Le Théorème de Pythagore en 4ème 📐

Cours complet : énoncé, réciproque, contraposée, rédaction et exercices corrigés

Le théorème de Pythagore est l’un des résultats les plus célèbres en mathématiques. Il permet de calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle quand on connaît les deux autres. Sa réciproque permet de démontrer qu’un triangle est rectangle. C’est un incontournable du brevet des collèges. Ce cours détaille l’énoncé, la méthode de rédaction étape par étape, la réciproque, la contraposée, et inclut des exercices corrigés et les erreurs fréquentes.

📋 Sommaire

📐 Vocabulaire du Triangle Rectangle

Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit (90°).

Terme Définition Comment le repérer
Hypoténuse Le côté opposé à l’angle droit C’est toujours le plus long côté du triangle
Côtés de l’angle droit Les deux côtés qui forment l’angle droit Ils sont perpendiculaires entre eux

Exemple : si le triangle ABC est rectangle en A, alors [BC] est l’hypoténuse (opposée à l’angle droit en A), et [AB] et [AC] sont les côtés de l’angle droit.

📜 Énoncé du Théorème de Pythagore

Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Si ABC est rectangle en A : BC² = AB² + AC²

En d’autres termes : dans un triangle rectangle, l’aire du grand carré (construit sur l’hypoténuse) est égale à la somme des aires des deux petits carrés (construits sur les côtés de l’angle droit).

Triangle rectangle en… Hypoténuse Égalité de Pythagore
Rectangle en A [BC] BC² = AB² + AC²
Rectangle en B [AC] AC² = AB² + BC²
Rectangle en C [AB] AB² = AC² + BC²

Attention : l’hypoténuse est TOUJOURS seule d’un côté du signe =. C’est le repère essentiel pour écrire la bonne égalité.

✍️ Méthode de Rédaction (Très Important au Brevet)

La rédaction est notée au brevet. Voici les étapes obligatoires :

Étape Ce qu’il faut écrire Exemple (ABC rect. en A, AB=3, AC=4)
1. Données Préciser que le triangle est rectangle et en quel sommet Le triangle ABC est rectangle en A.
2. Citer le théorème « D’après le théorème de Pythagore… » D’après le théorème de Pythagore : BC² = AB² + AC²
3. Remplacer Substituer les valeurs connues BC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
4. Conclure Extraire la racine carrée et donner le résultat Donc BC = √25 = 5 cm

Cas où on cherche un côté de l’angle droit : la méthode est la même, mais à l’étape 3, on isole le côté inconnu. Par exemple, si on connaît BC = 10 et AC = 6, et que le triangle est rectangle en A :

BC² = AB² + AC² → 10² = AB² + 6² → 100 = AB² + 36 → AB² = 100 − 36 = 64 → AB = √64 = 8 cm

√ La Racine Carrée

La racine carrée de a (notée √a) est le nombre positif dont le carré vaut a. Autrement dit : si x² = a, alors x = √a.

Nombre Carré √
1 1 √1 = 1
2 4 √4 = 2
3 9 √9 = 3
4 16 √16 = 4
5 25 √25 = 5
10 100 √100 = 10
12 144 √144 = 12

Carrés parfaits à connaître : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225. Quand le résultat n’est pas un carré parfait, on utilise la touche √ de la calculatrice et on arrondit (ex : √50 ≈ 7,07).

🔄 Réciproque du Théorème de Pythagore

La réciproque permet de démontrer qu’un triangle est rectangle quand on connaît les trois longueurs.

Énoncé : Si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle et l’angle droit est opposé au plus grand côté.

Étape Exemple : ABC avec AB=5, AC=12, BC=13
1. Identifier le plus grand côté BC = 13 (le plus grand)
2. Calculer son carré BC² = 13² = 169
3. Calculer la somme des carrés des deux autres AB² + AC² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169
4. Comparer et conclure BC² = AB² + AC² → d’après la réciproque du théorème de Pythagore, ABC est rectangle en A

❌ Contraposée : Démontrer qu’un Triangle N’est PAS Rectangle

Si l’égalité de Pythagore n’est pas vérifiée, alors le triangle n’est pas rectangle.

Exemple : DEF avec DE = 3, EF = 4,5, DF = 5.

Le plus grand côté est DF. DF² = 25. DE² + EF² = 9 + 20,25 = 29,25. Comme 25 ≠ 29,25, le triangle DEF n’est pas rectangle.

✏️ Exercices Corrigés

Exercice 1 — Calculer l’hypoténuse

Énoncé : Le triangle RST est rectangle en S avec RS = 6 cm et ST = 8 cm. Calculer RT.

Correction : Le triangle RST est rectangle en S. D’après le théorème de Pythagore : RT² = RS² + ST² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100. Donc RT = √100 = 10 cm.

Exercice 2 — Calculer un côté de l’angle droit

Énoncé : Le triangle MNP est rectangle en N avec MP = 15 cm et MN = 9 cm. Calculer NP.

Correction : Le triangle MNP est rectangle en N. D’après le théorème de Pythagore : MP² = MN² + NP². Donc NP² = MP² − MN² = 15² − 9² = 225 − 81 = 144. Donc NP = √144 = 12 cm.

Exercice 3 — Réciproque

Énoncé : Le triangle IJK a pour dimensions IJ = 7, JK = 24, IK = 25. Est-il rectangle ?

Correction : Le plus grand côté est IK = 25. IK² = 625. IJ² + JK² = 49 + 576 = 625. Comme IK² = IJ² + JK², d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle IJK est rectangle en J.

Exercice 4 — Contraposée

Énoncé : Le triangle ABC a pour dimensions AB = 5, BC = 7, AC = 9. Est-il rectangle ?

Correction : Le plus grand côté est AC = 9. AC² = 81. AB² + BC² = 25 + 49 = 74. Comme 81 ≠ 74, le triangle ABC n’est pas rectangle.

Exercice 5 — Problème concret

Énoncé : Une échelle de 5 m est posée contre un mur. Le pied de l’échelle est à 3 m du mur. À quelle hauteur atteint-elle le mur ?

Correction : Le triangle formé est rectangle (mur vertical, sol horizontal). L’échelle est l’hypoténuse (5 m). Soit h la hauteur : 5² = 3² + h² → 25 = 9 + h² → h² = 16 → h = √16 = 4 m.

⚠️ Erreurs Fréquentes à Éviter

❌ Erreur Pourquoi c’est faux ✅ Bonne méthode
BC² = AB² + AC² donc BC = AB + AC La racine d’une somme ≠ la somme des racines √(9+16) = √25 = 5 ≠ 3+4 = 7
Oublier de citer le théorème dans la rédaction Au brevet, ne pas citer = perdre des points Toujours écrire « D’après le th. de Pythagore »
Mettre l’hypoténuse du mauvais côté du = L’hypoténuse est SEULE d’un côté de l’égalité Identifier l’angle droit → le côté opposé = hypoténuse
Utiliser Pythagore sur un triangle non rectangle Le théorème ne s’applique QU’aux triangles rectangles Vérifier que le triangle a bien un angle droit
Confondre le théorème et sa réciproque Théorème : on SAIT que c’est rectangle → on calcule. Réciproque : on vérifie SI c’est rectangle Calculer un côté → théorème. Prouver rectangle → réciproque

📝 L’Essentiel à Retenir

Notion Règle
Théorème (direct) Si rectangle en A → BC² = AB² + AC²
Réciproque Si BC² = AB² + AC² → rectangle en A
Contraposée Si BC² ≠ AB² + AC² → pas rectangle
Hypoténuse Plus grand côté, opposé à l’angle droit, seul à gauche du =
Racine carrée Si x² = a, alors x = √a (touche √ de la calculatrice)

❓ Questions Fréquentes sur le Théorème de Pythagore

Qui était Pythagore ?

Pythagore de Samos (~580-495 av. J.-C.) était un mathématicien et philosophe grec. Il a fondé une école où les mathématiques étaient considérées comme sacrées. Le théorème qui porte son nom était en réalité déjà connu des Babyloniens plus de 1 000 ans avant lui, mais Pythagore (ou son école) en aurait proposé la première démonstration rigoureuse.

Le théorème marche-t-il avec tous les triangles ?

Non. Le théorème de Pythagore ne s’applique qu’aux triangles rectangles. Pour les triangles quelconques, il existe une généralisation appelée le théorème d’Al-Kashi (vu au lycée), qui ajoute un terme correctif lié à l’angle.

C’est quoi un triplet pythagoricien ?

Un triplet pythagoricien est un ensemble de trois entiers (a, b, c) qui vérifient a² + b² = c². Les plus connus : (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25). Tous les multiples d’un triplet sont aussi des triplets : (6, 8, 10) par exemple.

Quelle différence entre le théorème et la réciproque ?

Le théorème part de « je sais que le triangle est rectangle » pour calculer une longueur. La réciproque part de « je connais les trois longueurs » pour vérifier si le triangle est rectangle. Ce ne sont pas les mêmes hypothèses de départ.

Comment savoir quand utiliser Pythagore ou Thalès ?

Pythagore s’utilise quand on a un triangle rectangle et qu’on connaît deux côtés. Thalès s’utilise quand on a des droites parallèles coupées par des sécantes. Si l’exercice parle d’angle droit → Pythagore. Si l’exercice parle de parallèles → Thalès.

Pourquoi √(a² + b²) ≠ a + b ?

Parce que la racine carrée n’est pas distributive sur l’addition. √(9 + 16) = √25 = 5, mais √9 + √16 = 3 + 4 = 7. C’est l’erreur la plus courante avec Pythagore. Il faut d’abord additionner les carrés, PUIS prendre la racine.

Comment arrondir le résultat d’une racine carrée ?

L’énoncé précise toujours à quel degré arrondir (au dixième, au centième…). On utilise la touche √ de la calculatrice, puis on arrondit. Par exemple, √50 = 7,0710… ≈ 7,1 (au dixième) ou 7,07 (au centième).

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