Vitesse, Distance, Temps et Débits — Tage Mage 🚂
Formules, conversions, vitesse moyenne, rattrapage, trains, robinets et travail collaboratif — tout pour le sous-test Calcul
Les 3 formules fondamentales
| Grandeur | Unité courante | Ce que ça mesure |
|---|---|---|
| Distance (D) | km, m | Longueur du trajet |
| Vitesse (V) | km/h, m/s | Distance parcourue par unité de temps |
| Temps (T) | h, min, s | Durée du trajet |
💡 Mnémotechnique : Pensez au triangle avec D en haut, V et T en bas. Couvrez ce que vous cherchez : D seul en haut → V×T. V seul en bas-gauche → D/T. T seul en bas-droite → D/V.
Conversions d’unités
| km/h | m/s | Contexte |
|---|---|---|
| 36 | 10 | Vélo rapide |
| 72 | 20 | Voiture en ville |
| 90 | 25 | Route nationale |
| 108 | 30 | Autoroute lente |
| 130 | 36,1 | Autoroute |
🚀 Astuce : 36 km/h = 10 m/s. Retenez ce repère et déduisez les autres par proportionnalité. 72 = 2×36 → 20 m/s. 90 = 2,5×36 → 25 m/s.
| Décimal | H:min | Décimal | H:min |
|---|---|---|---|
| 0,25 h | 15 min | 1,5 h | 1h30 |
| 0,50 h | 30 min | 1,75 h | 1h45 |
| 0,75 h | 45 min | 2,25 h | 2h15 |
⚠️ Piège classique : 1h30 ≠ 1,30 h. 1h30 = 1,5 h. Les minutes se convertissent en divisant par 60, pas par 100. 45 min = 45/60 = 0,75 h.
Vitesse moyenne
La vitesse moyenne n’est PAS la moyenne des vitesses.
Exemple : Aller à 60 km/h (120 km) et retour à 40 km/h (120 km).
→ Temps aller = 120/60 = 2h. Temps retour = 120/40 = 3h.
→ Vm = 240 / 5 = 48 km/h (pas 50 km/h !)
Si la distance est la même à l’aller et au retour (vitesses v₁ et v₂) :
Vérification : 2 × 60 × 40 / (60+40) = 4800/100 = 48 km/h ✓
💡 C’est la moyenne harmonique. Elle est toujours inférieure à la moyenne arithmétique. Plus l’écart entre les deux vitesses est grand, plus l’écart entre Vm et la moyenne simple est important.
Rattrapage et croisement
Deux mobiles vont dans le même sens. Le plus rapide rattrape le plus lent.
Exemple : A roule à 90 km/h, B à 60 km/h. A part 30 min après B. Quand A rattrape-t-il B ?
→ Avance de B = 60 × 0,5 = 30 km. Écart de vitesse = 90−60 = 30 km/h.
→ T = 30/30 = 1h après le départ de A (soit 1h30 après le départ de B)
Deux mobiles vont en sens inverse et se rapprochent.
Exemple : Deux villes distantes de 300 km. Train A part à 120 km/h, train B à 80 km/h en sens inverse.
→ T = 300 / (120+80) = 300/200 = 1h30
Problèmes de trains
Le train doit parcourir sa propre longueur pour passer complètement.
Exemple : Train de 200 m à 72 km/h → 72 km/h = 20 m/s → T = 200/20 = 10 secondes
Le train doit parcourir sa longueur + la longueur du tunnel.
Exemple : Train de 150 m, tunnel de 350 m, vitesse 90 km/h = 25 m/s.
→ T = (150+350)/25 = 500/25 = 20 secondes
Exemple : Train A (200 m, 90 km/h) croise Train B (300 m, 72 km/h).
→ V totale = 25 + 20 = 45 m/s. Distance = 200+300 = 500 m.
→ T = 500/45 = 11,1 secondes
Robinets et travail collaboratif
Les problèmes de robinets fonctionnent comme les problèmes de vitesse, mais avec des débits (volume par unité de temps).
Si un robinet remplit un bassin en T heures, son débit est 1/T bassin par heure.
Problème : Le robinet A remplit un bassin en 6h. Le robinet B en 3h. Combien de temps ensemble ?
→ Débit A = 1/6 par heure. Débit B = 1/3 par heure.
→ Débit total = 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2 par heure.
→ Temps = 1 / (1/2) = 2 heures
Problème : Un robinet remplit en 4h. Une fuite vide le bassin en 12h. Combien de temps pour remplir ?
→ Débit net = 1/4 − 1/12 = 3/12 − 1/12 = 2/12 = 1/6 par heure.
→ Temps = 1 / (1/6) = 6 heures
Même logique que les robinets. Si un ouvrier fait un travail en T jours, son « débit » est 1/T du travail par jour.
Exemple : Alice termine un projet en 10 jours. Bob en 15 jours. Ensemble ?
→ 1/T = 1/10 + 1/15 = 3/30 + 2/30 = 5/30 = 1/6 → T = 6 jours
🚀 Formule rapide pour 2 acteurs : T = (T₁ × T₂) / (T₁ + T₂). Ici : (10×15)/(10+15) = 150/25 = 6 ✓
Questions fréquentes
Tage Mage — Vitesse, distance, temps et débits
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