Loi Normale : Cours Complet Terminale Spé Maths

Terminale spécialité maths — variable aléatoire continue, loi N(0,1), intervalles, estimation

Term
Niveau
Spé maths
Matière
12
Sections
2026
Programme
📚 Navigation
🏠 Hub Maths Lycée
🎲 Loi binomiale
🎯 Probabilités conditionnelles
🔢 Dénombrement
📋 Formulaire maths
📋 Sommaire

1. Variable aléatoire continue
7. Intervalle de fluctuation
2. Densité de probabilité
8. Estimation par intervalle de confiance
3. Loi normale N(μ, σ²)
9. Loi des grands nombres
4. Loi normale centrée réduite N(0,1)
10. Approximation de la loi binomiale
5. Règle des 68-95-99,7 %
11. Exercices types bac
6. Standardisation (centrage-réduction)
12. Questions fréquentes

Section 01

Variable aléatoire continue

Définition : Une variable aléatoire X est continue si elle peut prendre toutes les valeurs d’un intervalle (et non des valeurs isolées comme pour une VA discrète). La probabilité que X prenne une valeur exacte est nulle : P(X = a) = 0 pour tout a. On travaille uniquement avec des probabilités sur des intervalles.
📘 Comparaison discrète / continue :

Discrète (ex : loi binomiale) Continue (ex : loi normale)
Valeurs Isolées : 0, 1, 2, …, n Tout intervalle de ℝ
Probabilité P(X = k) peut être non nulle P(X = a) = 0 toujours
Calcul Somme Intégrale (aire sous la courbe)
Outil Formule binomiale Table ou calculatrice
📝 Exemples de variables aléatoires continues

— La taille d’un individu pris au hasard dans une population
— La durée de vie d’un composant électronique
— La température à midi un jour aléatoire
— L’erreur de mesure d’un instrument
— Le temps d’attente à un guichet

Section 02

Densité de probabilité

Définition : Une fonction f est une densité de probabilité sur ℝ si :
— f(x) ≥ 0 pour tout x ∈ ℝ
— L’aire totale sous la courbe vaut 1 : ∫−∞+∞ f(x) dx = 1

La probabilité que X ∈ [a ; b] est l’aire sous la courbe entre a et b :

P(a ≤ X ≤ b) = ∫ab f(x) dx = aire sous la courbe entre a et b
💡 Conséquences importantes :
— P(X = a) = 0 (un point = une aire nulle)
— P(X ≤ a) = P(X < a) (idem pour ≥ et >)
— P(X ≤ a) + P(X > a) = 1
— P(a ≤ X ≤ b) = P(X ≤ b) − P(X ≤ a)

Section 03

Loi normale N(μ, σ²)

Définition : Une variable aléatoire X suit la loi normale de paramètres μ (espérance) et σ² (variance), notée X ~ N(μ, σ²), si sa densité de probabilité est :

f(x) = (1 / (σ√(2π))) × exp(−(x−μ)² / (2σ²))

Courbe en cloche — symétrique par rapport à x = μ, centrée en μ, largeur pilotée par σ

Paramètre Rôle Effet sur la courbe
μ (espérance) Centre de la distribution Déplace la cloche horizontalement
σ (écart-type) Dispersion σ grand → cloche étalée ; σ petit → cloche pointue
σ² (variance) σ² = σ×σ Mesure de l’étalement au carré
✅ Propriétés fondamentales :
— Espérance : E(X) = μ
— Variance : V(X) = σ²
— Écart-type : σ(X) = σ
— Symétrie : la courbe est symétrique par rapport à la droite x = μ
— P(X ≤ μ) = P(X ≥ μ) = 0,5

Section 04

Loi normale centrée réduite N(0,1)

Cas particulier fondamental : La loi normale N(0,1) a pour paramètres μ = 0 et σ = 1. On note souvent Z ~ N(0,1) et sa densité φ(x) = (1/√(2π)) × e−x²/2.

On note Φ(t) = P(Z ≤ t) la fonction de répartition de N(0,1). Elle est tabulée (table de la loi normale).

P(Z ≤ t) = Φ(t)     P(Z ≥ t) = 1 − Φ(t)     P(−t ≤ Z ≤ t) = 2Φ(t) − 1
📘 Valeurs importantes de Φ :

t Φ(t) = P(Z ≤ t) P(−t ≤ Z ≤ t)
1,00 0,8413 ≈ 68,3 %
1,28 0,9000 ≈ 80,0 %
1,645 0,9500 ≈ 90,0 %
1,96 0,9750 ≈ 95,0 %
2,00 0,9772 ≈ 95,4 %
2,576 0,9950 ≈ 99,0 %
3,00 0,9987 ≈ 99,7 %
✅ Symétrie de Φ : Φ(−t) = 1 − Φ(t)
Exemple : P(Z ≤ −1,96) = 1 − Φ(1,96) = 1 − 0,975 = 0,025.

Section 05

Règle des 68-95-99,7 %

68 %
P(μ−σ ≤ X ≤ μ+σ)
± 1 écart-type

95 %
P(μ−2σ ≤ X ≤ μ+2σ)
± 2 écarts-types

99,7 %
P(μ−3σ ≤ X ≤ μ+3σ)
± 3 écarts-types

💡 Version précise pour le bac :
P(μ−1,96σ ≤ X ≤ μ+1,96σ) ≈ 0,95 (exactement 95 %)
P(μ−2,576σ ≤ X ≤ μ+2,576σ) ≈ 0,99 (exactement 99 %)
📝 Application numérique

La taille des adultes français suit (approximativement) N(175 ; 8²) en cm.
— 68 % ont une taille entre 175−8=167 cm et 175+8=183 cm
— 95 % ont une taille entre 175−16=159 cm et 175+16=191 cm
— 99,7 % ont une taille entre 175−24=151 cm et 175+24=199 cm

Section 06

Standardisation — centrage et réduction

Principe : Si X ~ N(μ, σ²), on peut se ramener à N(0,1) par le changement de variable Z = (X − μ) / σ. Z est appelée la variable centrée réduite associée à X.
Si X ~ N(μ, σ²), alors Z = (X − μ)/σ ~ N(0,1)
P(a ≤ X ≤ b) = P((a−μ)/σ ≤ Z ≤ (b−μ)/σ) = Φ((b−μ)/σ) − Φ((a−μ)/σ)
📝 Exemple de standardisation

X ~ N(100 ; 225) (μ=100, σ=15). Calculer P(85 ≤ X ≤ 130).
Z = (X−100)/15.
P(85 ≤ X ≤ 130) = P((85−100)/15 ≤ Z ≤ (130−100)/15)
= P(−1 ≤ Z ≤ 2) = Φ(2) − Φ(−1) = Φ(2) − (1−Φ(1))
= 0,9772 − (1−0,8413) = 0,9772 − 0,1587 = 0,8185 ≈ 81,9 %.

Section 07

Intervalle de fluctuation

Contexte : On répète n fois une expérience de Bernoulli (succès avec probabilité p). La fréquence observée fn = X/n fluctue autour de p. L’intervalle de fluctuation donne un encadrement de fn valable avec une probabilité donnée (souvent 95 %).
Intervalle de fluctuation au seuil 95 % : IF = [ p − 1,96√(p(1−p)/n) ; p + 1,96√(p(1−p)/n) ]
📘 Interprétation : Si p est la probabilité théorique de succès et n la taille de l’échantillon, alors P(fn ∈ IF) ≥ 0,95. Autrement dit, dans 95 % des cas, la fréquence observée sera dans cet intervalle.
💡 Conditions d’application : L’approximation par la loi normale est valide si n est suffisamment grand. Règle pratique : n ≥ 30 et np ≥ 5 et n(1−p) ≥ 5.
📝 Exemple — intervalle de fluctuation

Un dé équilibré est lancé 300 fois. Donner l’intervalle de fluctuation de la fréquence d’apparition du 6 au seuil 95 %.
p = 1/6 ≈ 0,167, n = 300.
√(p(1−p)/n) = √(0,167×0,833/300) = √(0,000464) ≈ 0,0215.
IF = [0,167 − 1,96×0,0215 ; 0,167 + 1,96×0,0215] = [0,167 − 0,042 ; 0,167 + 0,042] = [0,125 ; 0,209].
Si la fréquence observée sort de [0,125 ; 0,209], on a une raison de douter de l’équilibre du dé.

Section 08

Estimation par intervalle de confiance

Problème inverse : On observe une fréquence f dans un échantillon de taille n, et on veut estimer la probabilité théorique p inconnue. L’intervalle de confiance donne un encadrement de p avec un niveau de confiance donné.
Intervalle de confiance à 95 % pour p : IC = [ f − 1,96√(f(1−f)/n) ; f + 1,96√(f(1−f)/n) ]
📘 Interprétation : « Il y a 95 % de chances que p appartienne à IC. » On remplace p inconnu par f (fréquence observée) dans le calcul de la marge d’erreur.
✅ Marge d’erreur simplifiée : Pour un sondage, la marge d’erreur au seuil 95 % est approximée par 1/√n (valable quand f ≈ 0,5).
Pour n = 1 000 : marge ≈ 1/√1000 ≈ 3,2 %.
Pour n = 10 000 : marge ≈ 1/√10000 = 1 %.
📝 Exemple — intervalle de confiance

Dans un sondage, 480 personnes sur 800 interrogées déclarent préférer le produit A.
f = 480/800 = 0,6. n = 800.
√(f(1−f)/n) = √(0,6×0,4/800) = √(0,0003) ≈ 0,01732.
IC = [0,6 − 1,96×0,01732 ; 0,6 + 1,96×0,01732] = [0,6 − 0,034 ; 0,6 + 0,034] = [0,566 ; 0,634].
On estime avec 95 % de confiance que la proportion réelle p est entre 56,6 % et 63,4 %.

Section 09

Loi des grands nombres

Théorème (loi faible des grands nombres) : Soient X1, X2, …, Xn des variables aléatoires indépendantes de même espérance μ. La moyenne empirique Mn = (X1+…+Xn)/n converge vers μ quand n → +∞ : pour tout ε > 0, P(|Mn − μ| > ε) → 0.
📘 Interprétation intuitive : Plus on répète une expérience, plus la fréquence observée se rapproche de la probabilité théorique. C’est la justification mathématique du fait qu’un dé lancé un très grand nombre de fois donne chaque face environ 1/6 du temps.
📝 Lien avec l’intervalle de fluctuation

L’intervalle de fluctuation [p − 1,96√(p(1−p)/n) ; p + 1,96√(p(1−p)/n)] se rétrécit quand n augmente, car √(1/n) → 0. Plus l’échantillon est grand, plus la fréquence observée est concentrée autour de p — c’est une manifestation de la loi des grands nombres.

Section 10

Approximation de la loi binomiale par la loi normale

Théorème central limite : Si X ~ B(n, p) avec n grand, alors X est approximativement N(np, np(1−p)).
La variable centrée réduite Z = (X − np)/√(np(1−p)) suit approximativement N(0,1).
B(n, p) ≈ N(np, np(1−p)) quand n est grand (np ≥ 5 et n(1−p) ≥ 5)
📝 Comparaison des deux approches

X ~ B(100, 0,4). Calculer P(X ≤ 50).
Paramètres de la loi normale approchée :
μ = np = 100×0,4 = 40  ;  σ = √(np(1−p)) = √(100×0,4×0,6) = √24 ≈ 4,899.
P(X ≤ 50) ≈ P(Z ≤ (50−40)/4,899) = P(Z ≤ 2,04) = Φ(2,04) ≈ 0,979.
La valeur exacte (binomiale) est ≈ 0,9832 — l’approximation est très bonne.

Condition Loi à utiliser
n petit (≤ 30) ou np < 5 Loi binomiale exacte B(n,p)
n grand, p quelconque, np ≥ 5 Approximation normale N(np, np(1−p))
n grand, p très petit (np < 10) Approximation de Poisson

Section 11

Exercices types bac

📝 Exercice 1 — calcul de probabilité avec N(0,1)

Z ~ N(0,1). Calculer P(−1,5 ≤ Z ≤ 2,3). On donne Φ(1,5) = 0,9332 et Φ(2,3) = 0,9893.
P(−1,5 ≤ Z ≤ 2,3) = Φ(2,3) − Φ(−1,5) = Φ(2,3) − (1−Φ(1,5))
= 0,9893 − (1−0,9332) = 0,9893 − 0,0668 = 0,9225.

📝 Exercice 2 — standardisation

X ~ N(50 ; 16) (μ=50, σ=4). Calculer P(44 ≤ X ≤ 56).
Z = (X−50)/4.
P(44 ≤ X ≤ 56) = P((44−50)/4 ≤ Z ≤ (56−50)/4) = P(−1,5 ≤ Z ≤ 1,5)
= 2Φ(1,5) − 1 = 2×0,9332 − 1 = 0,8664 ≈ 86,6 %.

📝 Exercice 3 — intervalle de fluctuation et test

Un médicament est efficace avec probabilité p = 0,7. On teste sur 200 patients. La fréquence d’efficacité observée est 0,62. Ce résultat est-il compatible avec p = 0,7 au seuil 5 % ?
IF = [0,7 − 1,96√(0,7×0,3/200) ; 0,7 + 1,96√(0,7×0,3/200)] = [0,7 − 1,96×0,0324 ; 0,7 + 1,96×0,0324] = [0,7 − 0,0635 ; 0,7 + 0,0635] = [0,637 ; 0,763].
0,62 ∉ [0,637 ; 0,763] → résultat non compatible avec p = 0,7 au seuil 5 %.

📝 Exercice 4 — intervalle de confiance (sondage)

Un sondage auprès de 1 200 personnes donne 54 % de favorable. Donner l’intervalle de confiance à 95 %.
f = 0,54, n = 1 200.
√(0,54×0,46/1200) = √(0,000207) ≈ 0,01439.
IC = [0,54 − 1,96×0,01439 ; 0,54 + 1,96×0,01439] = [0,54 − 0,0282 ; 0,54 + 0,0282] = [0,512 ; 0,568].
On estime p ∈ [51,2 % ; 56,8 %] avec 95 % de confiance.

Section 12

Questions fréquentes

Quelle différence entre intervalle de fluctuation et intervalle de confiance ?
La différence est dans le sens de la démarche. L’intervalle de fluctuation part de p connu : « si la vraie probabilité est p, dans quel intervalle tombera la fréquence observée dans 95 % des cas ? » C’est utile pour tester si une fréquence observée est compatible avec une valeur théorique. L’intervalle de confiance part de la fréquence observée f : « à partir de ce que j’observe, que peut valoir p ? » C’est le problème de l’estimation, typique des sondages. Dans les deux cas, la formule est similaire mais le point de départ est inversé.

Pourquoi utilise-t-on le coefficient 1,96 pour le seuil 95 % ?
1,96 est le quantile d’ordre 0,975 de la loi normale N(0,1), c’est-à-dire Φ(1,96) = 0,975. Cela signifie que P(−1,96 ≤ Z ≤ 1,96) = 2×0,975 − 1 = 0,95 exactement. Pour couvrir 95 % de la distribution symétrique, on laisse 2,5 % dans chaque queue. Le coefficient 1,645 correspond au seuil 90 % (5 % dans chaque queue), et 2,576 correspond au seuil 99 % (0,5 % dans chaque queue).

Comment lire une table de la loi normale N(0,1) ?
La table donne Φ(t) = P(Z ≤ t) pour Z ~ N(0,1). Pour lire P(Z ≤ 1,64) : repérer la ligne « 1,6 » et la colonne « 4 » → Φ(1,64) ≈ 0,9495. Pour les valeurs négatives, utiliser la symétrie : Φ(−t) = 1 − Φ(t). Donc P(Z ≤ −1,64) = 1 − 0,9495 = 0,0505. Pour calculer P(a ≤ Z ≤ b) = Φ(b) − Φ(a), il faut toujours d’abord ramener les valeurs négatives avec la formule de symétrie.

Quand peut-on approcher une loi binomiale par une loi normale ?
L’approximation B(n,p) ≈ N(np, np(1−p)) est valide lorsque n est suffisamment grand et p n’est pas trop extrême. La règle pratique retenue au bac : n ≥ 30, np ≥ 5 et n(1−p) ≥ 5. Quand p est très proche de 0 ou de 1, l’approximation se dégrade car la binomiale est très asymétrique, contrairement à la loi normale qui est toujours symétrique. Dans ces cas, on préfère la loi de Poisson (hors programme) ou on utilise la loi binomiale exacte.

Que signifie concrètement « un intervalle de confiance à 95 % » ?
L’interprétation correcte est : « si on répétait l’expérience (sondage) un très grand nombre de fois, 95 % des intervalles construits de cette manière contiendraient la vraie valeur p. » Ce n’est pas « il y a 95 % de chance que p soit dans CET intervalle » — car p est une constante fixe (elle vaut ce qu’elle vaut), c’est l’intervalle qui est aléatoire. En pratique, on dit néanmoins par abus de langage qu’on estime p avec 95 % de confiance, ce qui est acceptable au niveau lycée.

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