Fonction Linéaire et Affine

Cours complet 3e — droites, coefficient directeur, ordonnée à l’origine, tracer et lire une droite

3e
Niveau
Fonctions
Thème
8
Sections
Brevet
Objectif
📚 NavigationHub MathsNotions de fonctionsProportionnalité

Section 01

Fonction linéaire

Définition

Une fonction linéaire est une fonction de la forme f(x) = ax, où a est un nombre réel non nul appelé coefficient directeur (ou coefficient de proportionnalité).

f(x) = axa ≠ 0 | représentation graphique : droite passant par l’origine O(0,0)
📘 Propriétés :
— La courbe représentative est une droite passant par l’origine
— f(0) = 0 toujours
— Si a > 0 : droite croissante | si a < 0 : droite décroissante
— La fonction linéaire est liée à la proportionnalité : y est proportionnel à x
📝 Exemples

f(x) = 3x : droite de pente 3 passant par O → f(1)=3, f(2)=6, f(−1)=−3
g(x) = −0,5x : droite de pente −0,5 passant par O → décroissante
Prix total = 2,50 × nombre d’articles → fonction linéaire de coeff 2,50

Section 02

Fonction affine

Définition

Une fonction affine est une fonction de la forme f(x) = ax + b, où a et b sont des réels avec a ≠ 0.
— a est le coefficient directeur (pente de la droite)
— b est l’ordonnée à l’origine (valeur de f quand x = 0)

f(x) = ax + breprésentation : droite de pente a coupant l’axe des ordonnées en (0 ; b)
Fonction linéairef(x) = ax (b = 0)
Passe par l’origine
Fonction affinef(x) = ax + b (b ≠ 0)
Ne passe pas par l’origine
📘 Cas particulier : si a = 0, f(x) = b est une fonction constante (droite horizontale).

Section 03

Coefficient directeur — sens et calcul

Définition géométrique

Le coefficient directeur a mesure la pente de la droite :
a = (y_B − y_A) / (x_B − x_A) pour deux points A et B distincts de la droite.

📘 Interprétation : quand x augmente de 1, f(x) augmente de a.
Si a = 2 : pour chaque pas de 1 vers la droite, on monte de 2.
Si a = −3 : pour chaque pas de 1 vers la droite, on descend de 3.
📝 Calculer a à partir de deux points

La droite passe par A(1 ; 5) et B(3 ; 11).
a = (11 − 5) / (3 − 1) = 6/2 = 3
f(x) = 3x + b. Utiliser A : 5 = 3×1 + b → b = 2 → f(x) = 3x + 2

Section 04

Tracer la droite représentative

📘 Méthode 1 — tableau de valeurs :
Calculer 2 ou 3 points, les placer dans le repère, les relier.

Méthode 2 — utiliser a et b directement :
1. Placer le point (0 ; b) sur l’axe des ordonnées
2. À partir de ce point, avancer de 1 en x et de a en y pour obtenir un 2e point
3. Tracer la droite

📝 Tracer f(x) = 2x − 1

b = −1 → point (0 ; −1)
a = 2 → avancer de 1 en x, monter de 2 en y → point (1 ; 1)
Tracer la droite passant par (0 ; −1) et (1 ; 1).

Section 05

Lire l’équation d’une droite sur un graphe

📘 Étapes :
1. Lire b : ordonnée à l’origine (point où la droite coupe l’axe y)
2. Choisir deux points repérables et calculer a = (y₂−y₁)/(x₂−x₁)
3. Écrire f(x) = ax + b
📝 Exemple de lecture graphique

La droite coupe l’axe y en (0 ; 3) → b = 3
Elle passe aussi par (2 ; 7) → a = (7−3)/(2−0) = 4/2 = 2
Équation : f(x) = 2x + 3

Section 06

Intersection de deux droites

📘 Les coordonnées du point d’intersection de y = f(x) et y = g(x) sont la solution du système { y = f(x) / { y = g(x), c’est-à-dire de f(x) = g(x).
📝 Exemple

f(x) = 2x + 1 et g(x) = −x + 7. Intersection :
2x + 1 = −x + 7 → 3x = 6 → x = 2, y = 5
Point d’intersection : (2 ; 5)

Section 07

Applications concrètes

📝 Tarif téléphonique

Forfait A : 5 € + 0,10 € par minute → f(x) = 0,1x + 5
Forfait B : 0,20 € par minute → g(x) = 0,2x (linéaire)
Intersection : 0,1x + 5 = 0,2x → 5 = 0,1x → x = 50 min
Pour plus de 50 min, le forfait A est plus avantageux.

Section 08

Questions fréquentes

Quelle différence entre fonction linéaire et proportionnalité ?
C’est la même chose ! Une fonction linéaire f(x) = ax correspond exactement à une situation de proportionnalité : y est proportionnel à x, avec coefficient de proportionnalité a. La droite représentative passe par l’origine, ce qui est la signature géométrique de la proportionnalité.
Comment savoir si une droite est croissante ou décroissante ?
Il suffit de regarder le signe du coefficient directeur a. Si a > 0 : la droite monte de gauche à droite (croissante). Si a < 0 : la droite descend (décroissante). Si a = 0 : droite horizontale (constante). Plus |a| est grand, plus la pente est prononcée.
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