La Valeur Absolue

Cours complet 5e — définition, notation, distance entre deux nombres, propriétés

5e
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Sommaire
1. Définition
2. Sur la droite numérique
3. Propriétés
4. Distance entre deux nombres
5. Exercices corrigés
6. Questions fréquentes
Section 01

Définition de la valeur absolue

Définition

La valeur absolue d’un nombre a, notée |a|, est sa distance à zéro sur la droite numérique. C’est toujours un nombre positif ou nul.

|a| = a   si a ≥ 0
|a| = −a   si a < 0

📘 En clair : la valeur absolue « efface » le signe. On garde uniquement la « taille » du nombre, sans se préoccuper de sa direction (positive ou négative).

|5| = 5   |   |−5| = 5   |   |0| = 0   |   |−3,7| = 3,7

📝 Calculs directs

|8| = 8
|−12| = 12
|−0,5| = 0,5
|7 − 10| = |−3| = 3
|−4 + 4| = |0| = 0
|2 − 9| = |−7| = 7

Section 02

Représentation sur la droite numérique

La valeur absolue de a représente la distance entre le point a et l’origine O (zéro) sur la droite numérique.

←──────┬──────┬──────┬──────┬──────┬──────┬──────┬──────→
       -3    -2    -1     0     1     2     3

|−3| = 3  ←───────────────→  distance de −3 à 0 = 3
|2|  = 2                  ←────→ distance de 2 à 0 = 2

📘 −3 et 3 sont à la même distance de zéro (distance = 3), donc |−3| = |3| = 3. On dit que −3 et 3 sont des opposés et ont la même valeur absolue.
Section 03

Propriétés de la valeur absolue

PropriétéFormuleExemple
Toujours positive|a| ≥ 0|−7| = 7 ≥ 0
Nulle ssi a = 0|a| = 0 ⟺ a = 0|0| = 0
Symétrie|a| = |−a||5| = |−5| = 5
Produit|a × b| = |a| × |b||−3 × 4| = 3 × 4 = 12
Quotient|a / b| = |a| / |b||−10 / 2| = 10/2 = 5
Inégalité triangulaire|a + b| ≤ |a| + |b||3 + (−7)| = 4 ≤ 3+7 = 10
⚠️ Erreur fréquente : −|a| ≠ |−a|
−|3| = −3 (on applique le signe moins à la valeur absolue)
|−3| = 3 (valeur absolue de −3)
Ce sont deux choses très différentes !
Section 04

Distance entre deux nombres

Définition

La distance entre deux nombres a et b sur la droite numérique est :

d(a, b) = |b − a| = |a − b|

d(a, b) = |a − b|symétrique : d(a,b) = d(b,a) | toujours positive
📝 Exemples de distance

d(3, 8) = |8 − 3| = |5| = 5
d(−2, 6) = |6 − (−2)| = |8| = 8
d(−5, −1) = |−1 − (−5)| = |4| = 4
d(4, 4) = |4 − 4| = |0| = 0 (même point)

←──┬──┬──┬──┬──┬──┬──┬──┬──┬──→
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

d(−2, 6) = |6−(−2)| = 8  ←──────────────────→

📘 Application : en physique, la valeur absolue sert à calculer des écarts (écart de température, différence de pression). En statistiques, l’écart à la moyenne est |xi − x̄|.
Section 05

Exercices corrigés

📝 Exercice 1 — calculs de valeurs absolues

Calculer :
a) |−15| = 15
b) |4 − 9| = |−5| = 5
c) |−3| + |−7| = 3 + 7 = 10
d) |−3 + (−7)| = |−10| = 10
e) |−3| × |4| = 3 × 4 = 12
f) |12 / (−4)| = |−3| = 3

📝 Exercice 2 — distances

Calculer la distance entre :
a) 7 et 2 : |7 − 2| = 5
b) −3 et 5 : |−3 − 5| = |−8| = 8
c) −6 et −2 : |−6 − (−2)| = |−4| = 4
d) −4 et 4 : |−4 − 4| = |−8| = 8

📝 Exercice 3 — équation avec valeur absolue

Résoudre |x| = 5.

|x| = 5 signifie que x est à distance 5 de 0.
Deux solutions : x = 5 ou x = −5

Résoudre |x − 3| = 4.
x − 3 = 4 ou x − 3 = −4
x = 7 ou x = −1

📝 Exercice 4 — problème

La température moyenne en janvier est −3°C, en juillet elle est 22°C. Quel est l’écart de température ?

Écart = |22 − (−3)| = |25| = 25°C

Section 06

Questions fréquentes

La valeur absolue d’un nombre négatif est-elle toujours positive ?
Oui, toujours. Par définition, la valeur absolue d’un nombre négatif a est −a, qui est positif (car si a est négatif, −a est positif). Par exemple, si a = −7, alors |a| = −(−7) = 7. La valeur absolue est toujours positive ou nulle, jamais négative.

À quoi sert la valeur absolue dans la vie courante ?
La valeur absolue sert dès qu’on veut mesurer un écart ou une différence sans tenir compte du sens. Exemples : l’écart de température entre deux jours, la différence entre un prix estimé et le prix réel, la marge d’erreur d’une mesure, la distance entre deux points sur un axe. En informatique, elle est utilisée pour des calculs d’erreurs et de tolérances.

Comment résoudre une équation du type |x| = a ?
Si a > 0 : l’équation |x| = a a deux solutions, x = a et x = −a. Si a = 0 : l’unique solution est x = 0. Si a < 0 : pas de solution (la valeur absolue ne peut pas être négative). Pour |x − c| = a, on résout x − c = a (donc x = a + c) et x − c = −a (donc x = −a + c).

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