Le Théorème de Thalès en 3ème 📐

Cours complet : énoncé, réciproque, configurations, méthode de rédaction et exercices corrigés

Le théorème de Thalès est, avec le théorème de Pythagore, l’un des deux théorèmes incontournables du brevet des collèges. Il intervient dès qu’il y a des droites parallèles coupées par deux sécantes. Il permet de calculer des longueurs dans cette configuration. Sa réciproque permet de démontrer que deux droites sont parallèles. Ce cours couvre les deux configurations (triangle et papillon), la méthode de rédaction étape par étape pour le brevet, les applications concrètes (mesurer une hauteur inaccessible), avec des exercices corrigés et les erreurs fréquentes.

📋 Sommaire

📜 Énoncé du Théorème de Thalès

Si deux droites sécantes sont coupées par deux droites parallèles, alors elles déterminent des segments proportionnels.

Plus précisément : soient deux droites (d) et (d’) sécantes en un point A. Si une droite (BC) coupe (d) en B et (d’) en C, et une droite (MN) parallèle à (BC) coupe (d) en M et (d’) en N, alors :

AM / AB = AN / AC = MN / BC

🔺 Les Deux Configurations

Le théorème de Thalès se présente sous deux configurations géométriques qu’il faut savoir reconnaître :

Configuration Description Indices pour la reconnaître
Configuration « triangle » Les points M et N sont entre A et B, A et C respectivement. La droite (MN) coupe les côtés du triangle ABC. Les points A, M, B sont dans cet ordre, et A, N, C dans cet ordre. M est sur [AB] et N sur [AC], les points sont « du même côté » de A
Configuration « papillon » (ou sablier) Le point A est entre les deux droites parallèles. Les points M et B sont de part et d’autre de A (et N et C aussi). Ça forme un « X » ou un nœud papillon. A est au milieu, les segments se croisent en A

Important : les rapports du théorème de Thalès sont les mêmes dans les deux configurations. La formule ne change pas. Ce qui change, c’est l’ordre d’alignement des points, qu’il faut toujours préciser dans la rédaction.

✍️ Méthode de Rédaction pour le Brevet

La rédaction est très importante au brevet. Voici le modèle à suivre pour ne perdre aucun point :

Étape Ce qu’il faut écrire Exemple
1. Nommer les sécantes « Les droites (…) et (…) sont sécantes en … » Les droites (BM) et (CN) sont sécantes en A.
2. Préciser l’ordre d’alignement « Les points …, …, … sont alignés dans cet ordre » Les points A, M, B sont alignés dans cet ordre et A, N, C dans cet ordre.
3. Citer le parallélisme « (…) // (…) » (MN) // (BC)
4. Citer le théorème « D’après le théorème de Thalès : » D’après le théorème de Thalès :
5. Écrire les trois rapports AM/AB = AN/AC = MN/BC AM/AB = AN/AC = MN/BC
6. Remplacer et calculer Substituer les valeurs connues, puis résoudre par produit en croix 4/5 = AN/AC = 7/MN → MN = 5×7/4 = 8,75
7. Conclure Phrase de conclusion avec l’unité Donc MN = 8,75 cm.

Astuce : pour ne pas se tromper dans l’écriture des rapports, respectez cette règle : le numérateur et le dénominateur d’un même rapport doivent être sur la même droite (sécante). Le numérateur correspond au « petit segment » (côté de (MN)), le dénominateur au « grand segment » (côté de (BC)).

🔄 Réciproque du Théorème de Thalès

La réciproque sert à démontrer que deux droites sont parallèles.

Énoncé : si les points A, M, B et A, N, C sont alignés dans le même ordre, et si AM/AB = AN/AC, alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

Étape Exemple : A, M, B alignés / A, N, C alignés / AM=3, AB=5, AN=4,2, AC=7
1. Calculer les rapports AM/AB = 3/5 = 0,6 et AN/AC = 4,2/7 = 0,6
2. Comparer AM/AB = AN/AC = 0,6
3. Vérifier l’alignement Les points A, M, B et A, N, C sont alignés dans le même ordre ✅
4. Conclure D’après la réciproque du théorème de Thalès, (MN) // (BC).

⚠️ Condition indispensable : il faut vérifier que les points sont alignés dans le même ordre. Sans cette vérification, la conclusion est incomplète et on perd des points au brevet.

❌ Contraposée : Démontrer que Deux Droites Ne Sont PAS Parallèles

Si les rapports ne sont pas égaux, alors les droites ne sont pas parallèles.

Méthode :

1. Calculer AM/AB et AN/AC.

2. Si AM/AB ≠ AN/AC, alors : « Si les droites (MN) et (BC) étaient parallèles, d’après le théorème de Thalès on aurait AM/AB = AN/AC. Or AM/AB ≠ AN/AC, donc (MN) et (BC) ne sont pas parallèles. »

🏗️ Applications Concrètes

Le théorème de Thalès a de nombreuses applications pratiques :

Application Principe
Mesurer la hauteur d’un arbre ou d’un bâtiment On utilise l’ombre portée par le soleil : les rayons sont parallèles, ce qui crée une configuration de Thalès entre l’objet et un bâton de référence.
Mesurer la largeur d’une rivière Sans traverser : on prend des repères sur chaque rive et on utilise la proportionnalité.
Agrandissement / réduction de figures Les rapports de Thalès correspondent au coefficient d’agrandissement ou de réduction.
Cartographie et échelles Les distances sur une carte sont proportionnelles aux distances réelles.

⚖️ Thalès ou Pythagore ? Comment Choisir

Critère Théorème de Pythagore Théorème de Thalès
Quand l’utiliser ? Triangle rectangle Droites parallèles coupées par des sécantes
Mot-clé dans l’énoncé « angle droit », « perpendiculaire », « rectangle » « parallèle », « // »
Ce qu’il calcule Un côté à partir de deux autres (relation entre carrés) Un segment à partir de rapports de proportionnalité
Sa réciproque prouve que… Le triangle est rectangle Deux droites sont parallèles

Astuce brevet : si l’exercice dit « parallèle » → Thalès. Si l’exercice dit « angle droit » → Pythagore. Parfois les deux sont combinés dans un même exercice !

✏️ Exercices Corrigés

Exercice 1 — Calculer une longueur (configuration triangle)

Énoncé : Dans un triangle ABC, M est un point de [AB] et N un point de [AC] tel que (MN) // (BC). On donne : AM = 4 cm, AB = 10 cm, AN = 3 cm. Calculer AC et MN sachant que BC = 7,5 cm.

Correction : Les droites (BN) et (CM) sont sécantes en A. Les points A, M, B et A, N, C sont alignés dans cet ordre. (MN) // (BC). D’après le théorème de Thalès : AM/AB = AN/AC = MN/BC. Donc 4/10 = 3/AC = MN/7,5. AC = 3 × 10/4 = 7,5 cm. MN = 4 × 7,5/10 = 3 cm.

Exercice 2 — Calculer une longueur (configuration papillon)

Énoncé : Les droites (RS) et (TU) sont sécantes en O. (RT) // (SU). On donne : OR = 3 cm, OS = 5 cm, OT = 4,2 cm, RT = 6 cm. Calculer OU et SU.

Correction : Les droites (RS) et (TU) sont sécantes en O. Les points R, O, S et T, O, U sont alignés dans cet ordre. (RT) // (SU). D’après le théorème de Thalès : OR/OS = OT/OU = RT/SU. Donc 3/5 = 4,2/OU = 6/SU. OU = 5 × 4,2/3 = 7 cm. SU = 5 × 6/3 = 10 cm.

Exercice 3 — Réciproque (prouver le parallélisme)

Énoncé : Les droites (BD) et (CE) sont sécantes en A. On donne : AB = 6, AD = 9, AC = 8, AE = 12. Les droites (BC) et (DE) sont-elles parallèles ?

Correction : AB/AD = 6/9 = 2/3. AC/AE = 8/12 = 2/3. Les rapports sont égaux et les points A, B, D et A, C, E sont alignés dans le même ordre. D’après la réciproque du théorème de Thalès, (BC) // (DE).

Exercice 4 — Contraposée (droites non parallèles)

Énoncé : Avec les mêmes sécantes : AB = 4, AD = 6, AC = 5, AE = 8. Les droites (BC) et (DE) sont-elles parallèles ?

Correction : AB/AD = 4/6 = 2/3 ≈ 0,667. AC/AE = 5/8 = 0,625. Comme 2/3 ≠ 5/8, si les droites (BC) et (DE) étaient parallèles, on aurait AB/AD = AC/AE, ce qui n’est pas le cas. Donc (BC) et (DE) ne sont pas parallèles.

Exercice 5 — Problème concret (hauteur d’un arbre)

Énoncé : Un bâton de 1,5 m planté verticalement projette une ombre de 2 m. Au même moment, un arbre projette une ombre de 12 m. Quelle est la hauteur de l’arbre ?

Correction : Les rayons du soleil sont parallèles, ce qui crée une configuration de Thalès. Le bâton et l’arbre sont verticaux (parallèles entre eux). Soit h la hauteur de l’arbre. Par Thalès : 1,5/h = 2/12. Donc h = 1,5 × 12/2 = 9 m.

Exercice 6 — Exercice combiné brevet (Pythagore + Thalès)

Énoncé : Le triangle ABC est rectangle en B avec AB = 6 cm et BC = 8 cm. M est sur [AC] tel que AM = 3 cm. N est sur [AB] tel que (MN) // (BC). Calculer d’abord AC, puis MN.

Correction : Étape 1 (Pythagore) : ABC rectangle en B. AC² = AB² + BC² = 36 + 64 = 100. AC = 10 cm. Étape 2 (Thalès) : (MN) // (BC), points A, N, B et A, M, C alignés. AM/AC = MN/BC. 3/10 = MN/8. MN = 3 × 8/10 = 2,4 cm.

⚠️ Erreurs Fréquentes à Éviter

❌ Erreur Pourquoi c’est faux ✅ Bonne méthode
Appliquer Thalès sans vérifier le parallélisme Thalès exige des droites parallèles. Sans parallélisme, pas de Thalès Toujours citer quelle droite est parallèle à quelle autre
Oublier de citer l’ordre d’alignement (réciproque) La réciproque exige que les points soient dans le même ordre Écrire « A, M, B et A, N, C alignés dans cet ordre »
Mélanger les segments dans les rapports Chaque rapport doit avoir numérateur et dénominateur sur la même sécante AM/AB (même sécante) = AN/AC (même sécante)
Ne pas citer « d’après le théorème de Thalès » Au brevet, ne pas nommer le théorème = points en moins Toujours écrire « d’après le théorème de Thalès »
Confondre Thalès et Pythagore Parallèles → Thalès. Angle droit → Pythagore Identifier le mot-clé dans l’énoncé

📝 L’Essentiel à Retenir

Notion Règle
Théorème (direct) Parallèles + sécantes → segments proportionnels
Réciproque Rapports égaux + même ordre d’alignement → droites parallèles
Contraposée Rapports différents → droites non parallèles
Formule AM/AB = AN/AC = MN/BC
Outil de calcul Produit en croix pour trouver la valeur manquante
Quand l’utiliser L’énoncé mentionne des droites « parallèles »

❓ Questions Fréquentes sur le Théorème de Thalès

Qui était Thalès ?

Thalès de Milet (~625-546 av. J.-C.) était un philosophe, mathématicien et astronome grec. La légende raconte qu’il a mesuré la hauteur de la pyramide de Khéops en utilisant la proportionnalité des ombres — c’est exactement le principe de son théorème. Il est considéré comme l’un des « Sept Sages » de la Grèce antique.

Quelle est la différence entre les configurations triangle et papillon ?

Dans la configuration triangle, les points M et N sont entre A et les points B, C (la parallèle coupe les côtés du triangle). Dans la configuration papillon (ou sablier), le point A est entre les deux parallèles (les segments se croisent en A). Les rapports sont identiques dans les deux cas, mais l’ordre d’alignement des points est différent.

Pourquoi faut-il vérifier l’ordre d’alignement pour la réciproque ?

Parce que des rapports égaux ne suffisent pas ! Il existe des cas où AM/AB = AN/AC mais les droites ne sont pas parallèles (si les points ne sont pas alignés dans le même ordre). L’ordre d’alignement est une condition nécessaire de la réciproque.

Comment savoir quand utiliser Thalès ou Pythagore au brevet ?

Cherchez le mot-clé dans l’énoncé. « Parallèle » ou « // » → Thalès. « Angle droit », « perpendiculaire », « rectangle en » → Pythagore. Parfois les deux sont combinés dans un même exercice : on commence par Pythagore pour trouver une longueur, puis on utilise Thalès avec cette longueur.

Peut-on utiliser Thalès si les droites ne sont pas parallèles ?

Non. Le parallélisme est la condition indispensable. Sans droites parallèles, les segments ne sont pas proportionnels et le théorème ne s’applique pas. Si l’exercice ne précise pas de parallélisme, Thalès ne peut pas être utilisé.

C’est quoi le produit en croix et comment s’en servir avec Thalès ?

Le produit en croix est la technique pour résoudre une égalité de fractions. Si AM/AB = MN/BC, alors AM × BC = AB × MN. On isole la valeur inconnue. C’est la méthode de calcul standard pour trouver la longueur manquante après avoir posé les rapports de Thalès.

Comment rédiger la contraposée au brevet ?

On écrit : « Si les droites (MN) et (BC) étaient parallèles, alors d’après le théorème de Thalès on aurait AM/AB = AN/AC. Or AM/AB = … et AN/AC = …, et ces rapports sont différents. Donc les droites (MN) et (BC) ne sont pas parallèles. » Cette structure en 4 parties (Si / Alors / Or / Donc) est la rédaction attendue.

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