en 0 car la limite à gauche (−1) ≠ limite à droite (+1).

Comment reconnaître qu’une courbe admet une asymptote oblique plutôt qu’horizontale ?

Le test est simple : calculer a = lim f(x)/x en ±∞. Si a = 0, l’asymptote est horizontale (y = b où b = lim f(x)). Si a ≠ 0 et fini, l’asymptote est oblique (y = ax + b). Si a = ±∞, il n’y a pas d’asymptote affine. Pour les fractions rationnelles P(x)/Q(x), la règle est : si deg P = deg Q → asymptote horizontale ; si deg P = deg Q + 1 → asymptote oblique ; si deg P > deg Q + 1 → pas d’asymptote affine.

Comment lever une forme indéterminée ∞/∞ pour une fraction rationnelle ?

La méthode universelle est de diviser numérateur et dénominateur par xⁿ où n est le plus haut degré présent dans l’expression. Après division, les termes en 1/x, 1/x², etc. tendent vers 0, et il ne reste que les coefficients des termes dominants. Par exemple, (3x³−2x)/(5x³+x²) → diviser par x³ → (3−2/x²)/(5+1/x) → 3/5. La règle rapide : comparer les degrés du numérateur et dénominateur — si égaux, la limite est le rapport des coefficients dominants.

Le théorème des valeurs intermédiaires garantit-il l’unicité de la solution ?

Non — le TVI garantit seulement l’existence d’au moins une solution. Pour avoir l’unicité, il faut une condition supplémentaire : la stricte monotonie de f sur l’intervalle considéré. Si f est continue et strictement croissante (ou strictement décroissante) sur [a;b] et change de signe, alors il existe exactement une solution. En pratique au bac, on démontre l’unicité en montrant que f’ est de signe constant sur l’intervalle (ce qui implique la stricte monotonie).

Quand utiliser le théorème des gendarmes plutôt qu’une autre méthode ?

Le théorème des gendarmes est particulièrement adapté quand la fonction contient des termes bornés (sin, cos, une fonction oscillante) multipliés ou divisés par une fonction dont on connaît la limite. Le signal classique : présence de sin(x) ou cos(x) dans une limite en ±∞, ou présence de sin(1/x) ou cos(1/x) dans une limite en 0. Dans ces cas, on encadre le terme borné entre −1 et 1, on multiplie l’encadrement par l’autre facteur, et on vérifie que les deux gendarmes ont la même limite.

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