Multiples, Diviseurs et PGCD
Cours complet 6e-5e — divisibilité, critères, décomposition en facteurs premiers, PGCD, PPCM
Section 01
Multiples et diviseurs
b est un diviseur de a (ou a est un multiple de b) si le reste de la division euclidienne de a par b est 0, c’est-à-dire s’il existe un entier k tel que a = b × k.
Diviseurs de 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12 | Multiples de 7 : 7, 14, 21, 28, 35…
Section 02
Critères de divisibilité
| Diviseur | Critère | Exemple |
|---|---|---|
| 2 | Dernier chiffre pair (0,2,4,6,8) | 348 ÷ 2 ✓ |
| 3 | Somme des chiffres divisible par 3 | 123 → 1+2+3=6 ÷ 3 ✓ |
| 4 | Les deux derniers chiffres divisibles par 4 | 1 324 → 24 ÷ 4 ✓ |
| 5 | Dernier chiffre 0 ou 5 | 345 ÷ 5 ✓ |
| 9 | Somme des chiffres divisible par 9 | 729 → 7+2+9=18 ÷ 9 ✓ |
| 10 | Dernier chiffre 0 | 470 ÷ 10 ✓ |
| 6 | Divisible par 2 ET par 3 | 42 : pair + 4+2=6 ÷ 3 ✓ |
Section 03
Nombres premiers
Un nombre premier est un entier supérieur à 1 qui n’admet que deux diviseurs : 1 et lui-même.
1 n’est pas premier. 2 est le seul nombre premier pair.
Section 04
Décomposition en facteurs premiers
360 ÷ 2 = 180 ÷ 2 = 90 ÷ 2 = 45 ÷ 3 = 15 ÷ 3 = 5 ÷ 5 = 1
360 = 2³ × 3² × 5
84 ÷ 2 = 42 ÷ 2 = 21 ÷ 3 = 7
84 = 2² × 3 × 7
Section 05
Le PGCD — Plus Grand Commun Diviseur
Le PGCD de deux entiers a et b est le plus grand entier qui divise à la fois a et b.
Méthode 1 — liste des diviseurs
Diviseurs de 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12
Diviseurs de 18 : 1, 2, 3, 6, 9, 18
Diviseurs communs : 1, 2, 3, 6 → PGCD = 6
Méthode 2 — facteurs premiers
360 = 2³ × 3² × 5 | 84 = 2² × 3 × 7
Facteurs communs avec le plus petit exposant : 2² × 3 = 4 × 3 = 12
Méthode 3 — algorithme d’Euclide (la plus rapide)
252 = 2 × 105 + 42
105 = 2 × 42 + 21
42 = 2 × 21 + 0
Reste = 0 → PGCD = 21
Section 06
Le PPCM — Plus Petit Commun Multiple
Le PPCM de a et b est le plus petit entier positif multiple à la fois de a et de b.
PGCD(12, 18) = 6 → PPCM = (12 × 18) / 6 = 216 / 6 = 36
Vérif : 36 = 3×12 = 2×18 ✓
Section 07
Applications — simplifier une fraction
PGCD(84, 252) = 84 (car 252 = 3 × 84)
84/252 = (84÷84)/(252÷84) = 1/3
Section 08
Exercices corrigés
Calculer PGCD(48, 36).
48 = 2⁴ × 3 | 36 = 2² × 3²
PGCD = 2² × 3 = 12
On veut couper une planche de 120 cm et une planche de 84 cm en morceaux de même longueur, la plus grande possible, sans restes. Quelle longueur ?
Réponse : PGCD(120, 84).
120 = 2³ × 3 × 5 | 84 = 2² × 3 × 7
PGCD = 2² × 3 = 12 cm