Le Théorème de Thalès en 3ème : Cours Complet
Énoncé · Configurations · Réciproque · Contraposée · Rédaction brevet — Programme de mathématiques 3ème
📌 Le théorème de Thalès est, avec le théorème de Pythagore, l’un des deux théorèmes incontournables du brevet des collèges. Il intervient dès qu’il y a des droites parallèles coupées par deux sécantes. Sa réciproque permet de démontrer que deux droites sont parallèles. Ce cours couvre les deux configurations, la méthode de rédaction, les applications concrètes et inclut 6 exercices corrigés.
1. Énoncé du théorème de Thalès
✅ Théorème : Si deux droites sécantes sont coupées par deux droites parallèles, alors elles déterminent des segments proportionnels.
Si (MN) // (BC) : AM / AB = AN / AC = MN / BC
2. Les deux configurations
Le théorème de Thalès se présente sous deux configurations géométriques qu’il faut savoir reconnaître.
Configuration « triangle »
Les points M et N sont entre A et B, A et C respectivement. La droite (MN) coupe les côtés du triangle ABC.
→ A, M, B dans cet ordre et A, N, C dans cet ordre
Configuration « papillon » (sablier)
Le point A est entre les deux droites parallèles. Les segments se croisent en A, formant un « X ».
→ R, O, S dans cet ordre et T, O, U dans cet ordre
📖 Important : les rapports du théorème de Thalès sont les mêmes dans les deux configurations. La formule ne change pas. Ce qui change, c’est l’ordre d’alignement des points, qu’il faut toujours préciser dans la rédaction.
3. Méthode de rédaction pour le brevet
La rédaction est très importante au brevet. Voici le modèle à suivre pour ne perdre aucun point :
| Étape | Ce qu’il faut écrire | Exemple |
|---|---|---|
| 1. Sécantes | « Les droites (…) et (…) sont sécantes en … » | Les droites (BM) et (CN) sont sécantes en A. |
| 2. Alignement | « Les points …, …, … sont alignés dans cet ordre » | A, M, B alignés et A, N, C alignés dans cet ordre. |
| 3. Parallélisme | « (…) // (…) » | (MN) // (BC) |
| 4. Citer le théorème | « D’après le théorème de Thalès : » | D’après le théorème de Thalès : |
| 5. Rapports | Écrire les trois rapports | AM/AB = AN/AC = MN/BC |
| 6. Calculer | Substituer et résoudre par produit en croix | 4/5 = AN/AC = 7/MN → MN = 5×7/4 = 8,75 |
| 7. Conclure | Phrase de conclusion avec l’unité | Donc MN = 8,75 cm. |
⚠️ Astuce pour les rapports : le numérateur et le dénominateur d’un même rapport doivent être sur la même droite (sécante). Le numérateur correspond au « petit segment » (côté de (MN)), le dénominateur au « grand segment » (côté de (BC)).
4. Réciproque du théorème de Thalès
La réciproque sert à démontrer que deux droites sont parallèles.
✅ Énoncé : Si les points A, M, B et A, N, C sont alignés dans le même ordre, et si AM/AB = AN/AC, alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
| Étape | Exemple : AM=3, AB=5, AN=4,2, AC=7 |
|---|---|
| 1. Calculer les rapports | AM/AB = 3/5 = 0,6 et AN/AC = 4,2/7 = 0,6 |
| 2. Comparer | AM/AB = AN/AC = 0,6 |
| 3. Vérifier l’alignement | A, M, B et A, N, C alignés dans le même ordre |
| 4. Conclure | D’après la réciproque du th. de Thalès, (MN) // (BC) |
⚠️ Condition indispensable : il faut vérifier que les points sont alignés dans le même ordre. Sans cette vérification, la conclusion est incomplète et on perd des points au brevet.
5. Contraposée : démontrer que deux droites ne sont PAS parallèles
Si les rapports ne sont pas égaux, alors les droites ne sont pas parallèles.
Rédaction type de la contraposée
« Si les droites (MN) et (BC) étaient parallèles, alors d’après le théorème de Thalès on aurait AM/AB = AN/AC. Or AM/AB = … et AN/AC = …, et ces rapports sont différents. Donc (MN) et (BC) ne sont pas parallèles. »
📖 Structure attendue au brevet : Si (hypothèse) → Alors (conséquence du théorème) → Or (les rapports sont différents) → Donc (conclusion). Cette structure en 4 parties est la rédaction attendue.
6. Applications concrètes
| Application | Principe |
|---|---|
| Mesurer la hauteur d’un arbre | Les rayons du soleil sont parallèles → configuration de Thalès entre l’objet et un bâton de référence |
| Mesurer la largeur d’une rivière | Repères sur chaque rive + proportionnalité, sans traverser |
| Agrandissement / réduction | Les rapports de Thalès = coefficient d’agrandissement ou de réduction |
| Cartographie et échelles | Distances sur une carte proportionnelles aux distances réelles |
7. Thalès ou Pythagore ? Comment choisir
| Critère | Théorème de Pythagore | Théorème de Thalès |
|---|---|---|
| Quand l’utiliser ? | Triangle rectangle | Droites parallèles + sécantes |
| Mot-clé dans l’énoncé | « angle droit », « perpendiculaire », « rectangle » | « parallèle », « // » |
| Ce qu’il calcule | Un côté (relation entre carrés) | Un segment (rapports de proportionnalité) |
| Sa réciproque prouve que… | Le triangle est rectangle | Deux droites sont parallèles |
✅ Astuce brevet : si l’exercice dit « parallèle » → Thalès. Si l’exercice dit « angle droit » → Pythagore. Parfois les deux sont combinés dans un même exercice !
8. Exercices corrigés
Exercice 1 — Configuration triangle
Énoncé : Dans un triangle ABC, M est un point de [AB] et N un point de [AC] tel que (MN) // (BC). On donne : AM = 4 cm, AB = 10 cm, AN = 3 cm. Calculer AC et MN sachant que BC = 7,5 cm.
Correction
Les droites (BN) et (CM) sont sécantes en A. Les points A, M, B et A, N, C sont alignés dans cet ordre. (MN) // (BC). D’après le théorème de Thalès : AM/AB = AN/AC = MN/BC. Donc 4/10 = 3/AC = MN/7,5.
AC = 3 × 10/4 = 7,5 cm. MN = 4 × 7,5/10 = 3 cm.
AC = 3 × 10/4 = 7,5 cm. MN = 4 × 7,5/10 = 3 cm.
Exercice 2 — Configuration papillon
Énoncé : Les droites (RS) et (TU) sont sécantes en O. (RT) // (SU). On donne : OR = 3 cm, OS = 5 cm, OT = 4,2 cm, RT = 6 cm. Calculer OU et SU.
Correction
Les droites (RS) et (TU) sont sécantes en O. Les points R, O, S et T, O, U sont alignés dans cet ordre. (RT) // (SU). D’après le théorème de Thalès : OR/OS = OT/OU = RT/SU. Donc 3/5 = 4,2/OU = 6/SU.
OU = 5 × 4,2/3 = 7 cm. SU = 5 × 6/3 = 10 cm.
OU = 5 × 4,2/3 = 7 cm. SU = 5 × 6/3 = 10 cm.
Exercice 3 — Réciproque (prouver le parallélisme)
Énoncé : Les droites (BD) et (CE) sont sécantes en A. On donne : AB = 6, AD = 9, AC = 8, AE = 12. Les droites (BC) et (DE) sont-elles parallèles ?
Correction
AB/AD = 6/9 = 2/3. AC/AE = 8/12 = 2/3. Les rapports sont égaux et les points A, B, D et A, C, E sont alignés dans le même ordre. D’après la réciproque du théorème de Thalès, (BC) // (DE).
Exercice 4 — Contraposée (droites non parallèles)
Énoncé : Avec les mêmes sécantes : AB = 4, AD = 6, AC = 5, AE = 8. Les droites (BC) et (DE) sont-elles parallèles ?
Correction
AB/AD = 4/6 = 2/3 ≈ 0,667. AC/AE = 5/8 = 0,625. Comme 2/3 ≠ 5/8, si (BC) et (DE) étaient parallèles on aurait AB/AD = AC/AE, ce qui n’est pas le cas. Donc (BC) et (DE) ne sont pas parallèles.
Exercice 5 — Problème concret (hauteur d’un arbre)
Énoncé : Un bâton de 1,5 m planté verticalement projette une ombre de 2 m. Au même moment, un arbre projette une ombre de 12 m. Quelle est la hauteur de l’arbre ?
Correction
Les rayons du soleil sont parallèles → configuration de Thalès. Soit h la hauteur de l’arbre. Par Thalès : 1,5/h = 2/12. Donc h = 1,5 × 12/2 = 9 m.
Exercice 6 — Exercice combiné brevet (Pythagore + Thalès)
Énoncé : Le triangle ABC est rectangle en B avec AB = 6 cm et BC = 8 cm. M est sur [AC] tel que AM = 3 cm. N est sur [AB] tel que (MN) // (BC). Calculer d’abord AC, puis MN.
Correction
Étape 1 (Pythagore) : ABC rectangle en B. AC² = AB² + BC² = 36 + 64 = 100. AC = 10 cm.
Étape 2 (Thalès) : (MN) // (BC), points A, N, B et A, M, C alignés. AM/AC = MN/BC. 3/10 = MN/8. MN = 3 × 8/10 = 2,4 cm.
Étape 2 (Thalès) : (MN) // (BC), points A, N, B et A, M, C alignés. AM/AC = MN/BC. 3/10 = MN/8. MN = 3 × 8/10 = 2,4 cm.
9. Erreurs fréquentes à éviter
| Erreur | Pourquoi c’est faux | Bonne méthode |
|---|---|---|
| Appliquer Thalès sans vérifier le parallélisme | Thalès exige des droites parallèles | Toujours citer quelle droite est parallèle à quelle autre |
| Oublier l’ordre d’alignement (réciproque) | La réciproque exige le même ordre | Écrire « A, M, B et A, N, C alignés dans cet ordre » |
| Mélanger les segments dans les rapports | Chaque rapport : numérateur et dénominateur sur la même sécante | AM/AB (même sécante) = AN/AC (même sécante) |
| Ne pas citer « d’après le théorème de Thalès » | Au brevet, ne pas nommer = points en moins | Toujours écrire « d’après le théorème de Thalès » |
| Confondre Thalès et Pythagore | Parallèles → Thalès. Angle droit → Pythagore | Identifier le mot-clé dans l’énoncé |
10. L’essentiel à retenir
| Notion | Règle |
|---|---|
| Théorème (direct) | Parallèles + sécantes → segments proportionnels |
| Réciproque | Rapports égaux + même ordre d’alignement → droites parallèles |
| Contraposée | Rapports différents → droites non parallèles |
| Formule | AM/AB = AN/AC = MN/BC |
| Outil de calcul | Produit en croix pour trouver la valeur manquante |
| Quand l’utiliser | L’énoncé mentionne des droites « parallèles » |
Questions fréquentes sur le théorème de Thalès
Qui était Thalès ?
Thalès de Milet (~625-546 av. J.-C.) était un philosophe, mathématicien et astronome grec. La légende raconte qu’il a mesuré la hauteur de la pyramide de Khéops en utilisant la proportionnalité des ombres — c’est exactement le principe de son théorème. Il est considéré comme l’un des « Sept Sages » de la Grèce antique.
Quelle est la différence entre les configurations triangle et papillon ?
Dans la configuration triangle, les points M et N sont entre A et les points B, C (la parallèle coupe les côtés du triangle). Dans la configuration papillon (ou sablier), le point A est entre les deux parallèles (les segments se croisent en A). Les rapports sont identiques dans les deux cas, mais l’ordre d’alignement des points est différent.
Pourquoi faut-il vérifier l’ordre d’alignement pour la réciproque ?
Parce que des rapports égaux ne suffisent pas ! Il existe des cas où AM/AB = AN/AC mais les droites ne sont pas parallèles (si les points ne sont pas alignés dans le même ordre). L’ordre d’alignement est une condition nécessaire de la réciproque.
Comment savoir quand utiliser Thalès ou Pythagore au brevet ?
Cherchez le mot-clé dans l’énoncé. « Parallèle » ou « // » → Thalès. « Angle droit », « perpendiculaire », « rectangle en » → Pythagore. Parfois les deux sont combinés dans un même exercice : on commence par Pythagore pour trouver une longueur, puis on utilise Thalès.
Peut-on utiliser Thalès si les droites ne sont pas parallèles ?
Non. Le parallélisme est la condition indispensable. Sans droites parallèles, les segments ne sont pas proportionnels et le théorème ne s’applique pas.
C’est quoi le produit en croix et comment s’en servir avec Thalès ?
Le produit en croix est la technique pour résoudre une égalité de fractions. Si AM/AB = MN/BC, alors AM × BC = AB × MN. On isole la valeur inconnue. C’est la méthode standard pour trouver la longueur manquante après avoir posé les rapports de Thalès.
Comment rédiger la contraposée au brevet ?
On utilise la structure Si / Alors / Or / Donc : « Si les droites (MN) et (BC) étaient parallèles, alors d’après le théorème de Thalès on aurait AM/AB = AN/AC. Or AM/AB = … et AN/AC = …, et ces rapports sont différents. Donc (MN) et (BC) ne sont pas parallèles. »