Loi Binomiale et Loi Normale : Cours Complet

Terminale spécialité maths — Schéma de Bernoulli, coefficients binomiaux, loi normale, intervalle de fluctuation

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2026
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📋 Sommaire
1. Épreuve de Bernoulli
7. Loi normale centrée réduite
2. Schéma de Bernoulli
8. Loi normale N(μ ; σ²)
3. Coefficients binomiaux
9. Approximation normale
4. Loi binomiale B(n,p)
10. Intervalle de fluctuation
5. Espérance, variance, écart-type
11. Exercices types bac
6. Calculs avec la loi binomiale
12. Questions fréquentes

SECTION 01

Épreuve de Bernoulli

📌 Définition

Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à exactement deux issues :

• Succès (S), de probabilité p

• Échec (E), de probabilité q = 1 − p

📝 Exemples

Lancer une pièce : Succès = Face (p = 1/2), Échec = Pile.

Tirer une boule rouge parmi 3 rouges et 7 bleues : p = 3/10 = 0,3.

Un composant est défectueux avec probabilité 0,02 : p = 0,02.

📊 Variable de Bernoulli

La variable X associée vaut 1 en cas de succès et 0 en cas d'échec. On dit que X suit la loi de Bernoulli de paramètre p, notée X ~ B(p).

x 0 (échec) 1 (succès)
P(X = x) 1 − p p
📘 Paramètres : E(X) = p, V(X) = p(1−p) = pq, σ(X) = √(pq).

SECTION 02

Schéma de Bernoulli

📌 Définition

Un schéma de Bernoulli est la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Chaque épreuve a la même probabilité p de succès, et le résultat de l'une n'influence pas les autres.

📝 Exemple : 5 lancers de pièce

n = 5 épreuves, p = 1/2 (probabilité de Face à chaque lancer).

Les lancers sont indépendants (le résultat du 1er ne change pas les suivants).

X = nombre de Face obtenus. X peut valoir 0, 1, 2, 3, 4 ou 5.

⚠️ Conditions à vérifier : Pour qu'on soit dans un schéma de Bernoulli, il faut que les épreuves soient identiques (même p à chaque fois) et indépendantes. Par exemple, un tirage sans remise n'est PAS un schéma de Bernoulli (les probabilités changent). Un tirage avec remise en est un.
✅ Variable X : Dans un schéma de Bernoulli de paramètres n et p, la variable X = « nombre de succès » suit la loi binomiale B(n, p).

SECTION 03

Coefficients binomiaux

📌 Définition

Le coefficient binomial « k parmi n », noté C(n,k) ou (n k), est le nombre de façons de choisir k éléments parmi n :

C(n,k) = n! / (k! × (n−k)!)
📝 Exemples

C(5,2) = 5! / (2! × 3!) = 120 / (2 × 6) = 10.

C(10,3) = 10! / (3! × 7!) = 720/6 = 120.

C(n,0) = 1 et C(n,n) = 1 (toujours).

C(n,1) = n et C(n,n−1) = n.

Propriété Formule
Symétrie C(n,k) = C(n, n−k)
Pascal C(n+1, k) = C(n,k) + C(n,k−1)
Somme C(n,0) + C(n,1) + … + C(n,n) = 2ⁿ
📐 Triangle de Pascal (premières lignes)
n \ k 0 1 2 3 4 5
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
💡 Construction : Chaque nombre est la somme des deux nombres situés au-dessus (relation de Pascal). Le triangle est symétrique.

SECTION 04

Loi binomiale B(n, p)

📌 Formule

Si X ~ B(n, p), la probabilité d'obtenir exactement k succès parmi n épreuves est :

P(X = k) = C(n,k) × pᵏ × (1−p)n−k

pour k = 0, 1, 2, …, n.

📘 Interprétation de chaque terme :
• C(n,k) = nombre de chemins avec k succès parmi n épreuves.
• pᵏ = probabilité des k succès.
• (1−p)n−k = probabilité des (n−k) échecs.
📝 Exemple : 8 lancers de dé, probabilité d'obtenir exactement 3 six

X ~ B(8, 1/6). P(X = 3) = C(8,3) × (1/6)³ × (5/6)⁵.

= 56 × (1/216) × (3125/7776) = 56 × 3125 / 1 679 616 ≈ 0,1042 (environ 10,4 %).

📝 Exemple : 10 questions QCM à 4 choix, réponses au hasard

X ~ B(10, 1/4). P(X = 0) = C(10,0) × (1/4)⁰ × (3/4)¹⁰ = (3/4)¹⁰ ≈ 0,0563.

P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) ≈ 1 − 0,0563 = 0,9437.

SECTION 05

Espérance, variance, écart-type

📌 Formules pour X ~ B(n, p)
E(X) = np V(X) = np(1−p) σ(X) = √(np(1−p))
Paramètre Formule Interprétation
Espérance E(X) np Nombre moyen de succès attendus
Variance V(X) np(1−p) Mesure la dispersion autour de la moyenne
Écart-type σ(X) √(np(1−p)) Dispersion en « même unité » que X
📝 Exemple : X ~ B(100, 0,3)

E(X) = 100 × 0,3 = 30 (on s'attend à 30 succès en moyenne).

V(X) = 100 × 0,3 × 0,7 = 21.

σ(X) = √21 ≈ 4,58.

✅ Interprétation : Si on répète l'expérience un grand nombre de fois, le nombre moyen de succès sera proche de np. L'écart-type mesure la « marge d'erreur typique » autour de cette moyenne.

SECTION 06

Calculs avec la loi binomiale

Probabilité Calcul Astuce
P(X = k) C(n,k) pᵏ (1−p)n−k Formule directe
P(X ≤ k) P(X=0) + P(X=1) + … + P(X=k) Fonction cumulative (calculatrice)
P(X ≥ k) 1 − P(X ≤ k−1) Passage au complémentaire
P(X ≥ 1) 1 − P(X = 0) = 1 − (1−p)ⁿ « Au moins un succès »
P(a ≤ X ≤ b) P(X ≤ b) − P(X ≤ a−1) Différence de cumulatives
📝 Exemple : contrôle qualité

Un lot contient 5 % de pièces défectueuses. On prélève 20 pièces (avec remise). X = nombre de défectueuses. X ~ B(20, 0,05).

P(X = 0) = (0,95)²⁰ ≈ 0,3585. P(aucune défectueuse) ≈ 35,9 %.

P(X ≥ 1) = 1 − 0,3585 ≈ 0,6415. P(au moins une) ≈ 64,2 %.

P(X ≤ 2) = P(0) + P(1) + P(2) ≈ 0,3585 + 0,3774 + 0,1887 ≈ 0,9246.

🎯 À la calculatrice : La fonction binomFdp (ou binompdf) donne P(X=k). La fonction binomFRép (ou binomcdf) donne P(X≤k). Ces fonctions sont indispensables au bac pour les calculs avec n grand.

SECTION 07

Loi normale centrée réduite N(0 ; 1)

📌 Définition

La loi normale centrée réduite N(0;1) est une loi de probabilité continue dont la densité est la fameuse courbe en cloche (courbe de Gauss), symétrique par rapport à 0.

Si Z ~ N(0;1) : E(Z) = 0, σ(Z) = 1.

📊 Probabilités remarquables à connaître
Intervalle P(Z ∈ intervalle) Valeur approchée
[−1 ; 1] P(−1 ≤ Z ≤ 1) ≈ 68,3 %
[−2 ; 2] P(−2 ≤ Z ≤ 2) ≈ 95,4 %
[−3 ; 3] P(−3 ≤ Z ≤ 3) ≈ 99,7 %
[−1,96 ; 1,96] P(−1,96 ≤ Z ≤ 1,96) ≈ 95 %
💡 Règle 68-95-99,7 : Environ 68 % des valeurs sont à moins de 1 écart-type de la moyenne, 95 % à moins de 2, et 99,7 % à moins de 3. Cette règle empirique s'applique à toute loi normale.
📘 Le nombre 1,96 : P(−1,96 ≤ Z ≤ 1,96) ≈ 0,95. C'est le seuil de 95 % le plus utilisé en statistiques. Il apparaît dans les intervalles de confiance et de fluctuation.

SECTION 08

Loi normale N(μ ; σ²)

📌 Définition

Si X ~ N(μ ; σ²), la courbe de densité est une cloche centrée en μ et d'écart-type σ. Plus σ est petit, plus la cloche est « resserrée ».

📐 Centrer-réduire

Si X ~ N(μ ; σ²), alors la variable :

Z = (X − μ) / σ suit N(0 ; 1)

On ramène n'importe quelle loi normale à la loi centrée réduite.

📝 Exemple : taille des adultes

La taille X des hommes adultes suit N(175 ; 7²) (cm).

P(X ≤ 180) = P(Z ≤ (180−175)/7) = P(Z ≤ 0,714) ≈ 0,762 (76,2 %).

P(168 ≤ X ≤ 182) = P((168−175)/7 ≤ Z ≤ (182−175)/7) = P(−1 ≤ Z ≤ 1) ≈ 0,683.

✅ Intervalle à 95 % : Pour X ~ N(μ ; σ²) :
P(μ − 1,96σ ≤ X ≤ μ + 1,96σ) ≈ 0,95.
95 % des valeurs sont dans [μ − 1,96σ ; μ + 1,96σ].

SECTION 09

Approximation normale de la loi binomiale

📌 Théorème (admis au lycée)

Si X ~ B(n, p) avec n suffisamment grand (en pratique np ≥ 5 et n(1−p) ≥ 5), alors X est approximativement normale :

X ≈ N(np ; np(1−p))
📝 Exemple

X ~ B(200, 0,3). np = 60, n(1−p) = 140. Les deux ≥ 5 → approximation OK.

X ≈ N(60 ; 42). σ = √42 ≈ 6,48.

P(X ≤ 50) ≈ P(Z ≤ (50−60)/6,48) = P(Z ≤ −1,54) ≈ 0,062.

🎯 Pourquoi approximer : Quand n est grand (50, 100, 200…), calculer P(X = k) avec la formule binomiale est très laborieux. L'approximation normale permet d'utiliser la table de la loi normale ou la calculatrice directement.

SECTION 10

Intervalle de fluctuation

📌 Intervalle de fluctuation au seuil de 95 %

Pour la fréquence observée F = X/n d'un échantillon de taille n, quand n est assez grand :

I95 = [p − 1,96√(p(1−p)/n) ; p + 1,96√(p(1−p)/n)]

Si la fréquence observée f tombe en dehors de cet intervalle, on rejette l'hypothèse « la vraie proportion est p » au seuil de 5 %.

📝 Exemple : test d'une pièce de monnaie

On lance une pièce 400 fois et on obtient 220 Face (f = 220/400 = 0,55).

Hypothèse : la pièce est équilibrée (p = 0,5).

I95 = [0,5 − 1,96×√(0,25/400) ; 0,5 + 1,96×√(0,25/400)]

= [0,5 − 1,96×0,025 ; 0,5 + 1,96×0,025] = [0,451 ; 0,549].

f = 0,55 ∉ [0,451 ; 0,549] → on rejette l'hypothèse : la pièce semble biaisée.

⚠️ Attention : Rejeter l'hypothèse ne la « prouve pas fausse ». Cela signifie que le résultat observé est improbable (< 5 % de chances) si l'hypothèse est vraie. Il y a toujours un risque d'erreur de 5 %.

SECTION 11

Exercices types bac

Type 1 — Calculer P(X = k) avec la loi binomiale

Identifier n et p, appliquer C(n,k) pᵏ (1−p)n−k.

🧠 X ~ B(6, 1/3). P(X = 2) = ?
C(6,2) × (1/3)² × (2/3)⁴ = 15 × 1/9 × 16/81 = 240/729 ≈ 0,329.
Type 2 — Calculer P(X ≥ k) ou P(X ≤ k)

Complémentaire ou somme cumulative.

Type 3 — Espérance et interprétation

E(X) = np. Interpréter dans le contexte.

🧠 Un dé est lancé 60 fois. Combien de 6 attend-on en moyenne ?
X ~ B(60, 1/6). E(X) = 60/6 = 10 six en moyenne.
Type 4 — Loi normale : calcul de probabilité

Centrer-réduire, puis lire la table ou utiliser la calculatrice.

Type 5 — Intervalle de fluctuation et prise de décision

Calculer I95, comparer la fréquence observée, conclure.

🧠 Un laboratoire affirme que son médicament guérit 80 % des patients. Sur 50 patients testés, 35 sont guéris (f=0,7). L'affirmation est-elle crédible au seuil 5 % ?
p=0,8, n=50. I₉₅ = [0,8−1,96√(0,16/50) ; 0,8+1,96√(0,16/50)] = [0,8−0,111 ; 0,8+0,111] = [0,689 ; 0,911]. f=0,7 ∈ I₉₅ → on ne rejette pas l'affirmation.

SECTION 12

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une loi binomiale ?
B(n,p) donne la probabilité de k succès dans n épreuves de Bernoulli indépendantes. P(X=k) = C(n,k) pᵏ (1−p)n−k.
Comment calculer un coefficient binomial ?
C(n,k) = n! / (k!(n−k)!). Ex : C(5,2) = 10. Ou triangle de Pascal, ou calculatrice.
Espérance de la loi binomiale ?
E(X) = np. Nombre moyen de succès. V(X) = np(1−p). σ = √(np(1−p)).
Qu'est-ce que la loi normale ?
Loi continue N(μ,σ²), courbe en cloche. 68 % dans [μ−σ ; μ+σ], 95 % dans [μ−2σ ; μ+2σ].
Comment centrer-réduire ?
Z = (X−μ)/σ. Z suit N(0;1). Permet d'utiliser les tables standard.
Quand approximer binomiale → normale ?
Quand np ≥ 5 et n(1−p) ≥ 5. Alors B(n,p) ≈ N(np, np(1−p)).
Qu'est-ce que l'intervalle de fluctuation ?
[p−1,96√(pq/n) ; p+1,96√(pq/n)]. Si la fréquence observée en sort → on rejette l'hypothèse au seuil 5 %.
Que signifie le seuil de 5 % ?
On accepte 5 % de risque de rejeter à tort l'hypothèse. Résultat hors de l'intervalle → considéré significatif.
La loi binomiale tombe-t-elle au bac ?
Systématiquement. Calculs binomiaux, espérance, prise de décision, intervalles de fluctuation. Un des chapitres les plus fréquents.
Différence binomiale vs normale ?
Binomiale : discrète (X entier, 0 à n). Normale : continue (X réel). Pour n grand, la binomiale est bien approximée par la normale.
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