Équations du Second Degré 📊
Cours de maths 3e · Factorisation, équation produit nul, identités remarquables · Pont vers le lycée · Exercices corrigés
1. Qu'est-ce qu'une équation du second degré ?
Une équation du second degré est une équation dont le terme de plus haut degré est x². Sa forme générale est :
| Exemple | a | b | c |
|---|---|---|---|
| x² − 5x + 6 = 0 | 1 | −5 | 6 |
| 2x² + 3x = 0 | 2 | 3 | 0 |
| x² − 9 = 0 | 1 | 0 | −9 |
| −x² + 4x − 4 = 0 | −1 | 4 | −4 |
Une équation du second degré peut avoir 0, 1 ou 2 solutions — contrairement à une équation du 1er degré qui a toujours exactement 1 solution (ou 0 si c'est impossible).
2. L'outil fondamental : l'équation produit nul
C'est LA propriété centrale pour résoudre en 3e :
Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un des facteurs est nul.
Produit nul → x − 3 = 0 ou x + 2 = 0
x = 3 ou x = −2
S =
Produit nul → x = 0 ou 2x − 7 = 0
x = 0 ou x = 7/2
S =
3. Méthode générale en 3e
- Tout passer d'un côté pour obtenir … = 0.
- Factoriser l'expression (facteur commun, identité remarquable, ou combinaison).
- Appliquer la propriété du produit nul et résoudre chaque facteur.
4. Cas 1 — Facteur commun x
Quand il n'y a pas de terme constant (c = 0), on factorise par x.
Facteur commun : 3x(x − 4) = 0
3x = 0 → x = 0
x − 4 = 0 → x = 4
S =
x(x + 5) = 0
x = 0 ou x = −5
S =
5. Cas 2 — Différence de deux carrés (a² − b²)
Quand l'expression est une différence de deux carrés, on utilise l'identité remarquable :
x² − 9 = x² − 3² = (x − 3)(x + 3) = 0
x = 3 ou x = −3
S =
4x² − 25 = (2x)² − 5² = (2x − 5)(2x + 5) = 0
2x − 5 = 0 → x = 5/2
2x + 5 = 0 → x = −5/2
S =
x² − (√7)² = (x − √7)(x + √7) = 0
x = √7 ou x = −√7
S = — lien avec les racines carrées.
6. Cas 3 — Carré parfait ((a ± b)² = 0)
Quand l'expression est un carré parfait, l'équation n'a qu'une seule solution (racine double).
On reconnaît (x − 3)² = x² − 2×3×x + 3² = x² − 6x + 9.
(x − 3)² = 0 → x − 3 = 0 → x = 3
S = — une seule solution (racine double).
(2x)² + 2×(2x)×3 + 3² = (2x + 3)²
(2x + 3)² = 0 → 2x + 3 = 0 → x = −3/2
S =
7. Cas 4 — Factorisation par regroupement
Pour des trinômes comme x² − 5x + 6, on cherche deux nombres dont la somme vaut b et le produit vaut c (quand a = 1).
Chercher deux nombres p et q tels que :
Alors x² + bx + c = (x + p)(x + q)
On cherche p et q tels que p + q = −5 et p × q = 6.
p = −2 et q = −3 (car −2 + (−3) = −5 et (−2)(−3) = 6).
x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0
x = 2 ou x = 3
S =
p + q = 1 et p × q = −12.
p = 4 et q = −3 (car 4 + (−3) = 1 et 4×(−3) = −12).
(x + 4)(x − 3) = 0
x = −4 ou x = 3
S =
8. Cas 5 — Équation x² = a
Un cas particulier simple mais fréquent :
| Équation | Solutions | Nombre de solutions |
|---|---|---|
| x² = a avec a > 0 | x = √a ou x = −√a | 2 solutions |
| x² = 0 | x = 0 | 1 solution |
| x² = a avec a < 0 | Pas de solution dans ℝ | 0 solution |
x = √16 = 4 ou x = −√16 = −4. S = .
x = √5 ou x = −√5. S = ≈ .
Impossible dans ℝ. Un carré est toujours positif ou nul. S = ∅ (ensemble vide).
9. Mise en équation — problèmes type brevet
Au brevet, on doit souvent traduire un énoncé en équation du second degré, puis la résoudre.
Énoncé : Un rectangle a une longueur qui dépasse sa largeur de 3 cm. Son aire est 40 cm². Trouver ses dimensions.
Mise en équation : Soit x la largeur (en cm). La longueur vaut x + 3.
Aire = x(x + 3) = 40
x² + 3x = 40 → x² + 3x − 40 = 0
Factorisation : on cherche p + q = 3 et p × q = −40.
p = 8 et q = −5 (car 8 + (−5) = 3 et 8 × (−5) = −40).
(x + 8)(x − 5) = 0 → x = −8 ou x = 5
Conclusion : x = −8 n'a pas de sens (une largeur est positive). Donc x = 5 cm et la longueur = 5 + 3 = 8 cm.
Vérification : 5 × 8 = 40 cm². ✓
Énoncé : Le produit de deux entiers consécutifs est 72. Quels sont-ils ?
Soit n le plus petit. L'autre est n + 1.
n(n + 1) = 72 → n² + n − 72 = 0
p + q = 1 et p × q = −72. p = 9, q = −8.
(n + 9)(n − 8) = 0 → n = −9 ou n = 8
Solutions : n = 8 → les entiers sont 8 et 9 (car 8 × 9 = 72). Ou n = −9 → les entiers sont −9 et −8 (car (−9)(−8) = 72).
10. Tableau récapitulatif des cas
| Forme | Méthode | Exemple | Solutions |
|---|---|---|---|
| ax² + bx = 0 | Facteur commun x | 3x² − 12x = 0 → 3x(x−4) = 0 | 0 et 4 |
| ax² − c = 0 (a²−b²) | Identité a²−b² | x² − 9 = 0 → (x−3)(x+3) = 0 | 3 et −3 |
| ax² + bx + c = 0 (carré parfait) | Identité (a±b)² | x² − 6x + 9 → (x−3)² = 0 | 3 (double) |
| x² + bx + c = 0 | Chercher p+q=b, pq=c | x² − 5x + 6 → (x−2)(x−3) = 0 | 2 et 3 |
| x² = a | Racine carrée | x² = 16 → x = ±4 | 4 et −4 |
11. Erreurs classiques
12. Exercices corrigés
Résoudre : a) x² − 7x = 0 b) 5x² + 10x = 0 c) −2x² + 8x = 0
a) x(x − 7) = 0 → x = 0 ou x = 7
b) 5x(x + 2) = 0 → x = 0 ou x = −2
c) −2x(x − 4) = 0 → x = 0 ou x = 4
Résoudre : a) x² − 49 = 0 b) 9x² − 4 = 0 c) x² + 10x + 25 = 0
a) (x−7)(x+7) = 0 → x = 7 ou x = −7
b) (3x−2)(3x+2) = 0 → x = 2/3 ou x = −2/3
c) (x+5)² = 0 → x = −5 (racine double)
Résoudre : a) x² − 7x + 12 = 0 b) x² + 2x − 15 = 0 c) x² − x − 6 = 0
a) p + q = −7, pq = 12 → p = −3, q = −4. (x−3)(x−4) = 0 → x = 3 ou x = 4
b) p + q = 2, pq = −15 → p = 5, q = −3. (x+5)(x−3) = 0 → x = −5 ou x = 3
c) p + q = −1, pq = −6 → p = −3, q = 2. (x−3)(x+2) = 0 → x = 3 ou x = −2
Un carré a une aire de 64 cm². On agrandit son côté de x cm. La nouvelle aire est 100 cm². Trouver x.
Côté initial = √64 = 8 cm. Nouveau côté = 8 + x.
(8 + x)² = 100 → 8 + x = 10 ou 8 + x = −10
x = 2 ou x = −18 (rejeté car x > 0).
Le côté a été agrandi de 2 cm. Vérification : (8+2)² = 10² = 100 ✓
Résoudre : 2x³ − 18x = 0
Facteur commun : 2x(x² − 9) = 0
Identité a²−b² : 2x(x−3)(x+3) = 0
x = 0, x = 3 ou x = −3
S =
13. Et au lycée ? Le discriminant
En 1ère spé maths, on apprend la méthode universelle pour résoudre toute équation du second degré, même quand la factorisation à la main est impossible :
Pour ax² + bx + c = 0, on calcule Δ = b² − 4ac.
Si Δ > 0 → 2 solutions : x = (−b ± √Δ) / (2a)
Si Δ = 0 → 1 solution : x = −b / (2a)
Si Δ < 0 → 0 solution dans ℝ
👉 Cours complet : Équations du second degré — 1ère spé
Questions fréquentes