Probabilités Conditionnelles : Cours Complet 1ère Spé Maths

Première spécialité maths — P(A|B), arbre, probabilités totales, indépendance, Bayes

1ère

Niveau

Spé maths

Matière

Sections

2026

Programme

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📋 Formulaire maths

📋 Sommaire

1. Rappels — événements et probabilités
8. Formule de Bayes
2. Probabilité conditionnelle P(A|B)
9. Tableau de contingence
3. Formule des probabilités composées
10. Variables aléatoires discrètes
4. Arbre de probabilités
11. Espérance et variance
5. Formule des probabilités totales
12. Exercices types bac
6. Indépendance de deux événements
13. Questions fréquentes
7. Récapitulatif des formules clés
14. Erreurs fréquentes

Section 01

Rappels — événements et probabilités

Univers Ω : Ensemble de tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire.
Événement : Sous-ensemble de Ω. On note P(A) la probabilité de l'événement A, avec 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Notation	Signification	Propriété
Ā	Contraire de A (« non A »)	P(Ā) = 1 − P(A)
A ∩ B	A et B (intersection)	P(A ∩ B) = P(A)·P(B\|A)
A ∪ B	A ou B (union)	P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
A et B incompatibles	A ∩ B = ∅	P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

📘 Partition de Ω : Des événements B₁, B₂, …, Bₙ forment une partition de Ω s'ils sont deux à deux incompatibles et que leur union est Ω. C'est la base de la formule des probabilités totales.

Section 02

Probabilité conditionnelle P(A|B)

Définition : La probabilité conditionnelle de A sachant B (avec P(B) > 0) est la probabilité que A se réalise en supposant que B est déjà réalisé :

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

📘 Interprétation : On « restreint » l'univers à B, et on calcule la part de cet univers restreint occupée par A. P(A|B) ≠ P(B|A) en général — confondre les deux est une erreur classique.

📝 Exemple — urne de billes

Une urne contient 3 billes rouges (R) et 5 billes bleues (B), soit 8 billes au total. On tire une bille.
P(R) = 3/8 ; P(B) = 5/8.

On tire maintenant deux billes sans remise. Soit A = « la 2e bille est rouge », B = « la 1ère bille est rouge ».
P(B) = 3/8. P(A ∩ B) = (3/8)×(2/7) = 6/56 = 3/28.
P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = (3/28) / (3/8) = (3/28)×(8/3) = 2/7.
Interprétation : si la 1ère bille est rouge, il reste 2 rouges sur 7 → P(A|B) = 2/7. ✓

📝 Exemple — tableau de données

Dans une classe de 30 élèves : 18 font du sport, 12 font de la musique, 6 font les deux.
Soit S = « fait du sport », M = « fait de la musique ».
P(S ∩ M) = 6/30 = 1/5. P(M) = 12/30 = 2/5.
P(S|M) = P(S ∩ M) / P(M) = (1/5) / (2/5) = 1/2.
Parmi les musiciens, la moitié font aussi du sport.

Section 03

Formule des probabilités composées

En réarrangeant la définition de P(A|B), on obtient la formule de la probabilité d'une intersection :

P(A ∩ B) = P(B) × P(A|B) = P(A) × P(B|A)

Cette formule se généralise à trois événements :

P(A ∩ B ∩ C) = P(A) × P(B|A) × P(C|A ∩ B)

✅ Usage : C'est la formule qu'on applique le long des branches d'un arbre de probabilités. La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches qui le composent.

Section 04

Arbre de probabilités

Règles de l'arbre :
1. On place les probabilités sur les branches.
2. La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut 1.
3. La probabilité d'un chemin = produit des probabilités de ses branches.
4. La probabilité d'un événement = somme des probabilités de tous les chemins menant à cet événement.

📝 Exemple — test médical (2 tirages sans remise)

Une boîte contient 4 boules défectueuses (D) et 6 boules conformes (C), soit 10 au total.
On tire deux boules successivement sans remise.

4/10 ──D──┬── 3/9 ──D── P(D∩D) = 4/10 × 3/9 = 12/90
│
└── 6/9 ──C── P(D∩C) = 4/10 × 6/9 = 24/90

6/10 ──C──┬── 4/9 ──D── P(C∩D) = 6/10 × 4/9 = 24/90
│
└── 5/9 ──C── P(C∩C) = 6/10 × 5/9 = 30/90

Vérification : 12 + 24 + 24 + 30 = 90/90 = 1 ✓

P(« au moins une D ») = P(DD) + P(DC) + P(CD) = 12/90 + 24/90 + 24/90 = 60/90 = 2/3.
Ou : 1 − P(CC) = 1 − 30/90 = 60/90 = 2/3. ✓

Section 05

Formule des probabilités totales

Soient B₁, B₂, …, Bₙ une partition de Ω (événements deux à deux incompatibles, de probabilités toutes non nulles, dont l'union est Ω). Alors pour tout événement A :

P(A) = P(A ∩ B₁) + P(A ∩ B₂) + … + P(A ∩ Bₙ)
= P(B₁)·P(A|B₁) + P(B₂)·P(A|B₂) + … + P(Bₙ)·P(A|Bₙ)

📘 En pratique : Dans la plupart des exercices, la partition est (deux événements contraires). La formule devient alors :
P(A) = P(B)·P(A|B) + P(B̄)·P(A|B̄)

📝 Exemple — deux usines

Une entreprise s'approvisionne en pièces auprès de deux usines :
— Usine 1 (U₁) : fournit 60 % des pièces, taux de défauts = 2 %
— Usine 2 (U₂) : fournit 40 % des pièces, taux de défauts = 5 %

Soit D = « la pièce est défectueuse ». P(U₁) = 0,6 ; P(U₂) = 0,4.
P(D|U₁) = 0,02 ; P(D|U₂) = 0,05.

Formule des probabilités totales :
P(D) = P(U₁)·P(D|U₁) + P(U₂)·P(D|U₂)
= 0,6 × 0,02 + 0,4 × 0,05
= 0,012 + 0,020 = 0,032

La probabilité qu'une pièce prise au hasard soit défectueuse est de 3,2 %.

Section 06

Indépendance de deux événements

Définition : Deux événements A et B sont indépendants si la réalisation de l'un n'influence pas la probabilité de l'autre :

A et B indépendants ⟺ P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

📘 Équivalences : Si P(B) > 0, A et B indépendants ⟺ P(A|B) = P(A). Si P(A) > 0, aussi ⟺ P(B|A) = P(B). L'indépendance est symétrique.

📝 Exemple — dé et pièce

On lance un dé équilibré et une pièce équilibrée.
A = « le dé donne 6 » : P(A) = 1/6.
B = « la pièce donne pile » : P(B) = 1/2.
P(A ∩ B) = 1/12 = (1/6)×(1/2) = P(A)×P(B).
A et B sont indépendants (logique : les deux expériences n'ont aucun lien).

📝 Exemple — test d'indépendance

Dans une classe : P(S) = 0,6 (sport), P(M) = 0,4 (musique), P(S ∩ M) = 0,25.
P(S)×P(M) = 0,6 × 0,4 = 0,24 ≠ 0,25.
S et M ne sont pas indépendants (faire du sport influence légèrement la probabilité de faire de la musique).

⚠️ Indépendance ≠ incompatibilité ! Deux événements incompatibles (A ∩ B = ∅) ne sont jamais indépendants (sauf si l'un d'eux a une probabilité nulle), car la réalisation de l'un empêche l'autre — ce qui est une forte dépendance.

Section 07

Récapitulatif des formules clés

Formule	Expression	Usage
Probabilité conditionnelle	P(A\|B) = P(A ∩ B) / P(B)	Calculer P(A\|B) à partir d'un tableau ou d'une partition
Probabilités composées	P(A ∩ B) = P(B) · P(A\|B)	Multiplier les branches d'un arbre
Probabilités totales	P(A) = P(B)·P(A\|B) + P(B̄)·P(A\|B̄)	Calculer P(A) via une partition
Formule de Bayes	P(B\|A) = P(B)·P(A\|B) / P(A)	« Remonter » dans l'arbre
Indépendance	P(A ∩ B) = P(A) · P(B)	Tester ou supposer l'indépendance
Événements contraires	P(Ā) = 1 − P(A)	Calculer le complément

Section 08

Formule de Bayes

Formule de Bayes : Avec B₁, B₂, …, Bₙ une partition de Ω et A un événement de probabilité non nulle :

P(Bᵢ|A) = P(Bᵢ) · P(A|Bᵢ) / P(A)

Dans le cas d'une partition à deux éléments :

P(B|A) = P(B) · P(A|B) / [P(B)·P(A|B) + P(B̄)·P(A|B̄)]

📘 Interprétation : Bayes permet de « remonter » dans l'arbre — on connaît A (le résultat observé) et on veut savoir quelle « cause » (B ou B̄) est la plus probable. C'est le raisonnement diagnostique : sachant qu'un test est positif, quelle est la probabilité d'être réellement malade ?

📝 Exemple — reprendre l'exemple des deux usines

On a : P(U₁) = 0,6 ; P(U₂) = 0,4 ; P(D|U₁) = 0,02 ; P(D|U₂) = 0,05 ; P(D) = 0,032.

Une pièce est défectueuse. Quelle est la probabilité qu'elle vienne de l'usine 1 ?

P(U₁|D) = P(U₁) · P(D|U₁) / P(D)
= (0,6 × 0,02) / 0,032
= 0,012 / 0,032 = 0,375

Même si U₁ fournit 60 % des pièces, seulement 37,5 % des pièces défectueuses viennent de U₁ (car son taux de défauts est plus faible).

📝 Exemple — test médical (classique bac)

Prévalence d'une maladie M : P(M) = 0,01 (1 % de la population).
Sensibilité du test T⁺ : P(T⁺|M) = 0,95 (95 % des malades testent positif).
Spécificité : P(T⁻|M̄) = 0,90 → P(T⁺|M̄) = 0,10.

P(T⁺) = P(M)·P(T⁺|M) + P(M̄)·P(T⁺|M̄)
= 0,01×0,95 + 0,99×0,10 = 0,0095 + 0,099 = 0,1085

P(M|T⁺) = P(M)·P(T⁺|M) / P(T⁺) = 0,0095 / 0,1085 ≈ 0,0876 ≈ 8,8 %

Résultat contre-intuitif : même avec un test positif, seulement ~9 % des personnes sont réellement malades ! C'est l'effet de la faible prévalence de la maladie.

Section 09

Tableau de contingence

Quand les données sont présentées dans un tableau, on peut calculer toutes les probabilités directement en lisant les effectifs (ou fréquences).

📝 Exemple — enquête lycéens

Dans un lycée de 200 élèves, on relève s'ils font du sport (S) et s'ils ont la moyenne en maths (M) :

	Maths ≥ 10 (M)	Maths < 10 (M̄)	Total
Sport (S)	80	40	120
Pas sport (S̄)	30	50	80
Total	110	90	200

P(S) = 120/200 = 0,6 ; P(M) = 110/200 = 0,55
P(S ∩ M) = 80/200 = 0,4
P(M|S) = 80/120 = 2/3 ≈ 0,667 (parmi les sportifs, 2/3 ont la moyenne)
P(M|S̄) = 30/80 = 3/8 = 0,375 (parmi les non-sportifs, 37,5 % ont la moyenne)

Test d'indépendance : P(S)×P(M) = 0,6×0,55 = 0,33 ≠ P(S∩M) = 0,4.
S et M ne sont pas indépendants — les sportifs ont plus souvent la moyenne en maths.

Section 10

Variables aléatoires discrètes

Variable aléatoire (v.a.) discrète : Une variable aléatoire X est une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue de l'expérience aléatoire. Elle est dite discrète si elle ne prend qu'un nombre fini (ou dénombrable) de valeurs.

📘 Loi de probabilité : La loi de X est le tableau donnant, pour chaque valeur xᵢ prise par X, la probabilité P(X = xᵢ). La somme de toutes ces probabilités vaut 1.

📝 Exemple — nombre de faces sur deux dés

On lance deux dés équilibrés et X = « nombre de 6 obtenus ».
X peut prendre les valeurs 0, 1 ou 2.
P(X = 0) = (5/6)² = 25/36
P(X = 1) = 2 × (1/6) × (5/6) = 10/36
P(X = 2) = (1/6)² = 1/36
Vérification : 25 + 10 + 1 = 36/36 = 1 ✓

X	0	1	2
P(X = xᵢ)	25/36	10/36	1/36

Section 11

Espérance et variance

E(X) = Σ xᵢ · P(X = xᵢ)

V(X) = Σ xᵢ² · P(X = xᵢ) − [E(X)]² = E(X²) − [E(X)]²

σ(X) = √V(X) (écart-type)

📘 Interprétations :
— E(X) est la valeur moyenne que prend X sur un grand nombre d'expériences (loi des grands nombres).
— V(X) mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne.
— σ(X) est dans la même unité que X (contrairement à V qui est au carré).

📝 Exemple — reprise de l'exemple des deux dés

E(X) = 0×(25/36) + 1×(10/36) + 2×(1/36) = (0 + 10 + 2)/36 = 12/36 = 1/3.
E(X²) = 0²×(25/36) + 1²×(10/36) + 2²×(1/36) = (0 + 10 + 4)/36 = 14/36 = 7/18.
V(X) = 7/18 − (1/3)² = 7/18 − 1/9 = 7/18 − 2/18 = 5/18.
σ(X) = √(5/18) ≈ 0,527.

✅ Propriétés linéaires : E(aX + b) = a·E(X) + b ; V(aX + b) = a²·V(X) ; σ(aX + b) = |a|·σ(X).

Section 12

Exercices types bac

📝 Exercice 1 — arbre et probabilités totales

Un sac contient 3 boules rouges et 2 boules vertes. On tire une boule, on note sa couleur, on la remet si elle est verte, on ne la remet pas si elle est rouge. Puis on tire une seconde boule.
Soit R₁ = « 1ère rouge », V₁ = « 1ère verte », R₂ = « 2ème rouge ».

P(R₁) = 3/5 ; P(V₁) = 2/5.
Si R₁ : sac = 2R + 2V → P(R₂|R₁) = 2/4 = 1/2.
Si V₁ : sac = 3R + 2V (remise) → P(R₂|V₁) = 3/5.

P(R₂) = P(R₁)·P(R₂|R₁) + P(V₁)·P(R₂|V₁)
= (3/5)·(1/2) + (2/5)·(3/5) = 3/10 + 6/25 = 15/50 + 12/50 = 27/50.

📝 Exercice 2 — Bayes appliqué

Reprise exercice 1 : sachant que la 2ème boule est rouge, calculer P(R₁|R₂).

P(R₁|R₂) = P(R₁)·P(R₂|R₁) / P(R₂) = (3/5 × 1/2) / (27/50)
= (3/10) / (27/50) = (3/10) × (50/27) = 150/270 = 5/9.

📝 Exercice 3 — loi de probabilité et espérance

Un joueur gagne 3 € s'il tire une boule rouge dans une urne (4R, 6N), perd 1 € sinon. Soit G le gain algébrique.
P(G = 3) = 4/10 = 2/5. P(G = −1) = 6/10 = 3/5.
E(G) = 3×(2/5) + (−1)×(3/5) = 6/5 − 3/5 = 3/5 = 0,6 €.
Le jeu est favorable au joueur (espérance > 0).

📝 Exercice 4 — indépendance dans un tableau

Dans un groupe de 100 personnes : 60 ont les yeux clairs (C), 40 les ont foncés (F). 45 sont blondes (B), 55 brunes (Br). On sait que 27 ont les yeux clairs ET sont blondes.
Test : P(C)×P(B) = 0,60×0,45 = 0,27. P(C∩B) = 27/100 = 0,27.
C et B sont indépendants dans cet échantillon.

Section 13

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre P(A|B) et P(B|A) ?

Ce sont deux quantités généralement différentes. P(A|B) est la probabilité de A sachant que B est réalisé — on suppose B acquis et on mesure la part de A dans cet univers restreint. P(B|A) fait l'inverse : on suppose A acquis. La formule de Bayes permet de passer de l'un à l'autre. Confondre les deux est une erreur fréquente appelée « sophisme du procureur » — par exemple, confondre P(« test positif » | « malade ») avec P(« malade » | « test positif »).

Comment construire correctement un arbre de probabilités ?

Étape 1 : identifier l'ordre des épreuves (ce qui se passe en premier, en second…). Étape 2 : à chaque nœud, lister tous les résultats possibles et noter les probabilités sur les branches (pas aux nœuds). Vérifier que la somme des branches issues d'un même nœud vaut 1. Étape 3 : calculer la probabilité de chaque feuille (bout de chemin) en multipliant les branches. Vérifier que la somme de toutes les feuilles vaut 1. Étape 4 : répondre aux questions en additionnant les feuilles correspondantes.

Comment savoir si deux événements sont indépendants ?

Il faut vérifier si P(A ∩ B) = P(A) × P(B). Si oui, A et B sont indépendants. On peut aussi vérifier P(A|B) = P(A) ou P(B|A) = P(B). Dans un exercice, l'indépendance est soit donnée (on peut alors multiplier directement), soit à tester numériquement. Attention : l'indépendance est une propriété mathématique qui doit être vérifiée, pas déduite « intuitivement » du contexte.

Quand utilise-t-on la formule des probabilités totales ?

On l'utilise quand on veut calculer P(A) et qu'on dispose d'une partition de l'univers (B et B̄, ou B₁, B₂, …, Bₙ) telle que les probabilités conditionnelles P(A|Bᵢ) sont connues mais P(A) directe ne l'est pas. C'est typiquement le cas dans les problèmes à « deux étapes » : d'abord on choisit une urne (ou une usine, une population…), puis on tire un objet. On « décompose » P(A) en passant par toutes les causes possibles.

Que signifie l'espérance d'une variable aléatoire ?

L'espérance E(X) est la valeur moyenne de X sur un très grand nombre de répétitions de l'expérience (loi des grands nombres). Si on répète l'expérience 1 000 fois, la moyenne observée sera proche de E(X). Dans les jeux d'argent : si E(gain) > 0, le jeu est favorable au joueur ; si E(gain) < 0, il est défavorable ; si E(gain) = 0, il est équitable.

Section 14

Erreurs fréquentes

Erreur	Correct
Confondre P(A\|B) et P(B\|A)	Ce sont deux valeurs différentes en général — utiliser Bayes pour passer de l'un à l'autre
Confondre « indépendant » et « incompatible »	Incompatibles : A ∩ B = ∅ (ne peuvent pas coexister). Indépendants : P(A∩B) = P(A)P(B). Ces notions sont quasi-opposées
Oublier de vérifier que les branches d'un nœud somment à 1	Toujours vérifier : P(B\|A) + P(B̄\|A) = 1 à chaque nœud
Additionner les probabilités le long d'un chemin	On MULTIPLIE les probabilités sur un chemin, et on ADDITIONNE les chemins menant au même événement
Appliquer les probabilités totales avec des événements qui ne partitionnent pas Ω	Vérifier que forment bien une partition : deux à deux incompatibles ET union = Ω
Calculer V(X) = E(X²) sans retrancher [E(X)]²	V(X) = E(X²) − [E(X)]² — ne pas oublier de soustraire le carré de l'espérance
Sur un tirage sans remise, utiliser les mêmes probabilités à chaque étape	Les probabilités changent à chaque tirage sans remise — actualiser les effectifs restants

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