Vecteurs : Cours Complet Maths 1ère

1ère spécialité maths — définition, opérations, colinéarité, produit scalaire, droites

1ère

Niveau

Spé maths

Matière

Sections

2026

Programme

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📋 Sommaire

1. Définition d’un vecteur
8. Milieu et barycentre
2. Égalité de vecteurs
9. Repère et coordonnées
3. Opérations sur les vecteurs
10. Produit scalaire
4. Vecteur nul et opposé
11. Applications du produit scalaire
5. Relation de Chasles
12. Exercices types bac
6. Colinéarité
13. Questions fréquentes
7. Vecteurs et droites

Section 01

Définition d’un vecteur

Définition : Un vecteur est un objet mathématique caractérisé par trois éléments :
— une direction (l’axe sur lequel il est orienté)
— un sens (vers où il pointe sur cet axe)
— une norme (longueur, notée ‖u‖)

📘 Notation : Le vecteur allant du point A au point B se note AB. Son point de départ est A (origine) et son point d’arrivée est B (extrémité). On peut aussi noter un vecteur par une lettre minuscule : u, v, w.

📝 Vocabulaire essentiel

Terme	Définition	Exemple
Norme	Longueur du vecteur	‖AB‖ = distance AB
Direction	Droite parallèle au vecteur	Horizontal, vertical, 45°…
Sens	Orientation sur la droite directrice	De gauche à droite vs droite à gauche
Vecteur unitaire	Vecteur de norme 1	‖u‖ = 1
Vecteurs équipollents	Même direction, sens, norme	AB = CD

Section 02

Égalité de vecteurs

Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont la même direction, le même sens et la même norme. En particulier, un vecteur n’a pas de point d’application fixe — on peut le translater librement dans le plan.

AB = CD ⟺ ABDC est un parallélogramme (ou A=C et B=D)

📝 Exemples

Dans un parallélogramme ABCD (sens direct), AB = DC et AD = BC.

Si A(1;2), B(4;5), C(3;1), D(6;4) : AB = (3;3) et CD = (3;3) → AB = CD.

Section 03

Opérations sur les vecteurs

Addition (règle du parallélogramme ou de la chaîne)

u + v : règle du parallélogramme AB + AC = AD (diagonale)

Multiplication par un scalaire

k · u : même direction, norme |k|·‖u‖, sens conservé si k>0, inversé si k<0

📝 En coordonnées — avec u(x₁;y₁) et v(x₂;y₂)

Opération	Formule	Exemple avec u(2;−1) et v(3;4)
Addition	(x₁+x₂ ; y₁+y₂)	u+v = (5;3)
Soustraction	(x₁−x₂ ; y₁−y₂)	u−v = (−1;−5)
Mult. par k	(kx₁ ; ky₁)	3u = (6;−3)
Norme	√(x₁²+y₁²)	‖u‖ = √(4+1) = √5

✅ Vecteur AB connaissant A(xA;yA) et B(xB;yB) :
AB = (xB−xA ; yB−yA). Toujours : arrivée moins départ.

Section 04

Vecteur nul et vecteur opposé

Vecteur nul : noté 0, de norme 0. AA = 0 pour tout point A. Il est le neutre de l’addition.

Vecteur opposé : −u est le vecteur de même direction, même norme, mais de sens contraire. u + (−u) = 0. On a −AB = BA.

📝 Propriétés algébriques

u + 0 = u    (neutre)
u + (−u) = 0    (opposé)
u + v = v + u    (commutativité)
(u + v) + w = u + (v + w)    (associativité)

Section 05

Relation de Chasles

AB + BC = AC

📘 Généralisation : Pour n’importe quels points A, B, C :
AC = AB + BC
AB = AC + CB = AC − BC
La relation de Chasles permet de « décomposer » un vecteur en passant par un point intermédiaire.

📝 Exemples d’application

Simplifier AB + BC + CD :
= (AB + BC) + CD = AC + CD = AD.

Montrer que AB + CD + BC = AD :
Réordonner : AB + BC + CD = AC + CD = AD ✓.

Exprimer AM en fonction de AB et AC si M est le milieu de BC :
M milieu de BC : BM = (1/2)BC. AM = AB + BM = AB + (1/2)BC = AB + (1/2)(AC−AB) = (1/2)(AB+AC).

Section 06

Colinéarité de vecteurs

Définition : Deux vecteurs u et v sont colinéaires (ou parallèles) si l’un est un multiple scalaire de l’autre : il existe k ∈ ℝ tel que u = k·v (ou v = 0).

u(a;b) et v(c;d) colinéaires ⟺ ad − bc = 0

📘 La valeur ad − bc s’appelle le déterminant de (u, v). On note det(u,v) = ad − bc. Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul.

📝 Applications de la colinéarité

Trois points A, B, C sont alignés ⟺ AB et AC sont colinéaires.

A(1;2), B(3;6), C(5;10). AB(2;4), AC(4;8).
det = 2×8 − 4×4 = 16 − 16 = 0 → A, B, C sont alignés.

A(0;1), B(2;3), C(1;4). AB(2;2), AC(1;3).
det = 2×3 − 2×1 = 6 − 2 = 4 ≠ 0 → A, B, C non alignés.

Trouver k tel que u(2;k) et v(3;6) soient colinéaires :
2×6 − k×3 = 0 → 12 = 3k → k = 4.

Section 07

Vecteurs et droites

Vecteur directeur d’une droite

Vecteur directeur : Un vecteur u est directeur de la droite D s’il est parallèle à D (non nul). Il donne la direction de la droite. Si A et B sont deux points de D, alors AB est un vecteur directeur de D.

Equation de droite et vecteur normal

Vecteur normal : Un vecteur n(a;b) est normal à la droite D s’il est perpendiculaire à tout vecteur directeur de D.
Si u(l;m) est directeur, alors n(m;−l) ou n(−m;l) est normal.

Droite D passant par A(x₀;y₀) de vecteur normal n(a;b) : a(x−x₀) + b(y−y₀) = 0 soit ax + by + c = 0

📝 Exemples

Droite passant par A(2;1) et B(5;3) :
Vecteur directeur : AB(3;2). Vecteur normal : n(2;−3).
Équation : 2(x−2) − 3(y−1) = 0 → 2x − 3y − 1 = 0.

Droite y = 3x + 1 : vecteur directeur (1;3), vecteur normal (3;−1).

Droite passant par A(0;2) de vecteur directeur u(4;−1) :
Vecteur normal : (1;4). Équation : 1(x−0) + 4(y−2) = 0 → x + 4y − 8 = 0.

Section 08

Milieu et barycentre

Milieu M de [AB] : OM = (OA + OB) / 2 coordonnées : M = ((xA+xB)/2 ; (yA+yB)/2)

📘 Caractérisation vectorielle : M est le milieu de [AB] ⟺ MA + MB = 0 ⟺ AM = MB.

Point de division — barycentre de deux points

Barycentre G de (A,a) et (B,b) : G est le point tel que a·GA + b·GB = 0.
Coordonnées : G = ((axA + bxB)/(a+b) ; (ayA + byB)/(a+b)) avec a+b ≠ 0.

📝 Exemples

Milieu de A(1;4) et B(5;2) : M = (3;3).

Point G barycentre de (A,2) et (B,3) avec A(0;0), B(5;5) :
G = ((2×0+3×5)/5 ; (2×0+3×5)/5) = (3;3).

Médiane d’un triangle : Si A(0;0), B(6;0), C(0;6), le centre de gravité G = ((0+6+0)/3 ; (0+0+6)/3) = (2;2).

Section 09

Repère et coordonnées

Repère orthonormé (O ; i, j) : O est l’origine, i(1;0) et j(0;1) sont les vecteurs de base unitaires perpendiculaires. Tout vecteur u s’écrit u = x·i + y·j = (x;y).

Objet	Formule	Exemple
Vecteur AB	(xB−xA ; yB−yA)	A(1;3), B(4;7) → AB(3;4)
Norme	√(x²+y²)	‖AB‖ = √(9+16) = 5
Milieu de AB	((xA+xB)/2 ; (yA+yB)/2)	M(2,5 ; 5)
Distance AB	‖AB‖ = √((xB−xA)²+(yB−yA)²)	AB = 5
Vecteur unitaire	u/‖u‖	(3/5 ; 4/5)

Section 10

Produit scalaire

u·v = x₁x₂ + y₁y₂ (formule algébrique)

u·v = ‖u‖·‖v‖·cos(θ) (formule géométrique, θ = angle entre les vecteurs)

📘 Troisième formule (polarisation) :
u·v = (1/2)(‖u+v‖² − ‖u‖² − ‖v‖²) = (1/2)(‖u‖² + ‖v‖² − ‖u−v‖²)

📝 Exemples

u(3;4) et v(2;−1) : u·v = 3×2 + 4×(−1) = 6−4 = 2.

Angle entre u(1;0) et v(1;1) :
u·v = 1. ‖u‖=1, ‖v‖=√2. cos θ = 1/√2 → θ = 45°.

Dans un triangle ABC rectangle en B, BA·BC :
θ = 90° → cos 90° = 0 → BA·BC = 0.

Section 11

Applications du produit scalaire

✅ Perpendicularité : u ⊥ v ⟺ u·v = 0 ⟺ x₁x₂ + y₁y₂ = 0

✅ Calcul d’angle : cos(θ) = (u·v) / (‖u‖·‖v‖)

✅ Norme au carré : ‖u‖² = u·u = x² + y²

📝 Identités remarquables vectorielles

‖u+v‖² = ‖u‖² + 2u·v + ‖v‖²
‖u−v‖² = ‖u‖² − 2u·v + ‖v‖²
(u+v)·(u−v) = ‖u‖² − ‖v‖²

Théorème d’Al-Kashi (généralisation de Pythagore) :
BC² = AB² + AC² − 2·AB·AC·cos(Â)
C’est une application directe du produit scalaire : BC·BC = (BA+AC)².

📝 Démontrer qu’un triangle est rectangle

A(0;0), B(4;0), C(4;3). Montrer ABC rectangle en B.
BA = (−4;0), BC = (0;3).
BA·BC = (−4)×0 + 0×3 = 0 → BA ⊥ BC → triangle rectangle en B. ✓

Section 12

Exercices types bac

📝 Exercice 1 — alignement de points

A(−1;2), B(1;6), C(3;10). Montrer que A, B, C sont alignés.
AB(2;4), AC(4;8). det = 2×8 − 4×4 = 0 → A, B, C alignés. ✓
On remarque : AC = 2·AB, donc les vecteurs sont bien colinéaires.

📝 Exercice 2 — équation de droite

Trouver l’équation de la droite D perpendiculaire à y = 2x + 1 passant par A(3;1).
Vecteur directeur de y=2x+1 : (1;2). Il est normal à D → n(1;2) est le vecteur normal de y=2x+1, donc le vecteur directeur de D.
Vecteur normal à D : (2;−1).
Équation de D : 2(x−3) − 1(y−1) = 0 → 2x − y − 5 = 0.

📝 Exercice 3 — produit scalaire et angle

Triangle ABC avec A(0;0), B(6;0), C(2;4). Calculer l’angle en A.
AB(6;0), AC(2;4). AB·AC = 12+0 = 12.
‖AB‖=6, ‖AC‖=√(4+16)=√20=2√5.
cos(Â) = 12/(6×2√5) = 12/(12√5) = 1/√5 → Â = arccos(1/√5) ≈ 63,4°.

📝 Exercice 4 — démonstration géométrique

Montrer que dans tout triangle ABC, la médiane issue de A est égale à la demi-somme vectorielle (1/2)(AB+AC).
M milieu de BC : AM = AB + BM = AB + (1/2)BC = AB + (1/2)(BA+AC)
= AB + (1/2)(−AB+AC) = AB − (1/2)AB + (1/2)AC = (1/2)(AB+AC). ✓

Section 13

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre un vecteur et un segment ?

Un segment [AB] est un objet géométrique fixe dans le plan — il a deux extrémités bien précises et une longueur. Un vecteur est un objet libre : il représente un déplacement (une translation) caractérisé par sa direction, son sens et sa norme, mais sans position fixe dans le plan. On peut « déplacer » un vecteur sans changer sa nature. Concrètement, le vecteur AB et le vecteur CD sont égaux si ABDC forme un parallélogramme — même si A ≠ C et B ≠ D.

Comment calculer le déterminant de deux vecteurs et à quoi sert-il ?

Le déterminant de u(a;b) et v(c;d) vaut det(u,v) = ad − bc. C’est le produit en croix : on multiplie les composantes en diagonale et on soustrait. Il sert à tester la colinéarité : det = 0 ⟺ les vecteurs sont colinéaires ⟺ les droites qu’ils définissent sont parallèles (ou confondues). En valeur absolue, |det| est aussi l’aire du parallélogramme construit sur les deux vecteurs.

Quand utilise-t-on la relation de Chasles ?

La relation de Chasles sert à simplifier des sommes de vecteurs en « chaîne » : AB + BC = AC. Elle est indispensable dès qu’on doit exprimer un vecteur en passant par des points intermédiaires. On l’utilise pour : décomposer un vecteur en somme, calculer des vecteurs dans un repère, démontrer l’égalité de vecteurs, et exprimer le vecteur d’un milieu ou d’un barycentre. La relation clé à retenir : pour « annuler » un point intermédiaire, les lettres doivent se « toucher » bout à bout.

Quelle est la différence entre vecteur directeur et vecteur normal d’une droite ?

Le vecteur directeur est parallèle à la droite — il donne sa direction. Pour la droite y = ax + b, un vecteur directeur est (1;a). Le vecteur normal est perpendiculaire à la droite — il « sort » de la droite à 90°. Pour la droite y = ax + b (équation ax − y + b = 0), un vecteur normal est (a;−1). Les deux vecteurs sont perpendiculaires entre eux : leur produit scalaire vaut 0. Dans l’équation de droite ax + by + c = 0, le coefficient (a;b) est toujours un vecteur normal.

Comment démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme avec des vecteurs ?

Plusieurs méthodes vectorielles existent. La plus directe : montrer que AB = DC (côtés opposés égaux comme vecteurs). Cela signifie qu’ils ont même direction, même sens et même longueur. Alternativement, montrer que les diagonales se coupent en leur milieu : si M est le milieu de AC et aussi le milieu de BD, alors ABCD est un parallélogramme. En coordonnées : calculer AB et DC et vérifier l’égalité des coordonnées.

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