Les Nombres Premiers

Cours complet 6e — définition, liste, crible d’Ératosthène, décomposition en facteurs premiers

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Sommaire
1. Définition
2. Liste des premiers nombres premiers
3. Crible d’Ératosthène
4. Tester si un nombre est premier
5. Décomposition en facteurs premiers
6. Applications et curiosités
7. Exercices corrigés
8. Questions fréquentes

Section 01

Définition d’un nombre premier

Définition

Un nombre premier est un entier naturel supérieur à 1 qui admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

📘 Exemples :
7 est premier : ses seuls diviseurs sont 1 et 7 ✓
13 est premier : ses seuls diviseurs sont 1 et 13 ✓
15 n’est pas premier : 15 = 3 × 5, il a 4 diviseurs (1, 3, 5, 15) ✗
1 n’est pas premier : il n’a qu’un seul diviseur (lui-même)

⚠️ Cas particuliers à retenir :
— 1 n’est pas un nombre premier (un seul diviseur)
— 2 est le seul nombre premier pair
— Tout entier pair supérieur à 2 est composé (divisible par 2)

💡 Un nombre qui n’est pas premier (et différent de 1) est appelé nombre composé : il peut s’écrire comme produit d’au moins deux facteurs différents de lui-même.

Section 02

Liste des nombres premiers à connaître

Les 25 nombres premiers inférieurs à 100 :

📘 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

Dizaine	Nombres premiers	Combien
1 à 10	2, 3, 5, 7	4
11 à 20	11, 13, 17, 19	4
21 à 30	23, 29	2
31 à 40	31, 37	2
41 à 50	41, 43, 47	3
51 à 60	53, 59	2
61 à 70	61, 67	2
71 à 80	71, 73, 79	3
81 à 90	83, 89	2
91 à 100	97	1

Section 03

Le crible d’Ératosthène

Le crible d’Ératosthène est une méthode ancienne (IIIe siècle av. J.-C.) pour trouver tous les nombres premiers jusqu’à un nombre donné.

📋 Méthode

1. Écrire tous les entiers de 2 à n
2. Entourer 2 (premier) puis rayer tous ses multiples (4, 6, 8…)
3. Entourer le premier nombre non rayé (3) puis rayer ses multiples (6, 9, 12…)
4. Continuer jusqu’à √n — les nombres entourés sont tous les premiers ≤ n

Résultat du crible de 1 à 50 (vert = premier, barré = composé, rouge = 1) :

Section 04

Tester si un nombre est premier

📋 Méthode pratique

Pour tester si n est premier, on essaie de le diviser par tous les nombres premiers jusqu’à √n.
Si aucun ne divise n, alors n est premier.

Pourquoi √n suffit ? Si n = a × b avec a ≤ b, alors a ≤ √n. Donc un éventuel facteur inférieur à √n aurait déjà été trouvé.

📝 Tester 97

√97 ≈ 9,8 → tester les premiers jusqu’à 9 : 2, 3, 5, 7
97 ÷ 2 = 48,5 (non) | 97 ÷ 3 = 32,3 (non) | 97 ÷ 5 = 19,4 (non) | 97 ÷ 7 = 13,8 (non)
Aucun ne divise 97 → 97 est premier ✓

📝 Tester 91

√91 ≈ 9,5 → tester 2, 3, 5, 7
91 ÷ 7 = 13 exactement !
→ 91 = 7 × 13 → 91 n’est pas premier
(erreur classique : beaucoup pensent que 91 est premier)

Section 05

Décomposition en facteurs premiers

Théorème fondamental de l’arithmétique

Tout entier supérieur à 1 peut s’écrire de manière unique comme produit de facteurs premiers (à l’ordre des facteurs près).

📘 Méthode des divisions successives :
Diviser par 2 autant que possible, puis par 3, puis par 5, puis par 7…
On s’arrête quand le quotient est 1.

📝 Décomposer 360

360 ÷ 2 = 180
180 ÷ 2 = 90
90 ÷ 2 = 45
45 ÷ 3 = 15
15 ÷ 3 = 5
5 ÷ 5 = 1
→ 360 = 2³ × 3² × 5

📝 Décomposer 2 310

2310 ÷ 2 = 1155 ÷ 3 = 385 ÷ 5 = 77 ÷ 7 = 11 ÷ 11 = 1
→ 2 310 = 2 × 3 × 5 × 7 × 11 (produit des 5 premiers nombres premiers !)

📘 Applications de la décomposition :
— Calculer le PGCD : produit des facteurs communs avec le plus petit exposant
— Calculer le PPCM : produit de tous les facteurs avec le plus grand exposant
— Simplifier une fraction : diviser par le PGCD
— Vérifier si un nombre est un carré parfait (tous les exposants pairs)

Section 06

Applications et curiosités

Infinité des nombres premiers

📘 Il existe une infinité de nombres premiers. La preuve remonte à Euclide (vers 300 av. J.-C.) : supposons qu’il n’en existe qu’un nombre fini, le produit de tous + 1 serait un nombre qui n’est divisible par aucun d’eux → contradiction.

Nombres premiers jumeaux

💡 Des paires de nombres premiers séparés de 2 : (3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (29,31), (41,43)… On conjecture qu’il en existe une infinité, mais ce n’est pas encore prouvé.

Utilisation en cryptographie

📘 Les nombres premiers sont à la base du chiffrement RSA utilisé pour sécuriser les communications sur internet (achats en ligne, mots de passe). La sécurité repose sur la difficulté de factoriser le produit de deux très grands nombres premiers.

Fait	Détail
Plus grand premier connu (2024)	2¹³⁶²⁷⁹⁸⁴¹ − 1 (41 millions de chiffres)
Nombre de premiers < 1 000	168
Nombre de premiers < 1 000 000	78 498
Conjecture de Goldbach (non prouvée)	Tout entier pair > 2 est somme de deux premiers

Section 07

Exercices corrigés

📝 Exercice 1 — premiers ou non ?

Parmi les nombres suivants, lesquels sont premiers ? 51, 53, 57, 59, 63, 67

51 = 3 × 17 → non
53 : √53 ≈ 7,3 → tester 2, 3, 5, 7 : aucun ne divise → premier ✓
57 = 3 × 19 → non
59 : √59 ≈ 7,7 → tester 2, 3, 5, 7 : aucun → premier ✓
63 = 7 × 9 = 3² × 7 → non
67 : √67 ≈ 8,2 → tester 2, 3, 5, 7 : aucun → premier ✓

📝 Exercice 2 — décomposition

Décomposer en facteurs premiers : a) 180 b) 252

a) 180 = 2 × 90 = 2 × 2 × 45 = 4 × 45 = 4 × 9 × 5 = 2² × 3² × 5
b) 252 = 2 × 126 = 2 × 2 × 63 = 4 × 63 = 4 × 9 × 7 = 2² × 3² × 7

📝 Exercice 3 — PGCD via décomposition

Calculer PGCD(180, 252).

180 = 2² × 3² × 5
252 = 2² × 3² × 7
Facteurs communs : 2² et 3²
PGCD = 2² × 3² = 4 × 9 = 36

📝 Exercice 4 — carré parfait

Le nombre 1 764 est-il un carré parfait ?

1764 = 2 × 882 = 2 × 2 × 441 = 4 × 441 = 4 × 9 × 49 = 2² × 3² × 7²
Tous les exposants (2, 2, 2) sont pairs → oui, 1764 = (2 × 3 × 7)² = 42²

Section 08

Questions fréquentes

Pourquoi 1 n’est-il pas un nombre premier ?

Par convention mathématique, un nombre premier doit avoir exactement deux diviseurs distincts (1 et lui-même). Le nombre 1 n’a qu’un seul diviseur (1 lui-même), donc il ne satisfait pas la définition. Cette exclusion n’est pas arbitraire : elle garantit l’unicité de la décomposition en facteurs premiers. Si 1 était premier, on pourrait écrire 6 = 2 × 3 = 1 × 2 × 3 = 1 × 1 × 2 × 3… ce qui ruinerait le théorème fondamental de l’arithmétique.

Comment savoir rapidement si un grand nombre est premier ?

On applique d’abord les critères de divisibilité rapides : le nombre se termine-t-il par 0, 2, 4, 5, 6, 8 ? (divisible par 2 ou 5). La somme de ses chiffres est-elle divisible par 3 ? Si ces tests échouent, on essaie de diviser par 7, 11, 13… jusqu’à √n. Si aucun ne divise, le nombre est premier. Pour les très grands nombres, des algorithmes informatiques sophistiqués sont nécessaires.

À quoi servent les nombres premiers dans la vie réelle ?

Les nombres premiers sont au cœur de la cryptographie moderne. Le protocole RSA, utilisé pour chiffrer les connexions HTTPS (cadenas dans le navigateur), repose sur la multiplication de deux très grands nombres premiers p et q. Leur produit n = p × q est public, mais retrouver p et q à partir de n est computationnellement impossible pour des nombres de 1 024 bits ou plus. Toute transaction bancaire en ligne est sécurisée grâce aux nombres premiers.

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