Développement et Factorisation

Cours complet 4e-3e — distributivité, double distributivité, identités remarquables

4e – 3e
Niveau
Algèbre
Thème
8
Sections
Brevet
Objectif
📚 NavigationHub MathsCalcul littéralÉquations
Sommaire
1. Distributivité simple2. Double distributivité3. Identités remarquables4. Factorisation — principe5. Factoriser par facteur commun6. Factoriser avec identités7. Exercices corrigés8. Questions fréquentes
Section 01

Distributivité simple

Propriété

Pour tous nombres a, b, k : k(a + b) = ka + kb et k(a − b) = ka − kb

k(a + b) = ka + kbdistributivité de la multiplication sur l’addition
📝 Exemples de développement

3(2x + 5) = 6x + 15
−2(3x − 4) = −6x + 8   (attention au signe !)
x(x + 3) = x² + 3x
5(2a − 3b + 1) = 10a − 15b + 5

⚠️ Piège classique : −(a + b) = −a − b (pas −a + b !). Le signe moins distribue sur TOUS les termes.
Section 02

Double distributivité (développer un produit de deux sommes)

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bdchaque terme du 1er facteur multiplie chaque terme du 2e
📘 Méthode « en croix » ou FOIL : First, Outer, Inner, Last — multiplier dans cet ordre pour ne rien oublier.
📝 Exemples

(x + 3)(x + 5) = x² + 5x + 3x + 15 = x² + 8x + 15
(2x − 1)(x + 4) = 2x² + 8x − x − 4 = 2x² + 7x − 4
(3 − x)(2 + x) = 6 + 3x − 2x − x² = 6 + x − x²

Section 03

Les identités remarquables

Carré d’une somme
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Carré d’une différence
(a − b)² = a² − 2ab + b²
Produit somme × différence
(a + b)(a − b) = a² − b²
Cube d’une somme (bonus 3e)
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
📝 Applications

(x + 4)² = x² + 8x + 16
(3x − 2)² = 9x² − 12x + 4
(x + 5)(x − 5) = x² − 25
(2a + 1)(2a − 1) = 4a² − 1
(x + 3)² − (x − 1)² = (x²+6x+9) − (x²−2x+1) = 8x + 8

💡 Astuce calcul mental avec (a+b)(a−b) :
99 × 101 = (100 − 1)(100 + 1) = 100² − 1 = 9 999
47 × 53 = (50 − 3)(50 + 3) = 2500 − 9 = 2 491
Section 04

Factorisation — principe

Définition

Factoriser une expression, c’est l’écrire sous la forme d’un produit de facteurs. C’est l’opération inverse du développement.

📘 Pourquoi factoriser ?
— Résoudre une équation : si A × B = 0 alors A = 0 ou B = 0
— Simplifier une fraction : (x² − 9)/(x + 3) = (x+3)(x−3)/(x+3) = x − 3
— Calculer plus rapidement
📋 Comment factoriser — chercher le facteur commun

1. Identifier le facteur commun à tous les termes (nombre, lettre ou expression)
2. Mettre ce facteur en évidence devant une parenthèse
3. Vérifier en redéveloppant

Section 05

Factoriser par facteur commun

📝 Exemples

6x + 10 = 2(3x + 5)   [facteur commun = 2] 3x² − 12x = 3x(x − 4)   [facteur commun = 3x] 5a + 5b = 5(a + b)
x(x+2) + 3(x+2) = (x+2)(x+3)   [facteur commun = (x+2)] a(b−3) − 5(b−3) = (b−3)(a−5)

📘 Cas particulier : facteur commun = expression
Quand on voit (x+2) deux fois, c’est un facteur commun comme un nombre ordinaire.
Section 06

Factoriser à l’aide des identités remarquables

📘 Reconnaître la forme a² − b² = (a+b)(a−b) est très fréquent au brevet.
📝 Différence de carrés

x² − 16 = x² − 4² = (x+4)(x−4)
9x² − 25 = (3x)² − 5² = (3x+5)(3x−5)
4a² − 1 = (2a)² − 1² = (2a+1)(2a−1)

📝 Carré parfait

x² + 6x + 9 = x² + 2×3×x + 3² = (x+3)²
4x² − 20x + 25 = (2x)² − 2×5×2x + 5² = (2x−5)²

Section 07

Exercices corrigés brevet

📝 Exercice 1 — développer puis réduire

(2x + 3)² − (x − 1)(x + 1)
= 4x² + 12x + 9 − (x² − 1)
= 4x² + 12x + 9 − x² + 1
= 3x² + 12x + 10

📝 Exercice 2 — factoriser

a) x² − 36 = (x+6)(x−6)
b) 2x² + 8x = 2x(x+4) → 2x(x + 4)
c) x(2x−5) + 3(2x−5) = (2x−5)(x+3)

📝 Exercice 3 — résoudre par factorisation

Résoudre : x² − 9 = 0
(x+3)(x−3) = 0
x + 3 = 0 ou x − 3 = 0
x = −3 ou x = 3

Section 08

Questions fréquentes

Comment savoir si je dois développer ou factoriser ?
Cela dépend de l’objectif : pour comparer deux expressions ou simplifier, on développe et réduit. Pour résoudre une équation produit (A×B=0), on factorise. Pour simplifier une fraction avec un polynôme, on factorise numérateur et dénominateur. L’énoncé indique souvent « développer et réduire » ou « factoriser ».
Pourquoi les identités remarquables s’appellent-elles ainsi ?
Car elles sont « remarquables » dans le sens de notables, importantes, mémorisables. Elles sont utilisées si fréquemment en algèbre, trigonométrie et analyse qu’il est indispensable de les connaître par cœur. On les retrouve du collège jusqu’en classes préparatoires.
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