Systèmes d'Équations
Cours de maths 3e · Substitution, combinaison, résolution graphique, mise en équation · Exercices corrigés brevet
Les systèmes d'équations permettent de résoudre des problèmes à deux inconnues — prix de deux articles, âges de deux personnes, dimensions d'un rectangle. C'est un exercice classique au brevet (8-15 points), souvent combiné avec une mise en équation à partir d'un énoncé concret.
Qu'est-ce qu'un système d'équations ?
Un système de deux équations à deux inconnues est un ensemble de deux équations du premier degré en x et y. Résoudre le système, c'est trouver le couple (x ; y) qui vérifie les deux équations en même temps.
{ 2x + y = 7 (1)
{ x − y = 2 (2)
On cherche x et y tels que les deux égalités soient vraies simultanément.
Solution : x = 3, y = 1 → Vérification : 2(3)+1 = 7 ✓ et 3−1 = 2 ✓
Chaque équation représente une droite dans un repère. La solution du système est le point d'intersection des deux droites.
Méthode par substitution
La substitution consiste à exprimer une inconnue en fonction de l'autre, puis à remplacer dans la seconde équation.
- Isoler une inconnue dans l'une des deux équations (choisir la plus simple).
- Remplacer cette inconnue dans l'autre équation.
- Résoudre l'équation obtenue (une seule inconnue).
- Calculer la deuxième inconnue en remplaçant dans l'expression de l'étape 1.
- Vérifier le couple dans les deux équations de départ.
{ y = 2x − 1 (1)
{ 3x + 2y = 12 (2)
Étape 1 : y est déjà isolée dans (1) : y = 2x − 1.
Étape 2 : On remplace y dans (2) : 3x + 2(2x − 1) = 12
Étape 3 : 3x + 4x − 2 = 12 → 7x = 14 → x = 2
Étape 4 : y = 2(2) − 1 = 3
Étape 5 : Dans (2) : 3(2) + 2(3) = 6 + 6 = 12 ✓
S =
{ x + 3y = 10 (1)
{ 4x − y = 1 (2)
On isole x dans (1) : x = 10 − 3y
Dans (2) : 4(10 − 3y) − y = 1 → 40 − 12y − y = 1 → −13y = −39 → y = 3
x = 10 − 3(3) = 1. S =
Vérification : 1 + 3(3) = 10 ✓ et 4(1) − 3 = 1 ✓
Méthode par combinaison (addition)
La combinaison consiste à additionner ou soustraire les deux équations pour éliminer une inconnue.
- Repérer quelle inconnue est la plus facile à éliminer.
- Si nécessaire, multiplier une ou les deux équations pour obtenir des coefficients opposés.
- Additionner (ou soustraire) les deux équations membre à membre.
- Résoudre l'équation obtenue.
- Calculer l'autre inconnue et vérifier.
{ 2x + y = 7 (1)
{ x − y = 2 (2)
Les coefficients de y sont +1 et −1. On additionne :
(1) + (2) : 3x = 9 → x = 3
Dans (2) : 3 − y = 2 → y = 1. S =
{ 3x + 2y = 16 (1)
{ 5x − 3y = 14 (2)
Pour éliminer y : (1)×3 et (2)×2 :
9x + 6y = 48
10x − 6y = 28
Addition : 19x = 76 → x = 4
Dans (1) : 12 + 2y = 16 → y = 2. S =
Substitution : quand une inconnue est déjà isolée ou a un coefficient 1.
Combinaison : quand les coefficients se prêtent à l'élimination.
Au brevet, les deux méthodes donnent toujours le même résultat.
Résolution graphique
Chaque équation ax + by = c s'écrit sous la forme y = mx + p (fonction affine). On trace les deux droites : leur point d'intersection donne la solution.
- Transformer chaque équation en y = mx + p.
- Tracer les deux droites (2 points suffisent par droite).
- Lire les coordonnées du point d'intersection.
- Vérifier par le calcul.
{ y = 2x − 1 (D₁) { y = −x + 5 (D₂)
À l'intersection : 2x − 1 = −x + 5 → 3x = 6 → x = 2 → y = 3
Point d'intersection : (2 ; 3).
La lecture graphique donne une valeur approchée. Au brevet, on demande souvent de lire graphiquement puis de vérifier par le calcul.
Cas particuliers : 0 ou ∞ solutions
| Cas | Ce qu'on obtient | Interprétation | Solutions |
|---|---|---|---|
| 1 solution | Un couple (x ; y) unique | Les droites se croisent | S = |
| 0 solution | Une absurdité (0 = 5) | Droites parallèles | S = ∅ |
| ∞ solutions | Une identité (0 = 0) | Même droite | Infinité |
{ 2x + y = 5 (1) { 4x + 2y = 3 (2)
(1)×2 : 4x + 2y = 10. Or (2) : 4x + 2y = 3. → 10 ≠ 3 : contradiction, pas de solution.
{ x + 2y = 6 (1) { 3x + 6y = 18 (2)
(2) ÷ 3 : x + 2y = 6, identique à (1). → Infinité de solutions.
Mise en équation — problèmes type brevet
- Choisir les inconnues : « Soit x = … et y = … »
- Traduire l'énoncé en deux équations.
- Résoudre le système.
- Conclure avec une phrase et les unités.
Énoncé : 2 adultes + 3 enfants = 31 €. 4 adultes + 1 enfant = 33 €. Prix de chaque place ?
Soit x = prix adulte, y = prix enfant.
{ 2x + 3y = 31 (1) { 4x + y = 33 (2)
Dans (2) : y = 33 − 4x. Substitution dans (1) :
2x + 3(33 − 4x) = 31 → 2x + 99 − 12x = 31 → −10x = −68 → x = 6,80 €
y = 33 − 4(6,80) = 5,80 €
Vérification : 2(6,80) + 3(5,80) = 13,60 + 17,40 = 31 ✓
Énoncé : Paul a le triple de l'âge de sa fille. Somme = 52 ans.
{ x = 3y (1) { x + y = 52 (2)
(1) dans (2) : 3y + y = 52 → 4y = 52 → y = 13, x = 39.
Paul a 39 ans et sa fille 13 ans.
Énoncé : Périmètre d'un rectangle = 34 cm. Longueur dépasse largeur de 5 cm.
{ L + l = 17 (1) { L = l + 5 (2)
(2) dans (1) : (l+5) + l = 17 → 2l = 12 → l = 6 cm, L = 11 cm.
Vérification : 2(11+6) = 34 ✓
Tableau récapitulatif
| Méthode | Quand l'utiliser | Principe |
|---|---|---|
| Substitution | Une inconnue est isolée ou a un coefficient 1 | Exprimer une inconnue puis remplacer |
| Combinaison | Coefficients opposés ou multiples simples | Additionner/soustraire pour éliminer |
| Graphique | Lecture sur un repère (approchée) | Intersection de deux droites |
| Nombre de solutions | Constat algébrique | Constat graphique |
|---|---|---|
| 1 solution | Couple unique (x ; y) | Droites sécantes |
| 0 solution | Absurdité (0 = 5) | Droites parallèles distinctes |
| ∞ solutions | Identité (0 = 0) | Droites confondues |
Erreurs classiques
Quand on substitue y = 2x−1 dans 3x + 2y = 12, écrire 3x + 2(2x−1) = 12 — avec parenthèses. Pas 3x + 2×2x−1.
En soustrayant deux équations, le signe − s'applique à tous les termes. Par exemple (3x+2y) − (x−5y) = 3x+2y−x+5y, pas −5y.
Toujours remplacer le couple trouvé dans les deux équations de départ. Si ça ne colle pas → erreur de calcul quelque part.
Au brevet, répondre avec une phrase : « Le prix d'une place adulte est 6,80 € et celui d'une place enfant est 5,80 €. » — pas juste x = 6,80.
Exercices corrigés
Résoudre : { y = 3x + 1 (1) { 5x − 2y = −7 (2)
Corrigé : (1) dans (2) : 5x − 2(3x+1) = −7 → 5x − 6x − 2 = −7 → −x = −5 → x = 5
y = 3(5) + 1 = 16. S =
Vérification : 5(5) − 2(16) = 25 − 32 = −7 ✓
Résoudre : { 3x + 4y = 26 (1) { 3x − 2y = 8 (2)
Corrigé : (1) − (2) : 6y = 18 → y = 3
Dans (2) : 3x − 6 = 8 → 3x = 14 → x = 14/3. S =
Vérification : 3(14/3) + 4(3) = 14 + 12 = 26 ✓
Un fleuriste vend roses et tulipes. 5 roses + 3 tulipes = 23,50 €. 2 roses + 7 tulipes = 25 €. Prix de chaque fleur ?
Corrigé : { 5x + 3y = 23,50 (1) { 2x + 7y = 25 (2)
(1)×7 : 35x + 21y = 164,50 (2)×3 : 6x + 21y = 75
Soustraction : 29x = 89,50 → x = 3,09 € (environ)
Hmm — vérifions avec des valeurs rondes. En fait (1)×7 − (2)×3 : 35x − 6x = 29x et 164,50 − 75 = 89,50. x = 89,50/29 ≈ 3,09. Pas rond — ajustons l'énoncé.
Reprenons : { 5x + 3y = 24 (1) { 2x + 7y = 25 (2)
(1)×7 : 35x + 21y = 168 (2)×3 : 6x + 21y = 75
Soustraction : 29x = 93 → x = 93/29. Toujours pas rond — prenons un exercice plus propre :
Au marché, 3 kg de pommes + 2 kg de poires = 11 €. 1 kg de pommes + 4 kg de poires = 13 €. Prix au kilo ?
Corrigé : { 3x + 2y = 11 (1) { x + 4y = 13 (2)
Dans (2) : x = 13 − 4y. Substitution dans (1) :
3(13 − 4y) + 2y = 11 → 39 − 12y + 2y = 11 → −10y = −28 → y = 2,80 €
x = 13 − 4(2,80) = 13 − 11,20 = 1,80 €
Les pommes coûtent 1,80 €/kg et les poires 2,80 €/kg.
Vérification : 3(1,80) + 2(2,80) = 5,40 + 5,60 = 11 ✓ et 1,80 + 4(2,80) = 1,80 + 11,20 = 13 ✓
Résoudre : { x − 2y = 3 (1) { −2x + 4y = 1 (2)
Corrigé : (1)×2 : 2x − 4y = 6. On additionne avec (2) :
2x − 4y + (−2x + 4y) = 6 + 1 → 0 = 7 : absurde.
Pas de solution (S = ∅). Les droites sont parallèles.
Un théâtre a vendu 200 billets. Plein tarif = 15 € et tarif réduit = 9 €. La recette totale est 2 340 €. Combien de billets de chaque type ?
Corrigé : Soit x = billets plein tarif, y = billets réduit.
{ x + y = 200 (1) { 15x + 9y = 2340 (2)
Dans (1) : x = 200 − y. Substitution dans (2) :
15(200 − y) + 9y = 2340 → 3000 − 15y + 9y = 2340 → −6y = −660 → y = 110
x = 200 − 110 = 90
Il y a eu 90 billets plein tarif et 110 billets tarif réduit.
Vérification : 90 + 110 = 200 ✓ et 15(90) + 9(110) = 1350 + 990 = 2340 ✓