Les Nombres Décimaux et les Opérations en 6ème 🔢

Cours complet : écriture, comparaison, les 4 opérations, exercices corrigés et méthodes

Les nombres décimaux sont les nombres à virgule que nous utilisons au quotidien : prix en euros, mesures, notes sur 20… Savoir les écrire, les comparer et effectuer les quatre opérations (addition, soustraction, multiplication, division) est une compétence essentielle du programme de maths en 6ème. Ce cours couvre toutes les notions : vocabulaire, rangement, arrondis, techniques opératoires posées, et inclut des exercices corrigés et les erreurs fréquentes à éviter.

📋 Sommaire

✏️ Écriture et Vocabulaire

Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule. Il se compose d’une partie entière (avant la virgule) et d’une partie décimale (après la virgule).

Position Centaines Dizaines Unités , Dixièmes Centièmes Millièmes
Valeur 100 10 1 , 0,1 0,01 0,001
Exemple : 254,738 2 5 4 , 7 3 8

Le nombre 254,738 se lit « deux cent cinquante-quatre virgule sept cent trente-huit millièmes ». Sa partie entière est 254 et sa partie décimale est 0,738.

Plusieurs écritures possibles : tout nombre décimal peut s’écrire en écriture décimale (3,25), en écriture fractionnaire (325/100 ou 13/4), ou en décomposition (3 + 2/10 + 5/100).

Écriture décimale Écriture fractionnaire Décomposition
0,7 7/10 7 dixièmes
2,35 235/100 = 47/20 2 + 3/10 + 5/100
0,125 125/1000 = 1/8 1/10 + 2/100 + 5/1000
14,5 145/10 = 29/2 14 + 5/10

⚖️ Comparer et Ranger des Nombres Décimaux

Pour comparer deux nombres décimaux, on procède chiffre par chiffre, de gauche à droite, en commençant par la partie entière.

Méthode :

1. On compare d’abord les parties entières. Si elles sont différentes, le plus grand nombre a la plus grande partie entière.

2. Si les parties entières sont égales, on compare les dixièmes, puis les centièmes, puis les millièmes, etc.

3. Si un nombre a moins de chiffres après la virgule, on complète avec des zéros : 3,5 = 3,500.

Comparaison Raisonnement Résultat
3,7 et 3,12 Même partie entière (3). Dixièmes : 7 > 1 3,7 > 3,12
0,45 et 0,5 0,5 = 0,50. Dixièmes : 4 < 5 0,45 < 0,5
12,305 et 12,35 12,35 = 12,350. Centièmes : 0 < 5 12,305 < 12,35
7,8 et 7,80 Ajouter un 0 ne change rien 7,8 = 7,80

Ranger des nombres décimaux, c’est les classer dans l’ordre croissant (du plus petit au plus grand) ou dans l’ordre décroissant (du plus grand au plus petit). On applique la même méthode de comparaison chiffre par chiffre.

🎯 Arrondir et Encadrer

Arrondir un nombre, c’est le remplacer par une valeur approchée plus simple. On arrondit à l’unité, au dixième, au centième, etc.

Règle : on regarde le chiffre juste après la position d’arrondi. S’il est inférieur à 5, on arrondit par défaut (on garde). S’il est supérieur ou égal à 5, on arrondit par excès (on ajoute 1).

Nombre Arrondi à l’unité Arrondi au dixième Arrondi au centième
3,746 4 (7 ≥ 5) 3,7 (4 < 5) 3,75 (6 ≥ 5)
12,453 12 (4 < 5) 12,5 (5 ≥ 5) 12,45 (3 < 5)
9,995 10 (9 ≥ 5) 10,0 (9 ≥ 5) 10,00 (5 ≥ 5)

Encadrer un nombre, c’est trouver deux valeurs entre lesquelles il se situe. Par exemple, 3,746 encadré à l’unité : 3 < 3,746 < 4. Encadré au dixième : 3,7 < 3,746 < 3,8.

➕ Addition et Soustraction Posées

Pour additionner ou soustraire des nombres décimaux, on pose l’opération en alignant les virgules. On complète avec des zéros si les nombres n’ont pas le même nombre de décimales.

Étape Exemple : 12,45 + 3,7 Exemple : 25,3 − 8,47
1. Aligner les virgules 12,45 + 3,70 25,30 − 8,47
2. Calculer colonne par colonne (de droite à gauche) 5+0=5, 4+7=11 (retenue), 2+3+1=6, 1+0=1 0−7 → retenue, 3−4 → retenue, etc.
3. Placer la virgule 16,15 16,83

Ordre de grandeur : avant de calculer, estimez le résultat pour vérifier. 12,45 + 3,7 ≈ 12 + 4 = 16 → le résultat 16,15 est cohérent. L’ordre de grandeur permet de détecter rapidement les erreurs de virgule.

✖️ Multiplication de Nombres Décimaux

Pour multiplier deux nombres décimaux, on ignore les virgules pendant le calcul, puis on replace la virgule dans le résultat.

Règle : le nombre total de chiffres après la virgule dans le résultat = la somme des chiffres après la virgule des deux facteurs.

Calcul Étapes Résultat
2,3 × 4,5 23 × 45 = 1035. Décimales : 1 + 1 = 2 10,35
0,12 × 0,3 12 × 3 = 36. Décimales : 2 + 1 = 3 0,036
7,25 × 6 725 × 6 = 4350. Décimales : 2 + 0 = 2 43,50

➗ Division Euclidienne et Décimale

Il existe deux types de division au programme de 6ème :

Type Définition Exemple
Division euclidienne Division entre entiers qui donne un quotient entier et un reste 17 ÷ 5 = 3 reste 2 (car 5 × 3 + 2 = 17)
Division décimale Division qui continue après la virgule pour obtenir un résultat exact ou approché 17 ÷ 5 = 3,4 (résultat exact)

Vocabulaire : dans la division 17 ÷ 5 = 3 reste 2, on appelle 17 le dividende, 5 le diviseur, 3 le quotient et 2 le reste. La relation fondamentale est : dividende = diviseur × quotient + reste.

Critères de divisibilité (très utiles en 6ème) :

Diviseur Critère Exemple
Par 2 Le dernier chiffre est pair (0, 2, 4, 6, 8) 246 → oui (6 est pair)
Par 3 La somme des chiffres est divisible par 3 246 → 2+4+6 = 12 → oui
Par 4 Les deux derniers chiffres forment un nombre divisible par 4 1 324 → 24 ÷ 4 = 6 → oui
Par 5 Le dernier chiffre est 0 ou 5 735 → oui (finit par 5)
Par 9 La somme des chiffres est divisible par 9 738 → 7+3+8 = 18 → oui
Par 10 Le dernier chiffre est 0 450 → oui

🔟 Multiplier et Diviser par 10, 100, 1 000

C’est l’une des règles les plus simples mais aussi les plus utiles en maths :

Opération Règle Exemple
× 10 Décaler la virgule d’1 rang vers la droite 3,45 × 10 = 34,5
× 100 Décaler la virgule de 2 rangs vers la droite 3,45 × 100 = 345
× 1 000 Décaler la virgule de 3 rangs vers la droite 3,45 × 1 000 = 3 450
÷ 10 Décaler la virgule d’1 rang vers la gauche 345 ÷ 10 = 34,5
÷ 100 Décaler la virgule de 2 rangs vers la gauche 345 ÷ 100 = 3,45

Attention : « décaler la virgule » est un raccourci pratique, mais en réalité c’est le nombre qui devient 10 fois plus grand ou plus petit. Les chiffres changent de rang dans le tableau de numération.

✏️ Exercices Corrigés

Exercice 1 — Comparer des nombres décimaux

Énoncé : Ranger dans l’ordre croissant : 3,08 ; 3,8 ; 3,108 ; 3,18

Correction : On écrit avec le même nombre de décimales : 3,080 ; 3,800 ; 3,108 ; 3,180. En comparant les dixièmes : 3,080 et 3,108 ont 0 dixième, 3,180 a 1 dixième, 3,800 a 8 dixièmes. Puis on compare les centièmes : 3,080 < 3,108. Ordre croissant : 3,08 < 3,108 < 3,18 < 3,8.

Exercice 2 — Arrondir

Énoncé : Arrondir 47,6538 au dixième, au centième et à l’unité.

Correction : Au dixième : on regarde le centième (5 ≥ 5) → 47,7. Au centième : on regarde le millième (3 < 5) → 47,65. À l’unité : on regarde le dixième (6 ≥ 5) → 48.

Exercice 3 — Multiplication

Énoncé : Calculer 3,14 × 2,5.

Correction : 314 × 25 = 7 850. Nombre de décimales : 2 + 1 = 3. Résultat : 7,850 = 7,85.

Exercice 4 — Division euclidienne

Énoncé : Effectuer la division euclidienne de 253 par 7.

Correction : 253 ÷ 7 = 36 reste 1, car 7 × 36 = 252 et 253 − 252 = 1. Vérification : 7 × 36 + 1 = 253 ✅.

Exercice 5 — Problème concret

Énoncé : Un article coûte 24,90 €. Avec une réduction de 3,75 €, quel est le prix final ? Si on achète 3 exemplaires au prix réduit, combien paie-t-on ?

Correction : Prix réduit : 24,90 − 3,75 = 21,15 €. Pour 3 exemplaires : 21,15 × 3 = 63,45 €.

⚠️ Erreurs Fréquentes à Éviter

❌ Erreur Pourquoi c’est faux ✅ Bonne méthode
3,12 > 3,9 car 12 > 9 On ne compare pas « 12 » et « 9 » mais les dixièmes : 1 < 9 3,12 < 3,9 (car 3,12 < 3,90)
2,3 + 4,15 = 6,18 On n’a pas aligné les virgules : 2,30 + 4,15 2,30 + 4,15 = 6,45
1,5 × 2,3 = 3,15 Mauvais comptage des décimales : 1+1 = 2 décimales au résultat 15 × 23 = 345, 2 décimales → 3,45
3,5 × 10 = 3,50 On décale la virgule vers la droite, pas vers la gauche 3,5 × 10 = 35
0,5 > 0,45 car « 5 est plus petit que 45 » 0,5 = 0,50. On compare 50 centièmes à 45 centièmes 0,5 > 0,45 (correct, mais pour la bonne raison)

📝 L’Essentiel à Retenir

Notion Règle
Comparer Chiffre par chiffre de gauche à droite, compléter avec des 0
Arrondir Regarder le chiffre suivant : < 5 on garde, ≥ 5 on ajoute 1
Addition/Soustraction Aligner les virgules, compléter avec des 0
Multiplication Ignorer les virgules, puis compter le total de décimales
Division euclidienne dividende = diviseur × quotient + reste
× 10 / ÷ 10 Décaler la virgule d’un rang vers la droite / la gauche

❓ Questions Fréquentes sur les Nombres Décimaux

Quelle est la différence entre un nombre décimal et un nombre entier ?

Un nombre entier n’a pas de partie décimale (ex : 7, 42, 300). Un nombre décimal a une partie décimale avec un nombre fini de chiffres après la virgule (ex : 3,25). Tout nombre entier est un nombre décimal (7 = 7,0), mais l’inverse n’est pas vrai.

Est-ce que 1/3 est un nombre décimal ?

Non. 1/3 = 0,333… avec un nombre infini de chiffres après la virgule. Ce n’est pas un nombre décimal (qui doit avoir un nombre fini de décimales). On dit que c’est un nombre rationnel non décimal.

Pourquoi 3,7 est plus grand que 3,12 ?

Parce qu’on compare d’abord les dixièmes : 7 dixièmes > 1 dixième. Il ne faut surtout pas comparer « 7 » et « 12 ». Le bon réflexe est d’écrire 3,70 et 3,12 : alors 70 centièmes > 12 centièmes.

Comment multiplier un décimal par 0,1 ?

Multiplier par 0,1 revient à diviser par 10. Donc on décale la virgule d’un rang vers la gauche. Par exemple : 45,3 × 0,1 = 4,53. De même, × 0,01 = ÷ 100 et × 0,001 = ÷ 1 000.

Comment savoir si un nombre est divisible par 3 ?

On additionne tous ses chiffres. Si la somme est divisible par 3, le nombre l’est aussi. Exemple : 246 → 2 + 4 + 6 = 12 → 12 est divisible par 3 → 246 est divisible par 3. Cela fonctionne aussi pour 9 (la somme doit être divisible par 9).

Qu’est-ce qu’un ordre de grandeur ?

C’est une estimation rapide du résultat d’un calcul. On arrondit les nombres pour obtenir un calcul simple. Par exemple, l’ordre de grandeur de 49,7 × 3,2 est environ 50 × 3 = 150. Le résultat exact est 159,04 — l’estimation était proche. C’est utile pour vérifier qu’on n’a pas fait d’erreur de virgule.

Peut-on ajouter des zéros après la virgule sans changer la valeur ?

Oui. 3,5 = 3,50 = 3,500. Ajouter des zéros à la fin de la partie décimale ne change rien à la valeur du nombre. C’est d’ailleurs la technique utilisée pour comparer et pour poser les opérations.

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