Dénombrement : Cours Complet

Première & Terminale spécialité maths — Permutations, arrangements, combinaisons et applications

12
Sections
25+
Exemples
2026
Programme
📚 Navigation

🏠 Hub Maths Lycée
🎲 Probabilités (1ère)
📊 Loi binomiale (Term)

📋 Sommaire
1. Principe additif
7. Combinaisons
2. Principe multiplicatif
8. Propriétés des combinaisons
3. Factorielle
9. Formule du binôme de Newton
4. Permutations
10. Arbre de dénombrement
5. Arrangements
11. Exercices types bac
6. Avec ou sans répétition
12. Questions fréquentes

SECTION 01

Principe additif

📌 Règle

Si deux événements A et B sont incompatibles (mutuellement exclusifs : on ne peut pas faire les deux à la fois), le nombre total de possibilités est :

Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B)
📝 Exemple

Au restaurant, on choisit une entrée parmi 4 OU un dessert parmi 6 (pas les deux). Nombre de choix possibles = 4 + 6 = 10.

📘 Formule générale (non incompatibles) : Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B) − Card(A ∩ B). On soustrait les cas comptés deux fois. Si A et B sont incompatibles, A∩B = ∅ et on retrouve la formule simple.

SECTION 02

Principe multiplicatif

📌 Règle fondamentale

Si une opération se décompose en étapes successives et indépendantes, le nombre total de résultats est le produit du nombre de choix à chaque étape :

Total = n₁ × n₂ × n₃ × … × nₖ
📝 Exemple : code PIN à 4 chiffres

Chaque position : 10 choix (0 à 9). 4 positions indépendantes.

Total = 10 × 10 × 10 × 10 = 10⁴ = 10 000 codes possibles.

📝 Exemple : tenue vestimentaire

5 hauts, 3 pantalons, 4 paires de chaussures.

Nombre de tenues = 5 × 3 × 4 = 60.

📝 Exemple : plaques d'immatriculation

Format : 2 lettres + 3 chiffres + 2 lettres. 26 choix par lettre, 10 par chiffre.

Total = 26² × 10³ × 26² = 26⁴ × 10³ = 456 976 × 1 000 = 456 976 000.

💡 C'est LE principe le plus important du dénombrement. La plupart des exercices de bac se ramènent à identifier les étapes successives puis à multiplier les choix.

SECTION 03

Factorielle

📌 Définition
n! = n × (n−1) × (n−2) × … × 2 × 1

Par convention : 0! = 1 et 1! = 1.

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n! 1 1 2 6 24 120 720 5 040 40 320 362 880 3 628 800
✅ Propriété récursive : n! = n × (n−1)!. Exemple : 7! = 7 × 6! = 7 × 720 = 5 040.
⚠️ Croissance explosive : La factorielle croît extrêmement vite. 10! ≈ 3,6 millions. 20! ≈ 2,4 × 10¹⁸. C'est pourquoi on ne peut pas « tester toutes les possibilités » dès que n dépasse 15-20.

SECTION 04

Permutations

📌 Définition

Une permutation de n éléments est un arrangement de ces n éléments dans un certain ordre. Le nombre de permutations de n éléments est :

Pn = n!
📝 Exemple : ranger 5 livres sur une étagère

1ère position : 5 choix. 2ème : 4 choix. 3ème : 3. 4ème : 2. 5ème : 1.

Total = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5! = 120 arrangements.

📝 Exemple : ordre d'arrivée d'une course de 8 coureurs

8! = 40 320 classements possibles.

💡 Quand utiliser les permutations : Quand on range TOUS les éléments dans un ORDRE. Pas de sélection (on prend tout), mais l'ordre compte.

SECTION 05

Arrangements

📌 Définition

Un arrangement de k éléments parmi n est un choix ordonné de k éléments parmi n (sans répétition) :

Ank = n! / (n−k)! = n × (n−1) × … × (n−k+1)

C'est le produit de k termes consécutifs décroissants à partir de n.

📝 Exemple : podium d'une course (3 parmi 10)

A₁₀³ = 10 × 9 × 8 = 720 podiums possibles.

Vérification : 10! / 7! = 3 628 800 / 5 040 = 720. ✓

📝 Exemple : code à 4 chiffres distincts

A₁₀⁴ = 10 × 9 × 8 × 7 = 5 040.

(Contre 10 000 si répétitions autorisées.)

🎯 Arrangement vs permutation : La permutation est le cas particulier k = n (on prend tout). L'arrangement, on choisit k parmi n, et l'ordre compte.

SECTION 06

Avec ou sans répétition ?

Situation Répétition autorisée Sans répétition
Ordre compte, k parmi n nᵏ (tirage avec remise) Ank = n!/(n−k)!
Ordre compte, tous (k=n) — n! (permutation)
Ordre ne compte pas, k parmi n C(n+k−1, k) C(n,k) = n!/(k!(n−k)!)
✅ La question clé à se poser :
1. L'ordre compte-t-il ? (AB ≠ BA ?) → Si oui : arrangement. Si non : combinaison.
2. La répétition est-elle possible ? (Peut-on reprendre un élément déjà choisi ?) → Si oui : avec remise (nᵏ). Si non : sans remise (factorielles).
📝 Arbre de décision

Mot de passe de 4 lettres ? → Ordre OUI, répétition OUI → 26⁴ = 456 976.

Mot de passe de 4 lettres toutes différentes ? → Ordre OUI, répétition NON → A₂₆⁴ = 358 800.

Choisir 4 délégués parmi 26 ? → Ordre NON, répétition NON → C(26,4) = 14 950.

Élire président + vice-président + secrétaire parmi 26 ? → Ordre OUI → A₂₆³ = 15 600.

SECTION 07

Combinaisons

📌 Définition

Le nombre de façons de choisir k éléments parmi n sans tenir compte de l'ordre est :

C(n,k) = (nk) = n! / (k! × (n−k)!)

Se lit « k parmi n » ou « n choose k ».

📘 Lien avec les arrangements : C(n,k) = Ank / k! . On divise par k! car les k! ordres différents d'un même groupe comptent pour un seul choix.
📝 Exemple : choisir 3 fruits parmi 8

C(8,3) = 8! / (3! × 5!) = (8×7×6) / (3×2×1) = 336 / 6 = 56.

📝 Exemple : comité de 5 personnes parmi 12

C(12,5) = 12! / (5! × 7!) = (12×11×10×9×8) / (5×4×3×2×1) = 95 040 / 120 = 792.

📝 Exemple : Loto (5 numéros parmi 49)

C(49,5) = 49! / (5! × 44!) = (49×48×47×46×45) / 120 = 1 906 884 combinaisons.

SECTION 08

Propriétés des combinaisons

Propriété Formule Explication
Cas extrêmes C(n,0) = C(n,n) = 1 1 façon de choisir 0 ou n éléments
Symétrie C(n,k) = C(n, n−k) Choisir k revient à exclure n−k
Pascal C(n+1,k) = C(n,k) + C(n,k−1) Triangle de Pascal
Somme C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,n) = 2ⁿ Nombre total de sous-ensembles
📝 Exemples de symétrie

C(10,3) = C(10,7) = 120. Choisir 3 éléments ⟺ en exclure 7.

C(100,98) = C(100,2) = 4 950. Beaucoup plus simple à calculer !

💡 Astuce calcul : Quand k > n/2, utiliser la symétrie. C(20,17) = C(20,3) = (20×19×18)/(3×2×1) = 1 140. Bien plus rapide que de calculer 17!.

SECTION 09

Formule du binôme de Newton

📌 Théorème
(a + b)ⁿ = Σk=0n C(n,k) × aⁿ⁻ᵏ × bᵏ
📝 Exemple : développer (a+b)³

= C(3,0)a³ + C(3,1)a²b + C(3,2)ab² + C(3,3)b³

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

📝 Exemple : développer (1+x)⁴

= C(4,0) + C(4,1)x + C(4,2)x² + C(4,3)x³ + C(4,4)x⁴

= 1 + 4x + 6x² + 4x³ + x⁴.

✅ Cas particuliers utiles :
• a=1, b=1 : 2ⁿ = Σ C(n,k). (Somme de toute la ligne du triangle de Pascal.)
• a=1, b=−1 : 0 = Σ (−1)ᵏ C(n,k). (La somme alternée vaut 0.)

SECTION 10

Arbre de dénombrement

📌 Méthode de l'arbre

Pour des problèmes avec peu de possibilités (n petit), on peut dessiner un arbre où chaque branche représente un choix. Le nombre total de résultats = nombre de chemins de la racine aux feuilles.

📝 Exemple : lancer 2 dés

Dé 1 : 6 branches. Pour chaque branche, dé 2 : 6 branches. Total : 6 × 6 = 36 résultats.

⚠️ Limites de l'arbre : L'arbre n'est pratique que pour n ≤ 4 environ. Au-delà, il y a trop de branches et on utilise les formules (principe multiplicatif, combinaisons, etc.).
🎯 Quand utiliser l'arbre : Pour vérifier un résultat, pour des cas avec contraintes complexes, ou quand le problème ne rentre pas dans les formules standard.

SECTION 11

Exercices types bac

Type 1 — Dénombrer avec le principe multiplicatif

Identifier les étapes indépendantes, multiplier les choix.

🧠 Un code est formé de 2 lettres suivies de 3 chiffres. Combien de codes possibles ?
26 × 26 × 10 × 10 × 10 = 26² × 10³ = 676 000.
Type 2 — Permutations

Ranger n objets dans un ordre.

🧠 De combien de façons peut-on ranger 6 personnes autour d'une table ronde ?
Table ronde : on fixe 1 personne et on permute les 5 autres. (6−1)! = 5! = 120.
Type 3 — Combinaisons simples

Choisir k parmi n sans ordre.

🧠 Combien de mains de 5 cartes dans un jeu de 32 ?
C(32,5) = (32×31×30×29×28)/(5!) = 201 376.
Type 4 — Combinaisons avec contraintes

Choisir k éléments avec conditions (au moins, au plus, exactement).

🧠 Comité de 4 personnes parmi 6 hommes et 5 femmes, avec au moins 2 femmes.
Cas 2F+2H : C(5,2)×C(6,2) = 10×15 = 150. Cas 3F+1H : C(5,3)×C(6,1) = 10×6 = 60. Cas 4F : C(5,4) = 5. Total = 150+60+5 = 215.
Type 5 — Lien avec les probabilités

Utiliser le dénombrement pour calculer une probabilité en situation d'équiprobabilité.

🧠 Probabilité d'obtenir exactement 2 as dans une main de 5 cartes (jeu de 32).
Cas favorables : C(4,2)×C(28,3) = 6×3276 = 19 656. Cas possibles : C(32,5) = 201 376. P = 19 656/201 376 ≈ 0,0976 ≈ 9,8 %.

SECTION 12

Questions fréquentes

Arrangement vs combinaison ?
Arrangement : l'ordre compte (AB ≠ BA). Combinaison : l'ordre ne compte pas (AB = BA). C(n,k) = A(n,k)/k!.
Qu'est-ce qu'une permutation ?
Arrangement de tous les n éléments. Nombre = n!. Ex : 5 livres → 120 ordres.
Que vaut 0! ?
0! = 1 par convention. Nécessaire pour que C(n,0) = 1.
Comment savoir si l'ordre compte ?
Classement, code, mot → ordre compte (arrangement). Comité, main de cartes, groupe → ordre ne compte pas (combinaison).
Principe multiplicatif ?
Étapes indépendantes → multiplier les choix. 3 chemises × 4 pantalons = 12 tenues.
Binôme de Newton ?
(a+b)ⁿ = Σ C(n,k) aⁿ⁻ᵏ bᵏ. Développe une puissance de binôme avec les coefficients binomiaux.
Calculer C(n,k) rapidement ?
Produit de k termes / k!. Et symétrie : C(n,k) = C(n,n−k) si k > n/2.
Triangle de Pascal ?
Affiche les C(n,k). Chaque nombre = somme des 2 au-dessus. C(n+1,k) = C(n,k) + C(n,k−1).
Le dénombrement tombe au bac ?
Oui, souvent lié aux probabilités (équiprobabilité) et à la loi binomiale.
Somme des C(n,k) ?
2ⁿ = nombre total de sous-ensembles. Chaque élément : inclus ou exclu (2 choix).
📚 Continuer les maths au lycée

🏠 Hub Maths Lycée
🎲 Probabilités conditionnelles
📊 Loi binomiale & normale
🔢 Suites numériques
🧊 Géométrie dans l'espace
ℂ Nombres complexes