Fonctions de Référence : Cours Complet Lycée
De la 2nde à la Terminale — domaine, variations, graphe, dérivée de chaque fonction fondamentale
📋 Sommaire
1. Qu'est-ce qu'une fonction de référence ?
7. Fonction racine carrée √x
2. Fonction constante f(x) = k
8. Fonction valeur absolue |x|
3. Fonction identité f(x) = x
9. Tableau récapitulatif
4. Fonction carré f(x) = x²
10. Exercices types bac
5. Fonction cube f(x) = x³
11. Questions fréquentes
6. Fonction inverse f(x) = 1/x
7. Fonction racine carrée √x
2. Fonction constante f(x) = k
8. Fonction valeur absolue |x|
3. Fonction identité f(x) = x
9. Tableau récapitulatif
4. Fonction carré f(x) = x²
10. Exercices types bac
5. Fonction cube f(x) = x³
11. Questions fréquentes
6. Fonction inverse f(x) = 1/x
Section 01
Qu'est-ce qu'une fonction de référence ?
Définition : Les fonctions de référence sont les fonctions « de base » dont il faut connaître par cœur le domaine de définition, le sens de variation, la représentation graphique et la dérivée. Elles servent de briques fondamentales pour étudier n'importe quelle autre fonction par composition, somme ou produit.
📘 Les 7 fonctions de référence du lycée :
f(x) = k (constante) | f(x) = x (identité) | f(x) = x² (carré)
f(x) = x³ (cube) | f(x) = 1/x (inverse) | f(x) = √x (racine)
f(x) = |x| (valeur absolue)
f(x) = k (constante) | f(x) = x (identité) | f(x) = x² (carré)
f(x) = x³ (cube) | f(x) = 1/x (inverse) | f(x) = √x (racine)
f(x) = |x| (valeur absolue)
💡 Rappel — Vocabulaire :
— Domaine de définition Df : ensemble des x pour lesquels f(x) existe
— Croissante sur I : ∀ x₁, x₂ ∈ I, x₁ < x₂ ⟹ f(x₁) < f(x₂)
— Parité : paire si f(−x) = f(x) (symétrie axe Oy), impaire si f(−x) = −f(x) (symétrie O)
— Domaine de définition Df : ensemble des x pour lesquels f(x) existe
— Croissante sur I : ∀ x₁, x₂ ∈ I, x₁ < x₂ ⟹ f(x₁) < f(x₂)
— Parité : paire si f(−x) = f(x) (symétrie axe Oy), impaire si f(−x) = −f(x) (symétrie O)
Section 02
Fonction constante — f(x) = k
📋 Fiche fonction constante
| Propriété | Valeur |
|---|---|
| Domaine Df | ℝ |
| Sens de variation | Constante (ni croissante ni décroissante) |
| Dérivée | f'(x) = 0 |
| Parité | Paire (si k ≠ 0) — symétrie par rapport à l'axe des ordonnées |
| Représentation | Droite horizontale d'ordonnée k |
| Image | f(x) = k pour tout x ∈ ℝ |
📝 Exemple
f(x) = 3 : graphe = droite horizontale y = 3. f(−5) = f(0) = f(100) = 3. f'(x) = 0.
Section 03
Fonction identité — f(x) = x
📋 Fiche fonction identité
| Propriété | Valeur |
|---|---|
| Domaine Df | ℝ |
| Sens de variation | Strictement croissante sur ℝ |
| Dérivée | f'(x) = 1 |
| Parité | Impaire — f(−x) = −x = −f(x) |
| Représentation | Droite y = x (première bissectrice), passe par O(0;0), pente 1 |
| Tableau de variations | ↗ sur ℝ de −∞ à +∞ |
📘 La fonction identité est sa propre dérivée. Elle joue le rôle de « miroir » : elle est la droite de symétrie pour les graphes de f et f⁻¹ (fonction réciproque).
Section 04
Fonction carré — f(x) = x²
📋 Fiche fonction carré
| Propriété | Valeur |
|---|---|
| Domaine Df | ℝ |
| Ensemble image | [0 ; +∞[ |
| Sens de variation | Décroissante sur ]−∞ ; 0], croissante sur [0 ; +∞[ |
| Minimum | f(0) = 0 (minimum global) |
| Dérivée | f'(x) = 2x |
| Parité | Paire — f(−x) = (−x)² = x² = f(x) → symétrie axe Oy |
| Représentation | Parabole de sommet O(0;0), branches vers le haut |
| Valeurs remarquables | f(1)=1, f(2)=4, f(3)=9, f(−1)=1, f(1/2)=1/4 |
📝 Tableau de variations
| x | −∞ | 0 | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | − | 0 | + | ||
| f(x) | +∞ | ↘ | 0 | ↗ | +∞ |
Signe de f'(x) = 2x : négatif pour x < 0, nul en 0, positif pour x > 0.
✅ Extension aux fonctions du type (ax+b)² :
g(x) = (ax+b)² — sommet en x = −b/a, minimum si a > 0, maximum si a < 0.
g'(x) = 2a(ax+b) par dérivation de composition.
g(x) = (ax+b)² — sommet en x = −b/a, minimum si a > 0, maximum si a < 0.
g'(x) = 2a(ax+b) par dérivation de composition.
Section 05
Fonction cube — f(x) = x³
📋 Fiche fonction cube
| Propriété | Valeur |
|---|---|
| Domaine Df | ℝ |
| Ensemble image | ℝ |
| Sens de variation | Strictement croissante sur ℝ |
| Point d'inflexion | O(0;0) — la courbe change de courbure en O |
| Dérivée | f'(x) = 3x² |
| Parité | Impaire — f(−x) = −x³ = −f(x) → symétrie par rapport à O |
| Représentation | Courbe passant par O, croissante, « aplatie » autour de O |
| Valeurs remarquables | f(1)=1, f(2)=8, f(−1)=−1, f(1/2)=1/8 |
📝 Tableau de variations
| x | −∞ | 0 | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) = 3x² | + | 0 | + | ||
| f(x) | −∞ | ↗ | 0 | ↗ | +∞ |
f'(x) = 3x² ≥ 0 sur ℝ (s'annule en 0 sans changer de signe) → f strictement croissante.
💡 Distinction x² / x³ : x² est toujours positif (parabole en U) ; x³ peut être négatif (courbe en S). La dérivée de x² vaut 2x (s'annule et change de signe en 0) ; celle de x³ vaut 3x² (s'annule en 0 mais ne change pas de signe → pas d'extremum, juste un point d'inflexion).
Section 06
Fonction inverse — f(x) = 1/x
📋 Fiche fonction inverse
| Propriété | Valeur |
|---|---|
| Domaine Df | ℝ* = ]−∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[ |
| Ensemble image | ℝ* (jamais 0) |
| Sens de variation | Strictement décroissante sur ]−∞;0[ ET sur ]0;+∞[ (mais pas sur ℝ*) |
| Dérivée | f'(x) = −1/x² |
| Parité | Impaire — f(−x) = 1/(−x) = −1/x = −f(x) |
| Asymptotes | Ax : y = 0 (axe des x) ; Av : x = 0 (axe des y) |
| Représentation | Hyperbole — deux branches dans les quadrants I et III |
| Valeurs remarquables | f(1)=1, f(2)=0,5, f(−1)=−1, f(1/2)=2 |
📝 Tableau de variations
| x | −∞ | 0 | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) = −1/x² | − | || | − | ||
| f(x) | 0⁻ | ↘ | || | ↘ | 0⁺ |
f'(x) = −1/x² < 0 sur tout son domaine → décroissante sur chaque intervalle. Attention : on ne dit pas « décroissante sur ℝ* » car il y a une coupure en 0.
📘 Limites fondamentales :
limx→0⁺ 1/x = +∞ ; limx→0⁻ 1/x = −∞ ; limx→±∞ 1/x = 0
limx→0⁺ 1/x = +∞ ; limx→0⁻ 1/x = −∞ ; limx→±∞ 1/x = 0
Section 07
Fonction racine carrée — f(x) = √x
📋 Fiche fonction racine carrée
| Propriété | Valeur |
|---|---|
| Domaine Df | [0 ; +∞[ |
| Ensemble image | [0 ; +∞[ |
| Sens de variation | Strictement croissante sur [0 ; +∞[ |
| Dérivée | f'(x) = 1/(2√x) (définie sur ]0 ; +∞[) |
| Parité | Ni paire ni impaire (domaine non symétrique) |
| Représentation | Demi-parabole couchée, partant de O(0;0) vers la droite |
| Valeurs remarquables | √0=0, √1=1, √4=2, √9=3, √(1/4)=1/2 |
| Lien avec carré | √(x²) = |x| ; (√x)² = x pour x ≥ 0 |
📝 Tableau de variations
| x | 0 | +∞ | |
|---|---|---|---|
| f'(x) = 1/(2√x) | +∞ | + | 0⁺ |
| f(x) | 0 | ↗ | +∞ |
La dérivée tend vers +∞ en 0 (tangente verticale) et vers 0 en +∞ (la courbe « s'aplatit »).
✅ Extension — f(x) = √(ax+b) :
Domaine : ax+b ≥ 0. Dérivée : f'(x) = a/(2√(ax+b)).
Exemple : g(x) = √(2x−3) → Dg = [3/2 ; +∞[, g'(x) = 1/√(2x−3).
Domaine : ax+b ≥ 0. Dérivée : f'(x) = a/(2√(ax+b)).
Exemple : g(x) = √(2x−3) → Dg = [3/2 ; +∞[, g'(x) = 1/√(2x−3).
Section 08
Fonction valeur absolue — f(x) = |x|
📋 Fiche fonction valeur absolue
| Propriété | Valeur |
|---|---|
| Domaine Df | ℝ |
| Ensemble image | [0 ; +∞[ |
| Définition par morceaux | |x| = x si x ≥ 0 ; |x| = −x si x < 0 |
| Sens de variation | Décroissante sur ]−∞;0], croissante sur [0;+∞[ |
| Minimum | f(0) = 0 (minimum global) |
| Dérivée | f'(x) = 1 si x > 0 ; f'(x) = −1 si x < 0 ; non dérivable en 0 |
| Parité | Paire — f(−x) = |−x| = |x| = f(x) |
| Représentation | Angle en V, sommet en O(0;0) |
📘 Propriétés algébriques de |x| :
|x| ≥ 0 ; |x| = 0 ⟺ x = 0 ; |−x| = |x| ; |xy| = |x|·|y|
|x+y| ≤ |x| + |y| (inégalité triangulaire)
|x| = √(x²)
|x| ≥ 0 ; |x| = 0 ⟺ x = 0 ; |−x| = |x| ; |xy| = |x|·|y|
|x+y| ≤ |x| + |y| (inégalité triangulaire)
|x| = √(x²)
📝 Résolution d'équations et inéquations avec |x|
|x − 3| = 5 :
x − 3 = 5 → x = 8 OU x − 3 = −5 → x = −2. Solutions : .
|2x + 1| ≤ 3 :
−3 ≤ 2x + 1 ≤ 3 → −4 ≤ 2x ≤ 2 → −2 ≤ x ≤ 1. Solution : [−2 ; 1].
|x| < a (a > 0) ⟺ −a < x < a
|x| > a (a > 0) ⟺ x < −a ou x > a
Section 09
Tableau récapitulatif des 7 fonctions
| Fonction | Domaine | Variations | Dérivée | Parité |
|---|---|---|---|---|
| f(x) = k | ℝ | Constante | 0 | Paire |
| f(x) = x | ℝ | ↗ sur ℝ | 1 | Impaire |
| f(x) = x² | ℝ | ↘ sur ]−∞;0] puis ↗ sur [0;+∞[ | 2x | Paire |
| f(x) = x³ | ℝ | ↗ sur ℝ (pt inflexion en O) | 3x² | Impaire |
| f(x) = 1/x | ℝ* | ↘ sur ]−∞;0[ et ]0;+∞[ | −1/x² | Impaire |
| f(x) = √x | [0;+∞[ | ↗ sur [0;+∞[ | 1/(2√x) | Ni paire ni impaire |
| f(x) = |x| | ℝ | ↘ sur ]−∞;0] puis ↗ sur [0;+∞[ | ±1 (non dérivable en 0) | Paire |
🔵 Fonctions paires (symétrie Oy)
f(−x) = f(x)
x², |x|, constante
f(−x) = f(x)
x², |x|, constante
🟣 Fonctions impaires (symétrie O)
f(−x) = −f(x)
x, x³, 1/x
f(−x) = −f(x)
x, x³, 1/x
📈 Croissantes sur ℝ (ou leur domaine)
x, x³, √x
x, x³, √x
📉 Non monotones (changement de sens)
x², |x| (minimum en 0)
1/x (décroissante par branches)
x², |x| (minimum en 0)
1/x (décroissante par branches)
Section 10
Exercices types bac
📝 Exercice 1 — domaine de définition
Déterminer Df pour f(x) = √(3x − 6) + 1/(x − 5).
Condition 1 : 3x − 6 ≥ 0 → x ≥ 2.
Condition 2 : x − 5 ≠ 0 → x ≠ 5.
Df = [2 ; 5[ ∪ ]5 ; +∞[.
📝 Exercice 2 — signe d'une expression
Étudier le signe de f(x) = x² − 4 = (x−2)(x+2).
Racines : x = ±2. Comme le coefficient dominant est positif :
f(x) < 0 sur ]−2 ; 2[ ; f(x) = 0 en ±2 ; f(x) > 0 sur ]−∞;−2[ ∪ ]2;+∞[.
📝 Exercice 3 — composition de fonctions de référence
f(x) = √(x² − 1). Déterminer Df et étudier les variations.
Condition : x² − 1 ≥ 0 → (x−1)(x+1) ≥ 0 → x ≤ −1 ou x ≥ 1.
Df = ]−∞ ; −1] ∪ [1 ; +∞[.
f'(x) = (2x)/(2√(x²−1)) = x/√(x²−1).
Pour x ≥ 1 : f'(x) = x/√(x²−1) > 0 → f croissante sur [1 ; +∞[.
Pour x ≤ −1 : f'(x) = x/√(x²−1) < 0 → f décroissante sur ]−∞ ; −1].
📝 Exercice 4 — résoudre une équation avec valeur absolue
Résoudre |2x − 3| = |x + 1|.
Cas 1 : 2x − 3 = x + 1 → x = 4.
Cas 2 : 2x − 3 = −(x + 1) → 2x − 3 = −x − 1 → 3x = 2 → x = 2/3.
Solutions : x = 4 ou x = 2/3.
Section 11
Questions fréquentes
Pourquoi √(x²) = |x| et non x ?
La racine carrée renvoie toujours un résultat positif ou nul. Si x = −3, alors x² = 9 et √9 = 3 = |−3|, pas −3. Donc √(x²) = |x| pour tout réel x. L'égalité √(x²) = x n'est vraie que si x ≥ 0. Cette erreur est très fréquente : toujours vérifier le signe avant de simplifier une racine carrée d'un carré.
Comment retenir les dérivées des fonctions de référence ?
Un moyen mnémotechnique : les dérivées suivent un « pattern » régulier. Pour les puissances : (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹. Donc (x²)' = 2x¹ = 2x, (x³)' = 3x², (x¹)' = 1. Pour 1/x = x⁻¹ : (x⁻¹)' = −1·x⁻² = −1/x². Pour √x = x^(1/2) : (x^(1/2))' = (1/2)x^(−1/2) = 1/(2√x). Ces formules sont toutes des cas particuliers de la règle (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹.
Quelle est la différence entre une fonction paire et impaire ?
Une fonction paire vérifie f(−x) = f(x) pour tout x : sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (Oy). Exemples : x², |x|. Une fonction impaire vérifie f(−x) = −f(x) : sa courbe est symétrique par rapport à l'origine O. Exemples : x, x³, 1/x. La plupart des fonctions ne sont ni paires ni impaires. La parité simplifie les études de fonctions : on peut se limiter à x ≥ 0 et compléter par symétrie.
Pourquoi la fonction 1/x est-elle décroissante sur ]−∞;0[ et ]0;+∞[ sans être décroissante sur ℝ* ?
Une fonction est décroissante sur un intervalle I si pour tous x₁ < x₂ dans I, f(x₁) > f(x₂). Pour 1/x, si on prend x₁ = −1 ∈ ]−∞;0[ et x₂ = 1 ∈ ]0;+∞[, alors x₁ < x₂ mais f(x₁) = −1 < 1 = f(x₂). Donc la croissance est dans le mauvais sens sur l'union des deux intervalles — ce n'est pas monotone sur ℝ*. Il faut impérativement préciser l'intervalle : « décroissante sur ]−∞;0[ » et « décroissante sur ]0;+∞[« .
Quelle différence entre f(x) = x² et f(x) = x³ dans leurs tableaux de variations ?
x² admet un minimum en x = 0 (f(0) = 0) : sa dérivée 2x change de signe (négatif pour x < 0, positif pour x > 0), ce qui traduit un extremum. x³ est strictement croissante sur tout ℝ : sa dérivée 3x² s'annule en 0 sans changer de signe (toujours positive). En 0, x³ a un point d'inflexion (la courbe change de courbure) mais pas d'extremum. Graphiquement : x² est une parabole en U avec un creux, x³ est une courbe en S toujours montante.
📚 Autres cours de maths lycée
🏠 Hub Maths Lycée
∂ Dérivées
📐 Second degré
e Exponentielle
㏑ Logarithme
♾️ Limites
📏 Fonctions affines
📋 Formulaire maths lycée
🏫 Hub Lycée
📱 Bientôt : Révisez toutes les fonctions de référence en mode flashcard avec l'application cours-et-fiches !