Les Probabilités — Cours Collège
Cours complet 5e-3e — probabilités d'un événement, équiprobabilité, arbre, événements contraires
1. Expérience aléatoire
2. Probabilité d'un événement
3. Équiprobabilité
4. Événements contraires
5. Événements incompatibles
6. Arbre des possibles
7. Tableau à double entrée
8. Exercices corrigés
9. Questions fréquentes
Expérience aléatoire — vocabulaire
Expérience aléatoire : expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat à l'avance (lancer un dé, tirer une carte…)
Issue : résultat possible d'une expérience aléatoire.
Univers Ω (oméga) : ensemble de toutes les issues possibles.
Événement : sous-ensemble de l'univers, c'est-à-dire un groupe d'issues qui nous intéresse.
Univers : Ω =
Événement A = « obtenir un nombre pair » =
Événement B = « obtenir plus de 4 » =
Événement C = « obtenir 7 » = → événement impossible
Événement D = « obtenir un entier entre 1 et 6 » = Ω → événement certain
Probabilité d'un événement
La probabilité d'un événement A, notée P(A), est un nombre compris entre 0 et 1 qui mesure la « chance » que A se réalise.
0 ≤ P(A) ≤ 1
P(événement impossible) = 0
P(événement certain) = 1
P(A) = 0 → ne se réalise jamais
P(A) = 0,5 → une chance sur deux
P(A) = 1 → se réalise toujours
P(A) = 0,25 → 25 % de chances, 1 fois sur 4 en moyenne
Équiprobabilité
On parle d'équiprobabilité (ou situation d'équiprobabilité) lorsque toutes les issues de l'univers ont la même probabilité. Dans ce cas :
P(A) = nombre d'issues favorables à A / nombre total d'issues
Dé équilibré : P(pair) = 3/6 = 1/2
Dé équilibré : P(>4) = 2/6 = 1/3
Jeu de 32 cartes : P(as) = 4/32 = 1/8
Urne avec 3 rouges, 5 bleues, 2 vertes : P(rouge) = 3/10
Lettre du mot « MATHEMATIQUE » : P(voyelle) = 6/12 = 1/2 (A, E, A, I, U, E)
Événement contraire
L'événement contraire de A, noté Ā (ou Ā, ou A complémentaire), est l'ensemble des issues qui ne sont pas dans A.
P(obtenir 6 sur un dé) = 1/6 → P(ne pas obtenir 6) = 5/6
P(gagner) = 0,3 → P(ne pas gagner) = 0,7
P(tirer un roi) = 4/52 = 1/13 → P(ne pas tirer un roi) = 12/13
Événements incompatibles et addition des probabilités
Deux événements A et B sont incompatibles (ou mutuellement exclusifs) s'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps : A ∩ B = ∅.
Sur un dé : A = et B = sont incompatibles.
P(A ou B) = P(A) + P(B) = 2/6 + 2/6 = 4/6 = 2/3
Arbre des possibles
┌── P = 1/2 → Face (F) → chemin FF : 1/2 × 1/2 = 1/4
┌──F────┤
│ 1/2 └── P = 1/2 → Pile (P) → chemin FP : 1/2 × 1/2 = 1/4
Départ─┤
│ 1/2 ┌── P = 1/2 → Face (F) → chemin PF : 1/4
└──P────┤
└── P = 1/2 → Pile (P) → chemin PP : 1/4
Vérification : 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 1 ✓
P(au moins une Face) = P(FF)+P(FP)+P(PF) = 3/4
Sac : 2 boules rouges (R), 3 boules bleues (B). On tire 2 boules avec remise.
P(R) = 2/5, P(B) = 3/5
P(RR) = 2/5 × 2/5 = 4/25
P(RB) = 2/5 × 3/5 = 6/25
P(BR) = 3/5 × 2/5 = 6/25
P(BB) = 3/5 × 3/5 = 9/25
Total : 4+6+6+9 = 25/25 = 1 ✓
P(une rouge et une bleue) = P(RB) + P(BR) = 12/25
Tableau à double entrée
| + | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
36 issues équiprobables.
P(somme = 7) = 6/36 = 1/6 (la plus probable !)
P(somme ≥ 10) = 6/36 = 1/6
P(somme = 2) = 1/36 (uniquement (1,1))
Exercices corrigés brevet
Une urne contient 4 boules rouges, 3 vertes et 5 bleues. On tire une boule au hasard.
a) P(rouge) = 4/12 = 1/3
b) P(bleue) = 5/12
c) P(pas verte) = 1 − 3/12 = 3/4
d) P(rouge ou verte) = 7/12
On lance un dé (faces 1 à 6) puis une pièce.
P(obtenir 6 puis face) = 1/6 × 1/2 = 1/12
P(nombre pair puis pile) = 3/6 × 1/2 = 1/4
Un QCM a 5 questions. Chaque question a 4 propositions, une seule est juste. Un élève répond au hasard.
P(bonne réponse à une question) = 1/4
P(mauvaise réponse à une question) = 3/4
P(toutes bonnes) = (1/4)⁵ = 1/1024 ≈ 0,001 → très peu probable !
P(toutes mauvaises) = (3/4)⁵ = 243/1024 ≈ 0,237