Équations du Premier Degré
Cours complet 4e-3e — résoudre, vérifier et mettre en équation
1. Définition2. Règles de résolution3. Méthode complète4. Équations avec parenthèses5. Équations avec fractions6. Mise en équation7. Exercices corrigés8. Questions fréquentes
Définition d’une équation du 1er degré
Une équation du premier degré à une inconnue x est une égalité de la forme ax + b = 0 (ou équivalente), où a ≠ 0. Résoudre l’équation, c’est trouver la (ou les) valeur(s) de x qui rendent l’égalité vraie. Cette valeur s’appelle la solution.
2x + 5 = 11 | 3x − 7 = 2x + 4 | 5(x − 2) = 15 | x/3 = 4
Non équations du 1er degré :
x² = 9 (degré 2) | x³ − 1 = 0 (degré 3)
Les règles fondamentales
| Opération | Exemple | Résultat |
|---|---|---|
| Ajouter le même nombre des deux côtés | x − 3 = 5 → x − 3 + 3 = 5 + 3 | x = 8 |
| Soustraire le même nombre des deux côtés | x + 7 = 12 → x + 7 − 7 = 12 − 7 | x = 5 |
| Multiplier les deux membres par le même nombre ≠ 0 | x/4 = 3 → x/4 × 4 = 3 × 4 | x = 12 |
| Diviser les deux membres par le même nombre ≠ 0 | 6x = 24 → 6x/6 = 24/6 | x = 4 |
Méthode complète de résolution
1. Développer et simplifier chaque membre si nécessaire
2. Regrouper les termes en x d’un côté, les constantes de l’autre
3. Factoriser / diviser pour isoler x
4. Vérifier en substituant la valeur trouvée dans l’équation de départ
3x + 7 = x + 15
3x − x = 15 − 7 (on regroupe les x à gauche, les constantes à droite)
2x = 8
x = 4
Vérification : 3(4) + 7 = 12 + 7 = 19 et 4 + 15 = 19 ✓
5 − 2x = 3x − 10
5 + 10 = 3x + 2x
15 = 5x
x = 3
Vérif : 5 − 6 = −1 et 9 − 10 = −1 ✓
Équations avec parenthèses
6x − 3 = 2x + 8 + 1 (développement)
6x − 3 = 2x + 9
6x − 2x = 9 + 3
4x = 12
x = 3
Vérif : 3(6−1) = 15 et 2(7)+1 = 15 ✓
4x − 2x − 3 = 7 (attention : − devant parenthèse inverse tous les signes)
2x = 10
x = 5
Équations avec fractions
Multiplier par 6 (PPCM de 3 et 6) :
6 × x/3 + 6 × 1 = 6 × 5/6
2x + 6 = 5
2x = −1
x = −1/2
Vérif : (−1/2)/3 + 1 = −1/6 + 6/6 = 5/6 ✓
Mise en équation — résoudre un problème
1. Choisir l’inconnue x et préciser ce qu’elle représente
2. Traduire les conditions du problème en équation
3. Résoudre l’équation
4. Vérifier que la solution est cohérente avec le problème (positive ? entière ?)
Marie a le double de l’âge de son frère. Dans 5 ans, la somme de leurs âges sera 43. Quel est l’âge actuel du frère ?
Soit x l’âge du frère. Âge de Marie = 2x.
Dans 5 ans : (x + 5) + (2x + 5) = 43
3x + 10 = 43
3x = 33 → x = 11
Le frère a 11 ans, Marie a 22 ans.
Un rectangle a un périmètre de 56 cm. Sa longueur est le double de sa largeur. Trouver les dimensions.
Soit x la largeur. Longueur = 2x.
2(x + 2x) = 56 → 2 × 3x = 56 → 6x = 56 → x = 56/6… Non entier, revoir.
Correction : 2(x + 2x) = 56 → 6x = 56 → x ≈ 9,3 cm (largeur), 2x ≈ 18,7 cm.
Exercices corrigés brevet
Résoudre : 4(x − 3) + 2 = 2(3x − 1) − 8
4x − 12 + 2 = 6x − 2 − 8
4x − 10 = 6x − 10
−10 + 10 = 6x − 4x
0 = 2x → x = 0
Vérif : 4(−3)+2 = −10 et 2(−1)−8 = −10 ✓
Résoudre : (2x + 1)/3 = (x − 2)/2
Multiplier par 6 : 2(2x + 1) = 3(x − 2)
4x + 2 = 3x − 6
x = −8
Vérif : (−16+1)/3 = −5 et (−8−2)/2 = −5 ✓
Le prix d’un article après une remise de 15 % est 34 €. Quel était le prix initial ?
Soit x le prix initial. x − 0,15x = 34 → 0,85x = 34 → x = 34/0,85 = 40 €
Questions fréquentes
Hub MathsCalcul littéralDéveloppement et factorisationSystèmes d’équationsHub Collège