Trigonométrie : Cours Complet

Première & Terminale spécialité maths — Cercle trigonométrique, formules, équations et dérivées

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📋 Sommaire
1. Cercle trigonométrique
8. Formules de duplication
2. Radians et degrés
9. Dérivées trigonométriques
3. Cosinus, sinus, tangente
10. Primitives trigonométriques
4. Valeurs remarquables
11. Études de fonctions trigo
5. Propriétés fondamentales
12. Exercices types bac
6. Équations trigonométriques
13. Questions fréquentes
7. Formules d'addition

SECTION 01

Cercle trigonométrique

📌 Définition

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1 dans un repère orthonormé. Un point M sur ce cercle est repéré par un angle θ (en radians), mesuré depuis le point (1;0) dans le sens antihoraire (sens positif).

Les coordonnées de M sont : M = (cos(θ) ; sin(θ)).

📘 Sens de parcours : Le sens antihoraire (sens inverse des aiguilles) est le sens positif. Le sens horaire est le sens négatif. Un angle de −π/2 revient à tourner d'un quart de tour dans le sens horaire.
💡 Enroulement : La droite des réels « s'enroule » autour du cercle. Le réel 0 correspond au point (1;0). Le réel π correspond au point (−1;0). Le réel 2π fait un tour complet et revient en (1;0). Ainsi cos et sin sont périodiques de période 2π.

SECTION 02

Radians et degrés

📌 Conversion
π radians = 180° donc 1 rad = 180°/π ≈ 57,3° et 1° = π/180 rad
Degrés 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
Radians 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 3π/2 2π
✅ Astuce : Pour convertir degrés → radians : multiplier par π/180. Pour radians → degrés : multiplier par 180/π. Au lycée, on travaille presque toujours en radians.

SECTION 03

Cosinus, sinus, tangente

Fonction Définition (cercle) Domaine Image Période
cos(θ) Abscisse de M sur le cercle ℝ [−1 ; 1] 2π
sin(θ) Ordonnée de M sur le cercle ℝ [−1 ; 1] 2π
tan(θ) sin(θ)/cos(θ) ℝ \ ℝ π
⚠️ tan(θ) n'existe pas quand cos(θ) = 0, c'est-à-dire pour θ = π/2 + kπ (k entier). Ce sont les angles 90°, 270°, etc. — là où le point M est « en haut » ou « en bas » du cercle.
📘 Dans un triangle rectangle :
cos(α) = côté adjacent / hypoténuse
sin(α) = côté opposé / hypoténuse
tan(α) = côté opposé / côté adjacent = sin(α)/cos(α)
Mnémotechnique : SOH-CAH-TOA (Sin=Opp/Hyp, Cos=Adj/Hyp, Tan=Opp/Adj).

SECTION 04

Valeurs remarquables

Ce tableau est à connaître par cœur. Il revient dans quasiment chaque exercice de trigonométrie.

θ 0 π/6 π/4 π/3 π/2 π
cos(θ) 1 √3/2 √2/2 1/2 0 −1
sin(θ) 0 1/2 √2/2 √3/2 1 0
tan(θ) 0 √3/3 1 √3 ∄ 0
💡 Mnémotechnique : Pour les cosinus de 0 à π/2 : √4/2, √3/2, √2/2, √1/2, √0/2 = 2/2, √3/2, √2/2, 1/2, 0. Pour les sinus, c'est l'inverse (lire dans l'autre sens).
🎯 Angles du 2e, 3e, 4e quadrant : On utilise les formules de symétrie (section 5) pour retrouver les valeurs. Exemples : cos(2π/3) = −cos(π/3) = −1/2. sin(5π/6) = sin(π/6) = 1/2. cos(7π/4) = cos(π/4) = √2/2.

SECTION 05

Propriétés fondamentales

📌 L'identité fondamentale
cos²(θ) + sin²(θ) = 1 pour tout θ

C'est le théorème de Pythagore appliqué au cercle unité. C'est LA formule la plus importante.

Propriété cos sin
Parité cos(−θ) = cos(θ) — paire sin(−θ) = −sin(θ) — impaire
Périodicité cos(θ + 2π) = cos(θ) sin(θ + 2π) = sin(θ)
Complémentaire cos(π/2 − θ) = sin(θ) sin(π/2 − θ) = cos(θ)
Supplémentaire cos(π − θ) = −cos(θ) sin(π − θ) = sin(θ)
Décalage π cos(θ + π) = −cos(θ) sin(θ + π) = −sin(θ)
📝 Exemple : simplifier cos(7π/6)

7π/6 = π + π/6. Donc cos(7π/6) = cos(π + π/6) = −cos(π/6) = −√3/2.

📝 Exemple : simplifier sin(−π/3)

sin est impaire : sin(−π/3) = −sin(π/3) = −√3/2.

✅ Stratégie : Pour trouver cos ou sin d'un angle quelconque, ramener cet angle dans le 1er quadrant [0 ; π/2] en utilisant les symétries (parité, supplémentaire, décalage π). Puis lire la valeur dans le tableau.

SECTION 06

Équations trigonométriques

Équation Solutions (k ∈ ℤ)
cos(x) = cos(α) x = α + 2kπ ou x = −α + 2kπ
sin(x) = sin(α) x = α + 2kπ ou x = π − α + 2kπ
tan(x) = tan(α) x = α + kπ
📝 Exemple : résoudre cos(x) = 1/2 sur [0 ; 2π]

cos(α) = 1/2 → α = π/3.

Solutions : x = π/3 + 2kπ ou x = −π/3 + 2kπ.

Sur [0;2π] : x = π/3 et x = −π/3 + 2π = 5π/3.

📝 Exemple : résoudre sin(2x) = √3/2 sur [0 ; 2π]

sin(α) = √3/2 → α = π/3.

2x = π/3 + 2kπ ou 2x = π − π/3 + 2kπ = 2π/3 + 2kπ.

x = π/6 + kπ ou x = π/3 + kπ.

Sur [0;2π] : x = π/6, π/3, 7π/6, 4π/3.

⚠️ Ne pas oublier : Les équations en cos et sin ont toujours deux familles de solutions (sauf cas particuliers comme cos(x)=1 ou sin(x)=0). L'équation en tan n'a qu'une seule famille (période π au lieu de 2π).

SECTION 07

Formules d'addition

Formule Expression
cos(a + b) cos(a)cos(b) − sin(a)sin(b)
cos(a − b) cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)
sin(a + b) sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
sin(a − b) sin(a)cos(b) − cos(a)sin(b)
📝 Exemple : calculer cos(π/12)

π/12 = π/3 − π/4.

cos(π/12) = cos(π/3)cos(π/4) + sin(π/3)sin(π/4)

= (1/2)(√2/2) + (√3/2)(√2/2) = √2/4 + √6/4 = (√2 + √6)/4.

📝 Exemple : calculer sin(75°)

75° = 45° + 30°.

sin(75°) = sin(45°)cos(30°) + cos(45°)sin(30°)

= (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = √6/4 + √2/4 = (√6 + √2)/4.

💡 Mnémotechnique pour cos(a±b) : « Cosinus = Cos-Cos MOINS Sin-Sin » pour la somme. Pour la différence, le signe change (+ au lieu de −). Pour sin : « Sin = Sin-Cos PLUS Cos-Sin » pour la somme.

SECTION 08

Formules de duplication

Ce sont les formules d'addition avec a = b :

Formule Expression
cos(2a) cos²(a) − sin²(a) = 2cos²(a) − 1 = 1 − 2sin²(a)
sin(2a) 2 sin(a) cos(a)
📐 Formules de linéarisation (déduites)
Formule Expression Utilité
cos²(a) (1 + cos(2a)) / 2 Calcul d'intégrales (Terminale)
sin²(a) (1 − cos(2a)) / 2 Calcul d'intégrales (Terminale)
📝 Exemple : simplifier cos²(x) − sin²(x)

= cos(2x) (application directe de la formule de duplication).

📝 Exemple : calculer sin(2 × π/8) = sin(π/4) = √2/2

Vérification : 2 sin(π/8) cos(π/8) = sin(π/4) = √2/2. ✓

🎯 Au bac : Les formules de linéarisation sont indispensables en Terminale pour calculer des intégrales comme ∫ cos²(x) dx ou ∫ sin²(x) dx, car on ne sait pas primitiver directement cos² ou sin².

SECTION 09

Dérivées des fonctions trigonométriques

Fonction Dérivée Composée
cos(x) −sin(x) (cos(u))' = −u' sin(u)
sin(x) cos(x) (sin(u))' = u' cos(u)
tan(x) 1 + tan²(x) = 1/cos²(x) (tan(u))' = u'/cos²(u)
📝 Exemples

f(x) = sin(3x) → f'(x) = 3 cos(3x)

f(x) = cos(x²) → f'(x) = −2x sin(x²)

f(x) = x sin(x) → f'(x) = sin(x) + x cos(x) (produit)

f(x) = sin²(x) → f'(x) = 2 sin(x) cos(x) = sin(2x)

⚠️ Le signe − : La dérivée de cos est −sin (avec le moins). La dérivée de sin est cos (sans moins). C'est l'erreur la plus fréquente.

SECTION 10

Primitives des fonctions trigonométriques

Fonction Primitive
cos(x) sin(x) + C
sin(x) −cos(x) + C
cos(ax + b) (1/a) sin(ax + b) + C
sin(ax + b) −(1/a) cos(ax + b) + C
cos²(x) x/2 + sin(2x)/4 + C
sin²(x) x/2 − sin(2x)/4 + C
📝 Exemple : ∫0π sin(x) dx

= [−cos(x)]0π = −cos(π) − (−cos(0)) = −(−1) + 1 = 2.

📝 Exemple : ∫0π/2 cos²(x) dx

cos²(x) = (1 + cos(2x))/2 (linéarisation).

= [x/2 + sin(2x)/4]0π/2 = (π/4 + 0) − (0 + 0) = π/4.

✅ Rappel : Primitive de sin = −cos (le signe − !). Primitive de cos = sin. Pour cos² et sin², toujours linéariser d'abord.

SECTION 11

Études de fonctions trigonométriques

📊 Étude de f(x) = cos(x) sur [0 ; 2π]

f'(x) = −sin(x). f'(x) = 0 ⟺ x = 0, π, 2π.

f' > 0 sur ]π ; 2π[ (f croissante), f' < 0 sur ]0 ; π[ (f décroissante).

Maximum f(0) = f(2π) = 1. Minimum f(π) = −1.

📊 Étude de f(x) = sin(x) sur [0 ; 2π]

f'(x) = cos(x). f'(x) = 0 ⟺ x = π/2, 3π/2.

f' > 0 sur ]0 ; π/2[ ∪ ]3π/2 ; 2π[, f' < 0 sur ]π/2 ; 3π/2[.

Maximum f(π/2) = 1. Minimum f(3π/2) = −1.

💡 Périodicité et parité : cos est paire (symétrique par rapport à l'axe y), sin est impaire (symétrie centrale par rapport à O). Les deux sont 2π-périodiques. On n'étudie donc qu'une période, puis on duplique.
📝 Exemple type bac : f(x) = 2cos(x) + sin(2x) sur [0 ; 2π]

f'(x) = −2sin(x) + 2cos(2x) = −2sin(x) + 2(1 − 2sin²(x))

= −4sin²(x) − 2sin(x) + 2 = −2(2sin²(x) + sin(x) − 1)

= −2(2sin(x) − 1)(sin(x) + 1). On résout f'(x) = 0 : sin(x) = 1/2 ou sin(x) = −1.

x = π/6, 5π/6 ou 3π/2. Tableau de signes → tableau de variations.

SECTION 12

Exercices types bac

Type 1 — Calculer des valeurs exactes

Utiliser le tableau des valeurs remarquables et les formules de symétrie.

🧠 Calculer cos(11π/6).
11π/6 = 2π − π/6. cos(2π − π/6) = cos(−π/6) = cos(π/6) = √3/2.
Type 2 — Résoudre une équation trigonométrique

Ramener à cos(x) = cos(α), sin(x) = sin(α) ou tan(x) = tan(α).

🧠 Résoudre sin(x) = −√2/2 sur [0 ; 2π].
sin(α) = −√2/2 → α = −π/4. Solutions : x = −π/4+2kπ ou x = π+π/4+2kπ. Sur [0;2π] : x = 5π/4 et x = 7π/4.
Type 3 — Utiliser les formules d'addition/duplication

Calculer des valeurs exactes d'angles non remarquables, simplifier des expressions.

Type 4 — Étude de fonction trigonométrique

Dériver, étudier le signe de f', dresser le tableau de variations.

Type 5 — Calcul d'intégrale trigonométrique

Primitiver directement ou linéariser d'abord (cos², sin²).

🧠 ∫0π/2 sin(2x) dx = ?
[−cos(2x)/2]0π/2 = −cos(π)/2 + cos(0)/2 = 1/2 + 1/2 = 1.

SECTION 13

Questions fréquentes

Comment convertir degrés en radians ?
Multiplier par π/180. Ex : 60° = π/3. Inversement : radians × 180/π.
Quelles sont les valeurs remarquables ?
Pour 0, π/6, π/4, π/3, π/2 : cos = 1, √3/2, √2/2, 1/2, 0. Sin = dans l'ordre inverse. Les autres quadrants se déduisent par symétrie.
Qu'est-ce que cos²+sin²=1 ?
L'identité fondamentale. Pythagore sur le cercle unité. Valable pour tout angle. Utilisée constamment.
Comment résoudre cos(x) = cos(α) ?
x = α+2kπ ou x = −α+2kπ. Pour sin : x = α+2kπ ou x = π−α+2kπ. Pour tan : x = α+kπ.
Dérivée de sin(x) ?
(sin(x))' = cos(x). Et (cos(x))' = −sin(x). Attention au signe − pour cos.
Comment intégrer cos² ou sin² ?
Linéariser d'abord : cos²(x) = (1+cos(2x))/2, sin²(x) = (1−cos(2x))/2. Puis primitiver.
Qu'est-ce qu'une formule d'addition ?
cos(a+b) = cos(a)cos(b)−sin(a)sin(b). Permet de calculer cos/sin d'angles non remarquables.
La trigonométrie tombe-t-elle au bac ?
Régulièrement. Études de fonctions, équations, intégrales, produit scalaire. Chapitre transversal.
Cos est paire ou impaire ?
Cos est paire : cos(−x) = cos(x). Sin est impaire : sin(−x) = −sin(x).
Comment retenir les formules ?
Retenir cos²+sin²=1, les valeurs remarquables, et cos(a+b). Tout le reste s'en déduit : duplication (a=b), linéarisation (isoler cos²/sin²), sin(a+b) par décalage π/2.
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