Probabilités et Dénombrement — Tage Mage 🎲
Arrangements, combinaisons, probabilités conditionnelles, arbres de décision — tout maîtriser pour le sous-test Calcul
SECTION 01
Factorielles et principes de base
La factorielle de n, notée n!, est le produit de tous les entiers de 1 à n :
| n | n! | n | n! |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 (par convention) | 6 | 720 |
| 1 | 1 | 7 | 5 040 |
| 2 | 2 | 8 | 40 320 |
| 3 | 6 | 9 | 362 880 |
| 4 | 24 | 10 | 3 628 800 |
| 5 | 120 |
💡 Astuce : Mémorisez les factorielles de 1 à 10. Les questions Tage Mage dépassent rarement 10!. Connaître ces valeurs vous fait gagner un temps précieux.
| Principe | Règle | Exemple |
|---|---|---|
| Principe multiplicatif (ET / puis) |
On multiplie le nombre de choix à chaque étape | 3 entrées ET 4 plats → 3 × 4 = 12 menus |
| Principe additif (OU / ou bien) |
On additionne le nombre de possibilités de chaque cas | Venir en bus (3 lignes) OU en métro (2 lignes) → 3 + 2 = 5 trajets |
🚀 Règle d’or : « ET » → on multiplie. « OU » → on additionne. C’est la base de tout le dénombrement.
SECTION 02
Arrangements
Une permutation de n éléments est un agencement de tous les éléments dans un ordre donné.
Exemple : De combien de façons peut-on ranger 5 livres sur une étagère ?
→ P(5) = 5! = 120 façons
Un arrangement consiste à choisir p éléments parmi n en tenant compte de l’ordre.
Exemple : 8 coureurs, combien de podiums possibles (1er, 2e, 3e) ?
→ A(8, 3) = 8! / 5! = 8 × 7 × 6 = 336 podiums
💡 Astuce calcul : Pas besoin de calculer les factorielles complètes. A(n, p) = le produit des p plus grands facteurs de n! → A(8,3) = 8 × 7 × 6.
Si la répétition est autorisée (ex. : code PIN, mot de passe) :
Exemple : Combien de codes PIN à 4 chiffres (0-9) ?
→ 10⁴ = 10 000 codes
Posez-vous la question : l’ordre compte-t-il ?
⚠️ Indices que l’ordre compte : classement, podium, code, mot de passe, numéro de téléphone, placement de personnes sur des chaises, rang, position.
SECTION 03
Combinaisons
Une combinaison consiste à choisir p éléments parmi n sans tenir compte de l’ordre. On la note C(n, p) ou « n parmi p ».
Exemple : Choisir 3 délégués parmi 10 personnes ?
→ C(10, 3) = 10! / (3! × 7!) = (10 × 9 × 8) / (3 × 2 × 1) = 720 / 6 = 120 groupes
| C(n, p) | Valeur | C(n, p) | Valeur |
|---|---|---|---|
| C(n, 0) | 1 | C(6, 2) | 15 |
| C(n, 1) | n | C(6, 3) | 20 |
| C(n, n) | 1 | C(7, 2) | 21 |
| C(4, 2) | 6 | C(7, 3) | 35 |
| C(5, 2) | 10 | C(8, 2) | 28 |
| C(5, 3) | 10 | C(10, 3) | 120 |
💡 Propriété de symétrie : C(n, p) = C(n, n−p). Donc C(10, 7) = C(10, 3) = 120. Calculez toujours avec le plus petit des deux.
Indices que l’ordre ne compte PAS : équipe, comité, groupe, délégation, poignées de main, diagonales d’un polygone, tirage de cartes ou de boules.
| L’ordre compte | L’ordre ne compte pas | |
|---|---|---|
| Sans répétition | A(n, p) = n!/(n−p)! | C(n, p) = n!/(p!(n−p)!) |
| Avec répétition | nᵖ | Rare au Tage Mage |
SECTION 04
Probabilités — les bases
La probabilité d’un événement A est le rapport entre le nombre de cas favorables et le nombre total de cas possibles (dans une situation d’équiprobabilité) :
La probabilité est toujours comprise entre 0 (impossible) et 1 (certain).
| Formule | Signification |
|---|---|
| P(Ā) = 1 − P(A) | Probabilité du contraire (complémentaire) |
| P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) | Probabilité de A ou B |
| P(A ∪ B) = P(A) + P(B) | Si A et B sont incompatibles (mutuellement exclusifs) |
| P(A ∩ B) = P(A) × P(B) | Si A et B sont indépendants |
C’est l’astuce la plus puissante au Tage Mage. Quand on vous demande « au moins un… », il est presque toujours plus rapide de calculer le contraire :
Exemple : On lance 3 dés. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins un 6 ?
→ P(aucun 6) = (5/6)³ = 125/216
→ P(au moins un 6) = 1 − 125/216 = 91/216 ≈ 42,1%
🚀 Réflexe : Dès que vous lisez « au moins un », « au moins une fois », pensez immédiatement au complémentaire. C’est la bonne méthode dans 90% des cas.
SECTION 05
Probabilités conditionnelles
La probabilité conditionnelle de A sachant B est la probabilité que A se réalise sachant que B est déjà réalisé :
L’arbre est l’outil le plus sûr pour les problèmes en plusieurs étapes. Les règles :
| Règle | Application |
|---|---|
| Chaque branche porte une probabilité | La somme des branches partant d’un même nœud = 1 |
| Le long d’un chemin → on multiplie | P(A puis B) = P(A) × P(B|A) |
| Entre chemins différents → on additionne | P(résultat) = somme des chemins y menant |
Exemple : Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules bleues. On tire 2 boules sans remise. Quelle est la probabilité d’obtenir 2 rouges ?
→ P(R₁) = 3/5
→ P(R₂ | R₁) = 2/4 = 1/2 (il reste 2 rouges sur 4 boules)
→ P(R₁ et R₂) = 3/5 × 1/2 = 3/10
| Avec remise | Sans remise | |
|---|---|---|
| Principe | On remet l’élément après chaque tirage | L’élément tiré est retiré |
| Conséquence | Les tirages sont indépendants | Les tirages sont dépendants |
| Probabilités | Restent constantes | Changent à chaque tirage |
| Calcul | P(A) × P(A) × … | P(A₁) × P(A₂|A₁) × … |
⚠️ Attention : Au Tage Mage, lisez bien l’énoncé. La mention « sans remise » (ou son absence) change radicalement le calcul. En cas de doute, supposez sans remise — c’est le cas le plus fréquent.
Si B₁, B₂, …, Bₙ forment une partition de l’univers (événements incompatibles qui couvrent tous les cas) :
Exemple : Usine avec 2 machines. Machine 1 produit 60% des pièces (2% défectueuses). Machine 2 produit 40% (5% défectueuses). Quelle est la probabilité qu’une pièce soit défectueuse ?
→ P(D) = P(D|M₁)×P(M₁) + P(D|M₂)×P(M₂) = 0,02 × 0,6 + 0,05 × 0,4 = 0,012 + 0,02 = 0,032 = 3,2%
SECTION 06
Exercices types Tage Mage
Question : 10 personnes se serrent la main. Combien de poignées de main ?
Méthode : Chaque poignée est un couple de 2 personnes, l’ordre ne compte pas → combinaison.
💡 Même formule pour les diagonales d’un polygone à n côtés : C(n, 2) − n = n(n−1)/2 − n = n(n−3)/2
Question : Combien de plaques d’immatriculation AB-123-CD (2 lettres, 3 chiffres, 2 lettres) ?
Méthode : L’ordre compte, la répétition est autorisée → nᵖ pour chaque groupe.
Question : On lance 2 dés. Quelle est la probabilité que la somme fasse 7 ?
Méthode : Nombre total de cas = 6 × 6 = 36. Cas favorables pour une somme de 7 : (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) → 6 cas.
Question : Parmi 8 hommes et 5 femmes, combien de comités de 4 personnes avec exactement 2 femmes ?
Méthode : On choisit 2 femmes parmi 5 ET 2 hommes parmi 8 :
Question : Urne avec 4 rouges et 6 bleues. On tire 3 boules sans remise. Probabilité d’avoir exactement 2 rouges ?
Méthode : Cas favorables / cas totaux avec les combinaisons.
SECTION 07
Pièges classiques
FAQ
Questions fréquentes
Tage Mage — Probabilités et dénombrement
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