Intégrales : Cours Complet Terminale Spé Maths

Terminale spécialité maths — primitives, calcul intégral, aires, valeur moyenne

Term

Niveau

Spé maths

Matière

Sections

2026

Programme

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🏠 Hub Maths Lycée
📐 Dérivées (1ère)
e Exponentielle
ln Logarithme
📋 Formulaire maths

📋 Sommaire

1. Primitives — définition
8. Intégrale d’une fonction composée
2. Tableau des primitives usuelles
9. Intégration par parties
3. Intégrale définie — définition
10. Valeur moyenne d’une fonction
4. Théorème fondamental du calcul intégral
11. Aire entre deux courbes
5. Propriétés des intégrales
12. Exercices types bac
6. Calcul d’une aire sous une courbe
13. Questions fréquentes
7. Signe de l’intégrale et aires algébriques
14. Erreurs fréquentes

Section 01

Primitives — définition

Primitive : On dit que F est une primitive de f sur un intervalle I si F est dérivable sur I et F'(x) = f(x) pour tout x de I. Si F est une primitive de f, alors toutes les primitives de f sont de la forme F(x) + C où C est une constante réelle arbitraire.

📘 Existence : Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle. En pratique, on retrouve une primitive en « remontant » depuis f vers F, c’est-à-dire en cherchant quelle fonction, dérivée, donne f.

📝 Exemples

f(x) = 3x² → F(x) = x³ + C (car (x³)’ = 3x²).
f(x) = cos(x) → F(x) = sin(x) + C.
f(x) = eˣ → F(x) = eˣ + C (l’exponentielle est sa propre primitive).

📝 Primitive vérifiant une condition initiale

f(x) = 2x + 1. La primitive passant par (1 ; 4).
F(x) = x² + x + C. F(1) = 4 → 1 + 1 + C = 4 → C = 2.
F(x) = x² + x + 2.

Section 02

Tableau des primitives usuelles

Fonction f(x)	Primitive F(x)	Conditions
k (constante)	kx + C	x ∈ ℝ
xⁿ (n ≠ −1)	xⁿ⁺¹ / (n+1) + C	x ∈ ℝ (n entier ≥ 0) ou x ∈ ℝ* (n négatif)
1/x	ln\|x\| + C	x ≠ 0
1/x²	−1/x + C	x ≠ 0
√x	(2/3)x^(3/2) + C = (2/3)x√x + C	x > 0
1/√x	2√x + C	x > 0
eˣ	eˣ + C	x ∈ ℝ
e^(ax)	(1/a)e^(ax) + C	a ≠ 0
sin(x)	−cos(x) + C	x ∈ ℝ
cos(x)	sin(x) + C	x ∈ ℝ
sin(ax)	−(1/a)cos(ax) + C	a ≠ 0
cos(ax)	(1/a)sin(ax) + C	a ≠ 0

💡 Règles de base : (kf)’ → primitive = k·F(x). (f + g)’ → primitive = F(x) + G(x). On ne peut pas « intégrer un produit » terme à terme — voir intégration par parties (section 9).

Section 03

Intégrale définie — définition

Intégrale de a à b : Si f est continue sur [a ; b] et F une primitive de f, l’intégrale de f entre a et b est :

∫ₐᵇ f(x) dx = [F(x)]ₐᵇ = F(b) − F(a)

📘 Notation : Le symbole ∫ est un S allongé (somme). f(x) est l’intégrande. dx indique la variable d’intégration. a est la borne inférieure, b la borne supérieure. Le résultat est un nombre réel, pas une fonction.

📝 Exemples de calcul

∫₀² (3x² + 2x) dx :
Primitive : x³ + x². [x³ + x²]₀² = (8 + 4) − (0 + 0) = 12.

∫₁³ (1/x) dx :
Primitive : ln|x|. [ln x]₁³ = ln 3 − ln 1 = ln 3 − 0 = ln 3.

∫₀^(π/2) cos(x) dx :
Primitive : sin(x). [sin x]₀^(π/2) = sin(π/2) − sin(0) = 1 − 0 = 1.

Section 04

Théorème fondamental du calcul intégral

Théorème fondamental : Si f est continue sur [a ; b], alors la fonction G définie par G(x) = ∫ₐˣ f(t) dt est l’unique primitive de f sur [a ; b] qui s’annule en a (G(a) = 0). De plus, G'(x) = f(x).

✅ Interprétation : Ce théorème établit le lien fondamental entre dérivation et intégration — ce sont des opérations inverses l’une de l’autre. Dériver « défait » l’intégration, et intégrer « défait » la dérivation.

📝 Exemple — dériver une intégrale à borne variable

G(x) = ∫₁ˣ t² dt. Calculer G'(x).
Par le théorème fondamental : G'(x) = x².

Vérification : G(x) = [t³/3]₁ˣ = x³/3 − 1/3. G'(x) = x² ✓.

Section 05

Propriétés des intégrales

Propriété	Formule
Linéarité	∫ₐᵇ [αf(x) + βg(x)] dx = α∫ₐᵇ f(x)dx + β∫ₐᵇ g(x)dx
Relation de Chasles	∫ₐᵇ f(x)dx + ∫ᵦᶜ f(x)dx = ∫ₐᶜ f(x)dx
Inversion des bornes	∫ᵦᵃ f(x)dx = −∫ₐᵇ f(x)dx
Bornes égales	∫ₐᵃ f(x)dx = 0
Positivité	Si f ≥ 0 sur [a;b] alors ∫ₐᵇ f(x)dx ≥ 0
Croissance	Si f ≤ g sur [a;b] alors ∫ₐᵇ f dx ≤ ∫ₐᵇ g dx
Encadrement	Si m ≤ f(x) ≤ M sur [a;b] alors m(b−a) ≤ ∫ₐᵇ f dx ≤ M(b−a)

📝 Exemple — relation de Chasles

∫₀⁴ f(x)dx si on sait que ∫₀² f(x)dx = 3 et ∫₂⁴ f(x)dx = 5.
∫₀⁴ f(x)dx = 3 + 5 = 8.

📝 Exemple — encadrement

Encadrer ∫₁³ √(x+1) dx. Sur [1;3] : √2 ≤ √(x+1) ≤ √4 = 2.
√2 × (3−1) ≤ ∫₁³ √(x+1) dx ≤ 2 × (3−1) → 2√2 ≤ ∫ ≤ 4.

Section 06

Calcul d’une aire sous une courbe

Aire sous la courbe : Si f est continue et positive sur [a ; b], l’aire du domaine délimité par la courbe de f, l’axe des abscisses et les droites x = a et x = b est :

Aire = ∫ₐᵇ f(x) dx (en unités d’aire)

📘 Unité d’aire : Si l’unité sur Ox est 1 cm et sur Oy est 1 cm, l’unité d’aire est 1 cm². Si les unités sont différentes, préciser « unités d’aire ». Dans les exercices, on donne souvent le résultat exact (en termes de ln, √…).

📝 Exemple — aire sous f(x) = x² + 1 entre 0 et 2

∫₀² (x² + 1) dx = [x³/3 + x]₀² = (8/3 + 2) − 0 = 8/3 + 6/3 = 14/3 u.a.

📝 Exemple — aire sous f(x) = sin(x) entre 0 et π

∫₀^π sin(x) dx = [−cos(x)]₀^π = −cos(π) + cos(0) = 1 + 1 = 2 u.a.

Section 07

Signe de l’intégrale et aires algébriques

💡 Attention : Quand f prend des valeurs négatives sur [a ; b], l’intégrale ∫ₐᵇ f(x)dx peut être négative — elle mesure une aire algébrique (avec signe). Pour obtenir l’aire géométrique (toujours positive), il faut traiter séparément les parties où f est positive et où f est négative.

Aire géométrique = ∫ₐᶜ f(x)dx − ∫ᶜᵇ f(x)dx si f ≥ 0 sur [a;c] et f ≤ 0 sur [c;b]

📝 Exemple — f(x) = x² − 1 entre −2 et 2

f(x) = 0 en x = ±1. f < 0 sur ]−1;1[, f > 0 sur ]−2;−1[ et ]1;2[.

Aire géométrique = ∫₋₂^(−1) (x²−1)dx − ∫₋₁¹ (x²−1)dx + ∫₁² (x²−1)dx

[x³/3 − x]₋₂^(−1) = (−1/3+1) − (−8/3+2) = 2/3 − (−2/3) = 4/3[x³/3 − x]₋₁¹ = (1/3−1) − (−1/3+1) = −2/3 − 2/3 = −4/3 → valeur absolue = 4/3
Par symétrie, ∫₁² = 4/3.
Aire géométrique = 4/3 + 4/3 + 4/3 = 4 u.a.

Vérification : ∫₋₂² (x²−1)dx = [x³/3−x]₋₂² = (8/3−2)−(−8/3+2) = 2/3−2/3 = 0 ≠ 4 (intégrale algébrique ≠ aire géométrique).

Section 08

Intégrale d’une fonction composée

La règle de la chaîne en dérivation donne des formules d’intégration pour les fonctions composées :

Forme à intégrer	Primitive
[u(x)]ⁿ · u'(x) (n ≠ −1)	[u(x)]ⁿ⁺¹ / (n+1) + C
u'(x) / u(x)	ln\|u(x)\| + C
u'(x) · e^u(x)	e^u(x) + C
u'(x) · cos(u(x))	sin(u(x)) + C
u'(x) · sin(u(x))	−cos(u(x)) + C
u'(x) / √u(x)	2√u(x) + C

📝 Exemples

∫ 2x·e^(x²) dx : u = x², u’ = 2x → primitive = e^(x²) + C.

∫ (2x+1)/(x²+x+3) dx : u = x²+x+3, u’ = 2x+1 → primitive = ln(x²+x+3) + C (sur un intervalle où x²+x+3 > 0).

∫ (x+1)(x²+2x+5)³ dx : u = x²+2x+5, u’ = 2x+2 = 2(x+1). Donc intégrande = (1/2)·u’·u³ → primitive = (x²+2x+5)⁴/8 + C.

∫₀¹ 2x·e^(x²) dx : [e^(x²)]₀¹ = e¹ − e⁰ = e − 1.

Section 09

Intégration par parties (IPP)

∫ₐᵇ u(x)·v'(x) dx = [u(x)·v(x)]ₐᵇ − ∫ₐᵇ u'(x)·v(x) dx

📘 Stratégie : On choisit u et v’ de sorte que u’·v soit plus simple à intégrer que u·v’. En général : choisir u = partie algébrique ou logarithmique (facile à dériver) et v’ = partie exponentielle, trig ou puissance (facile à intégrer).

📝 Exemple 1 — ∫₀¹ x·eˣ dx

u = x → u’ = 1 ; v’ = eˣ → v = eˣ.[x·eˣ]₀¹ − ∫₀¹ 1·eˣ dx = (1·e − 0) − [eˣ]₀¹ = e − (e − 1) = 1.

📝 Exemple 2 — ∫₁ᵉ ln(x) dx

u = ln(x) → u’ = 1/x ; v’ = 1 → v = x.[x·ln(x)]₁ᵉ − ∫₁ᵉ x·(1/x) dx = (e·1 − 1·0) − ∫₁ᵉ 1 dx = e − [x]₁ᵉ = e − (e − 1) = 1.

📝 Exemple 3 — ∫ x²·eˣ dx (deux IPP)

1ère IPP : u=x², v’=eˣ → x²eˣ − ∫2x·eˣ dx.
2ème IPP sur ∫2x·eˣ dx : u=2x, v’=eˣ → 2xeˣ − ∫2eˣ dx = 2xeˣ − 2eˣ.
Résultat : x²eˣ − 2xeˣ + 2eˣ + C = eˣ(x² − 2x + 2) + C.

Section 10

Valeur moyenne d’une fonction

Valeur moyenne de f sur [a ; b] = (1/(b−a)) · ∫ₐᵇ f(x) dx

📘 Interprétation géométrique : La valeur moyenne μ est la hauteur du rectangle de base [a ; b] ayant la même aire que la surface sous la courbe de f. Autrement dit, il existe c ∈ [a ; b] tel que f(c) = μ (théorème des valeurs intermédiaires).

📝 Exemple 1 — valeur moyenne de f(x) = x² sur [0 ; 3]

μ = (1/3) · ∫₀³ x² dx = (1/3) · [x³/3]₀³ = (1/3) · 9 = 3.
Vérification : f(x) = 3 → x = √3 ∈ [0;3] ✓.

📝 Exemple 2 — valeur moyenne de f(x) = sin(x) sur [0 ; π]

μ = (1/π) · ∫₀^π sin(x) dx = (1/π) · 2 = 2/π ≈ 0,637.

Section 11

Aire entre deux courbes

Aire entre les courbes de f et g sur [a ; b] : Si f(x) ≥ g(x) pour tout x ∈ [a ; b] :

Aire = ∫ₐᵇ [f(x) − g(x)] dx

💡 Méthode : Si f et g se croisent sur [a ; b], trouver les points d’intersection (f(x) = g(x)), puis intégrer |f(x) − g(x)| en traitant séparément chaque sous-intervalle selon quel graphe est au-dessus.

📝 Exemple 1 — aire entre f(x) = x² et g(x) = x sur [0 ; 1]

Sur [0;1] : g(x) = x ≥ x² = f(x) (vérification : x ≥ x² ⟺ x(1−x) ≥ 0 ✓ pour x ∈ [0;1]).
Aire = ∫₀¹ (x − x²) dx = [x²/2 − x³/3]₀¹ = 1/2 − 1/3 = 1/6 u.a.

📝 Exemple 2 — aire entre f(x) = x² et g(x) = 2x − x²

Intersections : x² = 2x − x² → 2x² − 2x = 0 → x = 0 ou x = 1.
Sur [0;1] : 2x−x² ≥ x² car 2x−2x² = 2x(1−x) ≥ 0.
Aire = ∫₀¹ (2x−x²−x²)dx = ∫₀¹(2x−2x²)dx = [x²−2x³/3]₀¹ = 1−2/3 = 1/3 u.a.

Section 12

Exercices types bac

📝 Exercice 1 — calcul d’intégrale standard

Calculer ∫₁⁴ (3√x − 2/x²) dx.
Primitives : 3·(2/3)x^(3/2) − 2·(−1/x) = 2x^(3/2) + 2/x.[2x√x + 2/x]₁⁴ = (2·4·2 + 2/4) − (2·1 + 2/1) = (16 + 1/2) − (2 + 2) = 16,5 − 4 = 12,5 = 25/2.

📝 Exercice 2 — IPP

Calculer ∫₀^(π/2) x·cos(x) dx.
u = x → u’ = 1 ; v’ = cos(x) → v = sin(x).[x·sin(x)]₀^(π/2) − ∫₀^(π/2) sin(x) dx = (π/2·1 − 0) − [−cos(x)]₀^(π/2)
= π/2 − (−cos(π/2) + cos(0)) = π/2 − (0 + 1) = π/2 − 1.

📝 Exercice 3 — intégrale et aire

f(x) = x³ − 3x. Calculer l’aire totale entre la courbe et l’axe des abscisses sur [−2 ; 2].
f(x) = 0 : x(x²−3) = 0 → x = 0, x = ±√3.
Sur [−2;−√3] : f ≤ 0. Sur [−√3;0] : f ≥ 0. Sur [0;√3] : f ≤ 0. Sur [√3;2] : f ≥ 0.
Par parité (f impaire) : ∫₋₂² f(x)dx = 0. Aire = 4·|∫₀^√3 (x³−3x)dx|.
∫₀^√3 (x³−3x)dx = [x⁴/4 − 3x²/2]₀^√3 = 9/4 − 9/2 = −9/4.
Aire totale = 4 × 9/4 = 9 u.a.

📝 Exercice 4 — valeur moyenne et équation

f(x) = e^(2x). Valeur moyenne sur [0 ; ln 2].
μ = 1/(ln2) · ∫₀^(ln2) e^(2x) dx = 1/(ln2) · [e^(2x)/2]₀^(ln2) = 1/(ln2) · (e^(2ln2)/2 − 1/2)
= 1/(ln2) · (4/2 − 1/2) = 3/(2ln2).

Section 13

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre primitive et intégrale ?

Une primitive F de f est une fonction (définie à une constante C près) telle que F’ = f. C’est un objet fonctionnel. L’intégrale définie ∫ₐᵇ f(x)dx est un nombre réel, calculé comme F(b) − F(a). On passe de l’une à l’autre grâce au théorème fondamental : on trouve d’abord une primitive, puis on l’évalue aux bornes. L’intégrale indéfinie ∫f(x)dx (sans bornes) désigne l’ensemble des primitives de f, c’est-à-dire F(x) + C.

Pourquoi l’intégrale peut-elle être négative alors qu’elle mesure une aire ?

L’intégrale ∫ₐᵇ f(x)dx mesure une aire algébrique : les régions où f < 0 contribuent négativement. Si f est positive sur toute [a;b], l’intégrale coïncide avec l’aire géométrique (positive). Si f prend des valeurs négatives, il faut décomposer l’intervalle aux zéros de f et prendre la valeur absolue de chaque contribution pour obtenir l’aire géométrique totale. C’est pourquoi les exercices distinguent souvent « calculer l’intégrale » (résultat algébrique) et « calculer l’aire » (toujours positif).

Comment choisir u et v’ dans une intégration par parties ?

La règle mnémotechnique LIATE (Logarithme, Inverse, Algébrique, Trigonométrique, Exponentielle) donne l’ordre de priorité pour u : on choisit u dans la catégorie la plus à gauche. En pratique : si ln(x) apparaît → u = ln(x) (car sa dérivée 1/x simplifie). Si un polynôme xⁿ est présent avec eˣ ou sin/cos → u = xⁿ (car il se simplifie en dérivant). L’objectif est que u’·v soit plus facile à intégrer que u·v’.

Comment reconnaître une intégrale de la forme u’/u ?

Il faut repérer que le numérateur est la dérivée (ou un multiple de la dérivée) du dénominateur. Exemple : ∫(2x)/(x²+1)dx — le numérateur 2x est exactement la dérivée de x²+1 → primitive = ln(x²+1) + C. Si le numérateur est un multiple : ∫ x/(x²+1)dx = (1/2)∫(2x)/(x²+1)dx = (1/2)ln(x²+1) + C. Cette forme est très fréquente dans les exercices de Terminale, surtout avec les exponentielles et les fonctions rationnelles.

Qu’est-ce que la relation de Chasles et quand l’utiliser ?

La relation de Chasles stipule que ∫ₐᶜ f(x)dx = ∫ₐᵇ f(x)dx + ∫ᵦᶜ f(x)dx, quel que soit b (même si b ∉ [a;c]). Elle est utile dans trois situations : (1) quand f change de signe sur [a;c] — on découpe en [a;b] où f ≥ 0 et [b;c] où f ≤ 0 ; (2) quand la fonction a une expression différente sur deux sous-intervalles ; (3) pour simplifier le calcul en utilisant des intégrales déjà connues.

Section 14

Erreurs fréquentes

Erreur	Correct
Primitive de 1/x → 1/x² ou ln(x²)	Primitive de 1/x = ln\|x\| + C (valeur absolue !)
Oublier la constante C dans une primitive indéfinie	Toujours écrire + C sauf pour une intégrale définie ou une primitive avec condition initiale
Calculer ∫ₐᵇ f(x)dx = F(a) − F(b) (bornes inversées)	[F(x)]ₐᵇ = F(b) − F(a) — toujours « borne supérieure moins borne inférieure »
Confondre aire algébrique et aire géométrique	Décomposer aux zéros de f et prendre \|∫\| sur chaque sous-intervalle pour l’aire géométrique
Primitive de xⁿ → xⁿ⁺¹ sans diviser par (n+1)	∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C — ne pas oublier de diviser
IPP : signe erroné — écrire uv’ + ∫u’v au lieu de uv − ∫u’v	∫uv’ = [uv] − ∫u’v — c’est bien un moins
Primitive de e^(2x) → e^(2x) (oubli du facteur 1/2)	∫e^(ax)dx = (1/a)e^(ax) + C — diviser par le coefficient de x

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